Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях (Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях.djvu), страница 15

Считать, что справедлива гипотеза квазиравновесия в (я + 1)-мерном аффинном пространстве (Т вЂ” р — с,ъ с = 2,3,...,я) и заданы коэффициенты распределения (йс,ъ = 2,3,...,я) легирующих элементов сплава между фазами, т. е. процесс кристаллизации сплава осуществляется вдоль некоторой траектории на фазовой поверхности у(Т,ей р) = О, описывающей условин равновесия в двухфазной области на поверхности растущих кристаллов-дендритов и в окружаъощей жидкости. Глава 2 Ответ. рхТ + р1,)з) = 'в' Л 'в'Т, (с„з1)' — Ь;сз) = ~7 ц ~ У;лЯс, (1= 2,3,...,п), ,у=2 но~~+ ь' тре ь'р = О, ДТ,р,сз,сз,...,с„) = О, ВΠ— матрица коэффициентов диффузии. 85.

Используя положения линейной термодинамики, провести анализ явления релаксации объема и давления гидростатически деформированной изотропной среды. Влиянием вязких эффектов и переноса тепла пренебречь. Рвшкнив. В случае единственного релаксационного процесса в системе производство энтропии и линейный закон Онзагера суть 1 Т 0= —,„ААз~, 4~=~= — А,, Т ' ' Т где А,(' — сродство и параметр релаксационного процесса: Ь вЂ” феноменологический коэффициент. Если в качестве независимых переменных выбраны давление р и параметр релаксации ~, то для неравновесного состояния вблизи Равновесии 1Ре, Кь ~е) спРаведливы следУющие РезложениЯ: А=Я) Ь вЂ” о)+® К-Ы, ( )'0) — (-;1р ) (Р РО) + (-П~-) (С 40) где $' — объем системы.

Подставляем их в линейный закон Онзагера г, = -7, исключая (~ — ~о), а затем для исключения г результат скла- ЬА дываем со вторым уравнением, продифференцированным по времени: хъач Неаарвтимые праиессы в непрерывных и прерывных (еентельных) системвх105 Преобразуем здесь выражение в фигурных скобках: Таким образом, оказываетсн, что Этому результату можно придать более общий вид, вводя по определению набор времен релаксации для изобарно-изотермического (трт) и изохорно-изотермического (т, т) релаксационных превращений: те т У д Р р хи т Х д Следовательно, в терминах этих величин окончательная форма дифференциального уравнения состояния релаксирующей термодинамической системы имеет вид ~'+ + тЪ;р+ Т1, = О.

Ро ., Р Рв трт тат где Т = — 1-,- ~-д — ) — коэффициент изотермической сжимаемости среды при с = соней Это уравнение позволнет установить при известной зависимости р(1) закономерность изменения во времени объема г'(г). В частности, если р = сопа1 = Ра, то объем системы редактирует по закону à — $ла — — с1е '~' '; пРи Г = 1'а — — сопзэ аналогичнаЯ закономеРность соответствУет Релаксации давлении Р— Рв = сзе сб"т: где сы сз константы. 1Об Гмаоа й Пгимпчлиип.

В упруго-деформированной среде наблюдаются интересные явления, связанные с убыванием напрнжений и с ростом упругой доформации, явления упругой релаксации и упругого последействия. Физическая интерпретация их связана с рассмотрением протекающей в упругой среде внутренней перестройки взаимного расположения частиц, оказавшихся в результате деформации в неравновесном состоянии [25). 86.

Построить выражение производства энтропии н линейные законы Онзагера для изотропной термадинамнческой системы, содержащей релаксационные процессы, связанные с объемной вязкостью среды, и химические реакции. Уклзлиив. Воспользоваться выражением (1.14) без учета теплопроводности, диффузии и в отсутствие внешних полей. 87. Провести анализ парамагнитной релаксации изотропного парамагнетика в постоянном магнитном поле, используя выражение производства энтропии в поляризуюшейся среде (1.14а). Считать, что влияние вязких эффектов, тепло- и массопереноса несущественно. Рвшкник.

Баланс энтропии и линейный закон Онзагера в этом случае имеют вид 1 0= — — АМ (Во — В) > б, Х, Х(у+1) гчм = - — ( — В) =— (М хВ) у тх где М вЂ” намагпиченностгц „ — равновесная и неравновесная индукции магнитного поля в веществе; Л -- феноменологический коэффициент;т магнитная восприимчивость. Если поле, действующее на систему, постоянно (В = сопя!), то, интегрируя, легко найти закон изменения намагниченности во времени!: М(г) = В(1 — е ~~ ), М(0) = О, 1+Х где т = ~Т/(д+ 1)1 время релаксации. х.о. Неовратиыые процессы в непрерывных и прерывных (вентелвных) систелсах107 Для процессов, характерные времена которых значительно превышают времена релаксации, справедливо м = х в, м = хн, в = (1+ х)н, 1+х где Н вЂ” напряженность магнитного полн. 88.

Провести анализ явления диэлектрической релаксации диэлектрика в постоянном электрическом поле, используя производство энтропии в виде (1.14а) без учета вязких эффектов и тепло- массопереноса. Ответ. Р(г) = хсЕ(1 — е и ), Р(0) = О., т = осТ1, где хс — электрическая восприимчивость; Р(1) -- электрическая полнризация; Е напряженность электрического поля. 89.

Использун условии задачи 87, определить обобщенную магнитную восприимчивость явлении парамагнитной релаксации при действии на систему переменного магнитного поля .В(1). Уклзлиив. Применить к линейному закону Онзагера для пара- магнитной релаксации фурье-преобразование. Так, если Х(1) = М(с) (или .В(1)), то Х(1) = — / У(ы)е *' 'асс, 1 Г— 2я / ,~(со) = / Х(ие)е™с(1. Уравнение Онзагера в фурье-образах ЛХ(со),В(ш) разрешить относительно ЛХ(ы) в виде ЛХ(ы) = Хд(ох)В(со), где Хд(со) -- обобщенная магнитная восприимчивость парамагнетика. Ответ.

вот т = а — —, Хз(со — > О) — > Т-Х вЂ”, Т (1+ Х)Л +Х' Х1(~ ~ ~) ~ Т+ Хыт' 108 Глава й 90. Используя положения линейной термодинамики, выяснить влияние внешнего магнитного полн Н", изменяющегося с частотой ы, и внешнего давления р на процесс протекания химической реакции в изотропной среде. Считать, что эффекты теплопроводности и вязкости несущественны, система изотермична, а удельная намагниченность тз и удельный объем среды а при постоянных р = ро, Н' = На связаны известной зависимостью вида та = ощ где а = р(Не,ро). Рвшвнив. Для рассматриваемой системы справедливы следующие уравнения: ГАв = Аи+р4а — А4~ — Нвй,зпы РоОга = — рарвпв в, 4с = — 'А =,ЗА, т1 — — ое, где А -- сродство химической реакции; Ре --.

плотность среды в равновесии; ~ степень завершенности химической реакции. Поскольку поведение системы характеризуется набором из семи величин: р, А, Н', е, в, ~, ты то приведенную систему уравнений необходимо дополнить тремя уравнениями состояния в виде рядов Тейло- ь1.3. невлратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентельных) системах100 ра, выбрав в качестве независимых переменных о, ц, шч, в: Р— Ро = ® (в — ео)+ ® К вЂ” 6~)+ + (~-Р-) (т1 — тш) + (др) (в — во), А ®4) („„о) + ('ддА) (с со)+ + ( дА ) (, —,.) + (дА) (. — ..), Оо = ( й ) (о — ео)+ (-д — ) (4 — 4о)+ +(дЭн з (т т )+(03н ) ( ) Коэффициенты в этих уравнениях состояния связаны соотношениями Максвелла, среди которых отметим лишь те, которые отражают влияние внешних полей на параметры химической реакции: Используя фурье-преобразование, перейдем от приведенной системы уравнений к системе алгебраических уравнений для фурье- образов: 7ой = и+ Рой+ Оогпы Рои = — Ророо, ив~ = „9А, д = ЦТо, зил = озб т = У(оо~ Ро) 2.Х Веооретиыые процессы е непрерывных и прерыеных (еентельных) «истец«ах111 Вязкое и пластическое течение жидких и твердых сред 92.

Рассмотреть изотропную непрерывную систему, в которой осуществляется единственный необратимый процесс вязкое течение среды. Записать, используя выражение для производства энтропии [1.14) [см. ответ к задаче 25), линейные законы Онзагера в отсутствие внешних полей и тепло- массопереноса. Для этих условий построить уравнение движения вязкой среды. Ркшвнив. В условиях изотропной среды все феноменологические коэффициенты в линейных законах Онзагера являются скалярами, и, следовательно, используя [1.14) [см. также решение задачи 6), можно записать д = — л.„еч о = — »1„1~ о, У' = — В„„[[1~о)' — 2и»,) = — »1„[[Яо)' — 2ьо„), 4»' = — Л„,[17о)" = — 2»1[~о)", где йе, Рой, --- коэффициенты объемной, сдвиговой и «вращательной» внзкости, положительно определенные.

Подставляя эти законы в уравнение баланса импульса р дьо = — 1~р — 1~с1 — 1~ ° ье' — 1~ У', легко найти уравнение движения вязкой жидкости при постоянных коэффициентах вязкости [уравнение Навье — Стокса) д ~т + ~2 + (»1„+ 2~«1)~ Ч ° о+ 9 [17[2со — [чуо))). 93. Построить линейные законы Онзагера для вязкого течения изотропной жидкости в магнитном поле, пренебрегая антисиммстричной частью тензора давлении [ Ф' = 0), Ответ.

Если направление магнитного поля х» совпадает с осью х, то система линейных уравнений Онзагера, описывающих внзкое те- 112 Глава Е чение жидкости в магнитном поле, имеет вид Ф", = -204(дало)" — 2~д7 о, Ф„'„ = — 2г1з(1~о)„'„ — 2(04 — цз)(~7о)', — 204(17е)', + ~~7 ° е, Ф„'л = — 2(Ц~ — Ъ)(~уе)"„„— 20з)(~о)"„— 204(~7о)„"л + ~~ и., Фл 414((зуо)в (1уо)л ) 2(20з 44 )(туо)л Ф;, = — 2йз(Ко)', — 2цв(7'о),;„, Ф",л = 2цз(Уо);з — 241з(Го),,в — 2~(~о)л О т о + с((тте)л + (~е)л ) где цы 41 йз 414, 414 коэффициенты сдвиговой вязкости, причем первые три являются четными, а остальные -- нечетными функциями магнитного поля.

В отсутствие поля (лз = О) 414 = 04 — — ~ = 0 и для изотропной сРеДы сУЩественны лишь Два коэффиЦиента внзкости Ою и = г14 = Оз — — Оз (см. задачу 92). 94. Найти уравнение движения вязкой жидкости, отвечающее состонпию системы с минимальным производством энтропии. Показать, что это состонние устойчиво. Другие (кроме вязкости) диссипативные эффекты считать несущественными. РЕШЕНИЕ. Диссипативнан функция системы с низким течением среды есть ф = — Р:47е = В4(7е: ~7о > О, где .Р, 17о — тензоры давления и градиента скоростей в потоке: В > 0 — феноменологический коэффициент. Полная диссипация в системе с объемом 1' равна ФЛ' = А / те: чеЛ' > О, А = соней 2.3.