Galitskii-2 (Галицкий В.М. Задачи по квантовой механике), страница 11

В остиссти, зто имеет место лля состоянии с отличныч от иу.ы орпитгпьиы» чомсигсч, гзс з рози такс1о барьера выступает пситроесниый ппггипилж сч гзьнс!1.74 61. Стационарно<а состояния атомоб с одним и дВумя электронами 41 (т) Обобщение форчуяы (6) на саучан отличныа от нуля орбитальных моментов частниы дано в 13 36, а теория возмущении по длине рассеяния лля состояний непрерывного спектра рассчотрсна в 13 37 (Ш) Отметим, наконс~, по формуяа (6) справедлива без каких-либо ограничений на вил взаимодействия на малых расстоннинх. Она л<ожег лаже не носи < ь <юген анального харак и ра и, в частности, привслить к неупругим пропессам (как. например, в случае рр-атоиа, ллн которого возможна аннигиляпия в пионы) Прн этом, однако, длина рассснних а, становится комплексной величиной Кочнлексныл< оказыеастс» и сдан уровни При агам его л<иил<ан часть опрелеляст ширину урвана, так как при а<стючснии нсупругого азаинодеиствнх рассматриваечсс состояние становится уже квазисшвнионарнин, ел<.

зэдачн б 5 главы 6 4<г 3 — 3 < а<Г<И:тыы шс <т и выражение (2) принимает яид 7 = 1бл (/ 1(г )г, / д(гДг, яг, <1г, + / р(г<)г< / 1(г )г',аг яг ~. (2') о о о а По формулач (2) и (2') не<руана найти — 4У, ВУ< = 32<г (г< — гт( ' а<13'(и 1 13)> и согласно (1) получить (положив в (3) а = (3 = 2Я) В,шю, +В =-В +-г. <о< щ т о = б Прн этом вамгнц<ны ионнзииии оката<веется равным 1 < 5 1,шю.и-к,ш-г --'В 2 8 (здссь Еа н - --Я /2 — осномюй уровень соответствующего олноэлсктронног<> нона). 1 (3) (4) (5) 11.5. Рассчитать в первом порядке теории возмущений энергию основного состояния двухзлектронного атома (или иона), рассматривая взаимодействие между электронами как возмущение.

Получить значение потенциала ионизации системы и сравнить его с экспериментальными данными для атома гелия и ионов лития, бериллия, углерода и кислорода: 1(Не) = 24,6 эВ; 1((з') = 75,6 зВ, 1(Ве" ) = 154 эВ; 1(С<" ) = 392 эВ; 1(04.) 739 эВ. Решение. 1) В пренебрежении взаимолсйстаием межлу электронал<и энергия основного состояния системы ао -- † , я его <юлнааая функпня имеет аил .зо< Ф<о< = — в~ схр (-я(г, и гт)). Поправка первого порядка к энергии за счет азаииолействия алек<ранов лруг с прутам <п о (г< гт) Я и<, 1 г<гл йг< 4~< <(П< 6П< (1) Для вычисления интегралов виЛа шу«ьа <» (2) координатах, выбрав направление г, за полярную ось.

При этом 42 Глава!1. дтомы и толекрлег 2) Замы им. чго нолученнмс на основе перво~о порядка теории возмугнеиий оо взаимодействию эвсктронов лруг с другом результаты можно улучшить, нс ггроизнодя фактически дополни гсльных вычислений. Длк этомт изменим разбиение» гамнльтолнана системы на Йе и возмунмнис, выбрав в иевозмушснпол~ гаиильтонианс вместо зарнла Л вдра некоторый эффективный заряд Яхьк, т.с. положим 1 г'1 1т и = Н, + Рмв, 77, = --(Д, + Д,) — Вне( — + -/1, 2 т,г, /1 1~ Нее = (В Вмо) ~ + /. (г, — гт) 'ч г, гт/ При этом выбор В ьз < Б, отражающий взаимную экранировку электронами заряда ядра, приводит к умсньнгению возмущения Р„зв по сравнению со сдучаем У = 1/(г, - т,), исиользованиылг в (1).

Иэ физических соображений прсдстаяляется естественным такой выбор значении Я ьь, чри котором поправка первого приближении обрашаетси в нуль, т е. ю Рмв -- О. Так как теперь Юе = -лкы, а 2В' (последнее соотнонгенне сдедуст, например, иэ теоремы вириала, см.

также 11.1), то из условии (г,ев — — О находим Ямв — — Š— 5/!Ь и получаем 5 З 1 т 5 25 ге=-(г — — /1, 7,= — гт — — В+в (6) 16/ ' 2 3 256 (сравнить с (4) и (5); заметим, что новое значение Ее совнштзст с результатом варнанионного расчета в 11 6). В таблице представлено сравнение результатов расчета потенциалов ионизации /с в эВ с экснеринсотальными данными Лля рада!!вухэлектроиных ионов (атомная слиница энергии равна 27,2 эб).

Замстнч. что поправки второго приближении к пш!учснным результшам (4), (5) н (6) но параметру теории возмтшений В ' и В ' соотжгствснно не зависят от В. Поэтому видная нт прсдстаиленной таблицы слабая зависилгость от В разницы эксггсримеитатьг!ого и рассчитанного значений /е нполне сс-сственна 1 1.6. Найти энергию и потенциал нонизации основного состояния двухэлвктронного атома (иона) ввриациониым методом. В качестве пробной функции взять произведение водородных функций с некоторым эффективным зарядом Ямы, играющим роль вариациоиного параметра.

Сравнить с результатом из 11.5. Можно ли сделать вывод о существовании устойчивости иона водорода Н 7 Решение, Среднее значение знергнилвухэлектронного иона в состоянии с пробной волновой функцией а' Фюв = — схр(-а(г~+ гг)), о ш и Ьь де~ко найти, если 1) твиистть гвмильтониан системы и ниде Й = -(- д, + -) — (- гз, + — ) — (г — ) ( — ч — ) + 01. Стационарные состояния атомоб с одним и дбумя электронами 43 2) учесть соотноизеиис (- г3+ -)е = — е ' 3) воспользоваться значениями интс|ралои 1 т„ш л Г з 4534)гз 5а -е '"43гш —, / )Фмм) г аз',/ " )г, — гз) 8 (вычисление второго из них см.

в 11.5) В результате находим 53 Е(сг) = а(а -2Е+ -/. 8 / 5 т' Еа = пнп Е(а) = — ( — — Г1 16 / и потенциал ионизапии системы 1 т 1 з 5 25 Ге ш -- г — Е. = - Š— - г+ —, 2 2 8 256 (2) Сравнение с экспериментальныии данными си. в таблиис из предыдущей задачи. для иона н, согласно (1), имеем ес — — -0,47, что вы|не энергии основного уровня атома водорода, равной -0,50, и поэтому нельзя сделать вывода о сушестаонзнии устойчивого (относительно автоионизаиии) иона Н, см по этому поводу 11.8. 11,7, Показать, что рассмотренная в предыдущей задаче пробная функция с эффек- тивным зарядом Езее = Š— 5/16 является наилучшей из всех пробнык функций вида Фямм = ф(г, + гз)Г4я, т.

е. зависящих только от переменной и ш и, е гз. решение. Для решении задачи запишем Й = (Ф,мл)Й)й, ь) в вилс интеграла по переменной и. Варьирование получающегося функционала по р'(и) позволит получить отимальный вид н ф, Р(и). Лля пресбршования исхолного интегрш|а по координатам электронов удобно воспользоваться сферическими иеременнымн и, сделав замену переменной г, = и — г,, проинте~рировать по г,. Нормировочный интеграл принимает вид )У ш / )и ь,з! г~ Вг~ 43йгз Кгз ВПт = — (Ф(иН Ви.

,Г 30 е Заметив, что Гьтй(г~ + гт) = — — (и — г~) — Ф(и) (и-г,)т ди ди находим среднюю кинетическую энергию электронов а рассматриваемом состоянии' х 3 В 2 Т = 2Т, = — / Р'(и) / — (и — г,) — р(и)г, дг, ки = ./ Ви ди е е = - / Ф (и) ~ — — + — — ~р(и) Ии. (30 кит 6 Ви3 Энергия взаимодействия элекгрпнов с ядрам описывается выражениен йг„, = 20'г - --28 / )Р(и),' / (и -г,)г, Дг, Ви = — / — (ф(и)) аи, ,/ 6 (2) (3) е е е Минимизаиия по параметру а лает (при а = Е ье — — Š— 5/16) искомое вариапионное значение энергии основного состоиния дяухэлектроиного атома (нли иона) Глава 11.

Атомы и молекульг а энергии взаимодействии электронов лруг с прутам ноже г быть записана х виде ,г» (Гг, -- 2/!/! (Цг„ья( — .= 2/1 10(н)(»/ (и — г )г; г(г» цк = /1 — (Цг(и)1 ци (4) Л " (,-Р( l /' / 96 л е е ) 4» 5 4 / 25»1 —,'- — + Р- — )-жЕ. „]Р(и) =0 ки» и Кн 'Х 16,/ и Отсюда заменой функнин ы(и) - и Г»д(н) (котораа предполагает, что д(0) .-' О) получаем уравнение 15 / 25'> 1 Хи - --- д+ (52 — — /! — д+ Ек д 0 (5) 4и» ' ( 16/н Оно имеет иил радиального у, Ш. (1Ч.5) (с Л = ил = 1) лля частицы в куюновском потснциаяс -о/г с а = -'(2 — 1) и с «люмснтол»» 1 таким, чта 1(1 »- 1) = 15/4, или 'л' 1 = 3/2; при этом Ь'„,» = - Еь, .

Спектр собсгиениыл значений » о» 25 (2 - 5/16) 2(п, + ! > !) К(п, Ч 5/2) и л»инимвльиос из нил, с п, = О, онрсдышег варивционцос »камине онер»ии оснонного состониии системы на рвсаматриваелюм хлассе пробных функцна 5 >' ЬЬ., =2Ьл,,г» = — 12 — — /1 . 16! (6) Прн »нам соо»исто» вуюшая функции. ьюнимизируюшаи значении Е. имев» вии (со».»вено (5) она — раанальнан кулоновскан функция лля ! = 3/2 и п = и, + ! + 1 — — 5/2) >г —.. си"е "" ", ш»н 'Ре = — 2,1„»ехр (-2мв(г»-л г»)), г е (7) »ле 2 ьл = 2 - 5/'6. Эгн рсзульшгы и доказывают утисржлснис задачи. 11.8. Найти среднюю энергию двухэлектронного иона с зарядом ядра Е в состоянии с волновой функцией Ф(з», т»1 — — С(схр (-а㻠— /)г») + ехр (-/)г! — ог»)) . Выбрав значения параметров о = 1, !5 = 0,25, доказать существование стабильного иона водорода Н »ы Дли пру»ага »ил юшл, 1 =.

-5»*2, ладноюя функаих х х и ' не удаюс»еаряст граничному условию в нуле. (юк квк Р(г» + г») нс зависит ог углои, та инте» рированис по углач и исходном выражении (4) может бы»ь иьюолнсно так же, как и в интеграле (2) из задачи 11 5). Внд оптимальной, норл»нрованной на 1 функции р(и), дли которой й = у+ у,„, ». б'„ принимает минимы»лное значение, улобио иска»ь из >славин экстремальности функ»»иаг»ы»а Š— Ьл „лдг. Здесь Ел л и»рвет роль л»юэтишеля Пигриггзси; введение слл»велю»о Ель»ЬГ гн»шолнет при варьировании не ыбат»ться о норыировке в ф Р(н) Воснользавмииись вырвженннл»н (1)-(4), из >слоиин иеран.сини и нуль иариапии рассмагрниаемого функиионала при варьировании функюнг р'(и), приходим к уравнению (сравнить с вариацнонным нрицциноы лли уравнения Ц>релиюсрв в (1, 620))» 5 !.