Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях (Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях.djvu), страница 12

и делан подстановку индексов в феноменологических коэффициентах (ьр = 11Я111ч где с111 -- единичная матрица, к,г',1 = 1,2,...,и — 1, находим окончательно ,( = — 2, '(,ы ((11 + ф~-) (чЕ ° (р — Р)+ Ч1=1 + р В ' (г11 о1 М) (~(11)т,р,нпн) ИЗ. Неояратимые процессы в непрерывных и прерььвных (вентельных) системах83 ()с = 1, 2,..., и, — 1). Примечание. Можно видеть, что в поляризуемой среде возникают дополнительные вклады в потоки массы элементов лишь при наличии неоднородных электрического и магнитного полей. Вещество с высокой диэлектрической проницаемостью будет стремиться распределиться в областях с высокой напряженностью поля. 65.

Распад плазмы, возникшей в малом обьеме газа, заключаетсн в диффузионном распространении заряженных частиц по всему пространству, занимаемому газом. В силу различной подвижности алек- тронов и ионов локальная нейтральность плазмы в общем случае нарушается и возникает пространственный заряд, создающий электрическое ноле. Записать законы Онзагера для потоков частиц в электронной и ионной подсистемах с учетом сил, обусловленных электрическим и концентрационным полями в условиях частного режима развития плазмы, называемого амбиполнрной диффузией, когда локальная нейтральность плазмы сохраняется в процессе ее движения.

РЕШЕНИЕ. Запишем, используя (1.14), диссипативную функцию, описывающую диффузию в электрическом поле Е: ф = ~~', Ль ' ((Ядь)т — дьЕ) > 0 и линейные законы ьх1 = — ВпД~Р1 — В12Д~дг — 11201Е. ° 22 = 1 21ть д1 Вез~112 112Ч1Е где индексы относятся к электронам (Ц и ионам (2). В случае амбиполярной диффузии для поддержания локальной нейтральности плазмы необходимо всгоду выполнение условия равенства плотностей электронов и однозарядных ионов (р1 = рг, в1 = Иг), равенства потоков электронов и ионов (21 — Яг = О) и равенства сил (р117д1 — рг17112 = ~7ры — зудг = О), Гжва 2 Однако в силу различия в массе электронов и ионов эти условия возможны, если оба слагаемых (концентрационное и связанное с электрическим полем) в выражении электронного потока почти компенсируют друг друга.

Это выполняется при напряженности поля «11 + «12 «Рз Учз У1 Подстановка этого результата в линейный закон для ионов дает уравнение амбнполярной диффузии: У.11+ У12'2 У'дрз'2 У2 = У = У»1 + «22 + У'23 / ~ ) тУР2 «~«Р2. У 12 дР2 66. На границах изотропной изотермической бинарной системы поддерживается независимое от времени неоднородное распределение концентраций компонентов.

Используя вариационный принцип Онзагера в форме (2.23), найти уравнение, описывающее распределение концентраций в обьеме тела, и показать, что состояние системы, определенное принципом минимума, стабильно относительно локального возмущения концентраций. Ргдпвннк, Закон Онзагера для «чистой» диффузии в бинарной среде, записанный в системе центра масс, имеет вид (см. решение задачи 64 при и = 2, а1 = с1, аз = сз, ЯЕ = 'у«В = О) .У = .У1 = — Аы 1+ тусч.

Введем величины коэффициента диффузии и массовой концентрации1 /др ') Следовательно, потенциал рассенния в представлении термодинамическнх сил имеет вид С' = р —,(17с) > О. « 2 х.З. Неолратииме процессы в непрерывных и прермвных (вентепеных) систезсах8ос Полный потенциал рассеяния в системе объема И есть С"Л' = р — (~с) дИ > О.

,/ 2 1 Ъ Определим, далее, распределение концентраций в системе, удовлетворяющее принципу минимума Онзагера (2.23): б ~ се*Лс = б р — (Яе)'аЪ' = О, ,/ 2 Экстремум этого функционала (учитывая постоянные граничные условия) реализует уравнение Эйлера — Лагранжа Сг ~с = ~зг = ~,7 = О, В данном случае оно соответствует уравнению Лапласа. описывающему стационарное распределение концентраций при условии Р = сояИ.

Стационарность состояния легко показать, поскольку и .Х = О и из закона сохранения массы (1.2) следует прямое условие стационарности распределения концентраций (дсс = О). Для доказательства устойчивости данного состояния системы по отношению к локальным возмущениям концентраций дифференцируем по времени полный потенциал рассеяния в системе дс / р —,Яс ~ссП' = рРв~Х~с ° ~(дсс)сП'. Интегрируя по частям, легко найти ВРХ тес С7Ясс)ДЪ' = Гд. С~<О)с )ИЪ' = ) Хдссд ДП вЂ” 1(дсс)т7 ЛСК. и У Поверхностный интеграл (Й вЂ” поверхность области) обращается в нуль, поскольку концентрации компонентов на границах области Глава й фиксированы. В результате, используя уравнение баланса массы (1.2), легко получить условие 'д~ / С*аг' = — / р(дсс)~гй~ < О, так как р > О, (гас)з > О. Следовательно, потенциал рассеннин убывает в процессе эволюции системы, пока не будет достигнуто стационарное состояние, определяемое граничными условиями. Поэтому стационарное состояние устойчиво и отвечает минимуму полного потенциала рассеяния системы.

67. Получить стационарное уравнение теплопроводности в изотропной среде т . т(Т) = О, используя принцип минимального производства энтропии Пригожина (2.27), и доказать, что стационарное состояние, определенное принципом минимума, устойчиво относительно локального возмущения температур. 68.

На основе принципа минимального производства энтропии Пригожина найти ограничение на коэффициент теплопроводностн в двухфазном теле, считая, что молекулярный коэффициент теплопроводности в первой фазе равен Л, а во второй фазе (поры) равен нулю. Решение. Пусть коэффициент теплопроводности в двухфазной среде есть Л(г) = д(г)Л, где и — радиус-вектор, ( ) ) 1 г Ефазе1., О г Е фазе 2.

Тогда полное производство энтропии в системе, обусловленное теплопроводностью, есть ВсЛ' = / Л(г)(ьТ)~Л" = шии и Ъ где Т вЂ” температура, г' — объем системы. Введем средние значении градиента температуры С и теплового потока и. е.З. Неооратиные процессы е непрерыеных и прерыеных ~еентепьных) систееьах87 Пусть истинное значение градиента температуры есть й'Т = С+ ~7Т'ь где Т' «геометрическая флуктуация» температуры; тогда дь1е' = ЛС'Н+ 2Л / 6(г)С иТ*Л'+ Л ~6(г) иТ' иТ*Л' = шш, где и = — )' 6(г)Л' — унарная корреляционная функция среды.

1 Если минимум этого функционала реализует флуктуация Т**, где Т* = еТ**, а е вариацнонный параметр,то, подставляя это значение флуктуации в выражение функционала и осуществлян минимизацию — ~дЛ =О, д Г Де находим Производство энтропии принимает минимальное значение при е = 1„и с учетом последнего выраженин получаем дсПг = — С ° о = Л,е,ьС~ = ппп. Однако истинное значение флуктуации температуры Т**, минимизирующее полное производство энтропии в системе, неизвестно; поэтому оптимальная величина параметра е должна быть отлична от единицы, и в этом смысле наилучшим ее значением служит предыдущее выражение для е. Подставляя его в выражение для производства энтропии и учитывая, что дел'( щ < / ЫЪ'(,~ы Глава 2 можно найти необходимое ограничение на коэффициент теплопровод- ности в двухфазном теле: <Лц, Л.~4, < Л поскольку второе слагаемое в фигурной скобке нвляется положитель- ным.

Пгимвчлннв. Приведенное решение было предложено Прагером [24, 17) при анализе ограничений на эффективный коэффициент диффузии в диффузионном потоке растворенного вещества в растворителе, заполняющем промежуточное пространство в скоплениях твердых частиц. 69. Решить задачу 68, считая, что система состоит из двух фаз с коэффициентами теплопроводности ЛыЛз. Ответ. Л.„< Л,ц+ Л,~1 — 6). 70. Построить, уравнения нзотермической диффузии для якомпонентной среды в системе центра масс, используя интегральный вариационный принцип Дьярмати (2.29). Рвндвнив. Диссипативная функция, описывающая концентрационную диффузию в я-компонентной изотермической системе, с учетом теоремы Пригожина (см.

решение задачи 64) есть (1.14): х.З. Необратимые процессы в непрерывкых и прерывнь1х (вектеиьных) системах89 В СЛУЧаЕ СИСТЕМЫ ЦситРа МаСС Еи = О, ай = Сй И СПРаВЕДЛИВа связь между потоками в форме 2,' .Тй = О, Используя ее, исключим 1 — — 1 из выражения диссипативной функции и-ый поток; тогда и — 1 лр' = — Е Х ~7(лл — лл ) > О. Потенциал рассеяния в представлении термодинамических сил (2.4) есть 1 и — 1 (""= —, Е~1 ~Ы1 — Ци) ~(цй — рп) >О ' „и=1 Принцип Дьярмати утверждает, что функционал (л(л — гг )лП' = гяах ИЪ1ЕЕт ЭКСТРЕМУМ ПРИ ВаРЬИРОВаНИИ ПО ПаРаМЕтРаМ вЂ” (Лсй — Ри) тЕРМО- динамических сил при постоянстве потоков .7й .