Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях (Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях.djvu), страница 10

(В) = -Лв,(В). Одновременно, в соответствии с обшими соотношениями Онзагера (2.9), для компонент тензора теплопроводности характерны дополнительные свнзи Л (В) = Л„( — В), Л,„(В) = Л„( — В), Л„(В) = Ле,(-В). Сравнивая эти два набора соотношений, легко видеть, что Л „(В) = -Л „(-В), Л, (В) = Л,„(В) = Л„(-В) = Л„(-В), Л„(В) = Л„(-В). Следовательно, диагональные компоненты Л (В),Лв,(В) явля|отса четными, а компонента Л. „(В) нечетной функциями магнитного полн В. Причем если поле отсутствует (В = О).

то нечетная функция поля должна исчезать Л в(0) = 0 и тензор теплопроводности совпадает со своей симметричной частью. При наличии магнитного поля существование компоненты Л в ~ 0 обусловливает возникновение в кристаллах потока тепла. не совпадающего по направлению с действующим градиентом температур. Это явление известно как эффект Риги Ледюка.

68 Улава М 51. Теплопроводность в двумерном анизотропном теле задана тензором 7 Зри Л ккал Лаа = 16 У' П Привести его к главным осям (а'„3'); записать линейные законы теплопроводности в этих осях и суммарный тепловой поток. Ответ. ,Уд„= -16р Т, Усьд = — 4тУНТ 52. Тензор теплопроводности Л„д изотропного кристалла в магнитном поле имеет вид Л„Л,р О Лад Лрр Лра 0 (о ~3: х~ н~ х) 0 0 Л„ Определить угол 7 между вектором градиента температур ЬТ и вектором теплового потока .Уо., характерный для эффекта Риги Ледюка, считаи, что тепловой поток возможен лишь в направлении оси х. Паново значение угла 7 при отсутствии магнитного полн'? Решение.

Если 7 есть искомый угол, то, рассматривая скалнрное произведение .Уд рТ = ~,Ус~~~1УТ~соз у и модуль векторного произведения )ф7~7Т) ( = !.Усу!)~УТ! з1пу, имеем ~(А~П 7 = агс$6 ,Уд ° ~7Т Запишем для данного случая линейные законы Онзагера: .т~7 = — Л„Ч,Т вЂ” Л „17„Т, ,Удр — — Л,р17,Т вЂ” Л„~рТ, У7, = -Л„Ч,Т, Учитывая, что для эффекта Риги — Ледюка Уо, = О, .Уор — — 0 и, следовательно, ЯрТУЧ, Т = Л р/Лрр, легко найти .У„.1Г„Т Лар у = агстя = алого ~Яр~х~ ра З.о.

леолватимьье процессы в непрерывных и прерывных (сенте ььных) системах69 Если магнитное поле отсутствует, то тензор теплопроводности симметричен, а следовательно, и у = О. Пгнмвчлнив. Эффект Риги — Ледюка, наблюдаемый при исследовании теплопроводности кристаллов, свидетельствует о том, что создание градиента температуры в направлении оси 9 приводит в магнитном поле к возникновению теплового потока в направлении оси х и наоборот.

Этот эффект можно измерить, создавая градиент температур в направлении оси ро где приняты условия тепловой изоляции, т.е.,7<7в — — О. Аналогичный характер имеет ряд дополнительных эффектов в проводниках, проявляющихся при наложении электрических, тепловых, магнитных полей. Так, в проводнике возникает градиент электрического поля вдоль оси у при пропускании тока в направлении оси х при поперечном магнитном поле †..

эффект Холла; появление градиента температур вдоль оси ц при пропусканни тока вдоль оси х и магнитном поле вдоль оси х эффект Эттингаузена и др. (5, 7~). 53. Цилиндрический стержень вырезан из анизотропного кристалла таким образом, что его ось х составляет с главными осями тензора теплопроводности углы В = 30',70',68'. Найти угол 7 между нормалью к изотермическим поверхностям в стержне, совпадающей с направлением градиента температур, и осью стержня.

Тензор теплопроводности кристалла в главных осях есть 0.396 0 0 Л,„ь — — 0 0.525 0 (а,д = х,у,х). 0 0 0.484 / Ответ. у 5.73' 54. В классических опытах Фойгта по теплопроводяости анизотропных кристаллов (тетрагональной, гексагональной, тригональной систем) с тензором теплопроводности вида Лех Лхл О Лад = — Л „Л, 0 (сьь~З = х,у,х) 0 0 Л„ 70 Глаза й было показано, что ~д7 = т7, Т(Я Т = Л „/Л = О, где у — угол между векторами теплового потока и градиента температур, лежащих в главной кристаллографической плоскости кристалла, Таким образом, для кристаллов отмеченного, класса было найдено условие Л „ = О, свидетельствующее о симметрии тензора теплопроводности и послужившее экспериментальной основой при установлении Онзагером соотношений взаимности.

Найти соответствуюшее условие, показывающее справедливость соотношений Онзагера в аналогичных опытах по теплопроводности кристаллов моноклинной системы с тензором теплопроводности вида л„,, л„о л = л„, л„о (а,~У = т,у,з). 0 0 Л„ Рвш вняв. Для доказательства соотношений Онзагера Л „= Лз, в случае рассматриваемого кристалла необходимо провести два опыта, аналогичных опытам Фойгта, фиксируя в одном из вих ~7 Т = С„при отсутствии потока (.1<7х — — 0), а в другом 1Ч„Т)' = С'„при,7г~.

= 0 (см. примечание к задаче 52). В первом случае из системы линейных уравнений Онзагера следует а во втором Лак л „ где 7,7' измеренные в эксперименте углы между векторами теплового потока и градиента температур в первом и втором опытах. Если фиксируемые градиенты температур выбрать равными С, = С'„, то искомое условие для Л „= Лх, состоит в следующем: С„ тк7тк7 = —," = с',.

л„„ 55. Записать тензор теплопроводности Л поляризующегося газа при наличии электрического полн с напряженностью Е. р. й Неоаратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентельссых) системах71 56. Выяснить структуру тензора теплопроводности плазмы в сильном магнитном поле. Уклзлннк. Представить тензор Л в виде разложения в ряд по обратным степеннм индукции В магнитного поля и использовать соотношения Онзагера. 57.

Линейный закон длн электропроводности в анизотропной среде имеет вид 1 = ст. Е, где 1 — вектор полного тока, Š— вектор напряженности электрического поля, о -- тензор проводимости. Записать соотношении Онзагера для компонент тензора проводимости в магнитном поле. Рассмотреть частный вид тензора проводимости, когда внешнее поле В совпадает с осью х системы, а сама система изотропна при В = О. Ответ.

Общие соотношения Онзагера для симметричной а' и антисимметричной сто частей тензора проводимости анизотропного кристалла в магнитном поле суть ст" ~(В) = а'д( — В), а~~(В) = а,',д( — В), (ссВ = х, р, х). Дстя изотропного кристалла (плазмы) ст = аВ при В = О, ст — скаляр; < ст. аи О при Вфб. В'цесис О О осх (ст, О = х, й, х).

ап (.В) = а ( — В), ст (В) = а. „( — В), ст„(В) = о„( —.В), 58. Закон Онзагера длн электропроводности есть Я =. Я ° 1, где Я = ст ' = Я' + Н' — тензор электрического сопротивления проводника. В отсутствие магнитного полн Я~ = О, а при наличии магнитного полн (В ~ О) Ко = ьс ° В, где ье аксиальный тензор 3-го ранга, содержащий коэффициенты Холла. Пусть тонкая пластинка вырезана 72 Глава й — Йа„, О О то длн коэффициента Холла Й, в, отсутствует зависимость от угла у. Рншнннгь Преобразование системы координат (х, у, з) -э 1х',у',з') связано с вращением системы (х,у,х) вокруг оси з на угол у.

Это преобразование задается матрицей < и; п „п, ') ( сов7 вуп7 О ') ива п„„пв, — — — вш у сов у О и,а п,,в и,, О О 1 При этом общее преобразование тензора Й дв 1о, УЗ, д = х, у,х) состоит в следующем: Йа д а = иа .пд впе гйаяв (а,уэ',б = х, у,щ а',уа', д' = х', у', э'). Следовательно, с учетом матрицы коэффициентов Холла для висмута в системе (х, у, э) находим Й. в, — — п апв вп, ай. „, + и „п„аи,,Й„, Поскольку справедливо а а ва Й Л" Л„, = — Ла„, * = Вао Ла — ~уаэа1 В, то Й„„= — Й,„,. В итоге легко найти Й в, — — Й „,(сов у+вш у)=Й „„ в л 3 что и составляет искомый результат.

из монокристалла висмута и ее продольнан ось х составлнет угол 7 с осью 2-го порядка (ось х) кристалла, а поперечная ось э' пластинки совпадает с осью 3-го порядка (ось э). Показать, что если матрица коэффициентов Холла в системе (х,у,з) с ориентацией магнитного поля вдоль оси э задана в виде 59. Записать законы Онзагера для электропроводности анизотропного кристалла в главных осях (х', у', х') тензора электрической пРовоДимости а р (а,(7' = х,У,х), если в пРоизвольной ДекаРтовой системе координат (х,у,х) этот тензор задан в виде 2б 0 0 7 0 /0 10 — 70 — 1, — 1 ( 7 ) О З,~З 10 Ответ.

1 =25х10 7Е а, 1„= 16 х 10 7Ев а, 1, =4х10 7Е,а. 60. Вращающаяся с угловой скоростью (а7 изотермическая пкомпонентная система с произвольной анизотропией находится в состоннии механического равновесия. Считать, что в системе существенны лишь процессы диффузии в отсутствие всех внешних полей, кроме центробежных, и справедлива теорема Пригожина (задача 23). При этом выражение диссипативной функции представляется в следую1цей частной форме общего выражения (1.14): 7~1 = (1 — ро,)( г -'с 2( )) — (х'р) ° где о парциальный удельный объем; .Уп поток 7-го компонента в произвольной характеристической системе скоростей отсчета оа = 2 ахо1, аь --- весовой множитель скорости Й-го компонента.

Ь=1 Учитывая наличие связей в системе потоков и сил в форме О, ~ сь('(7рв)тт = 0; и=1 ах ус сь Ь=1 Е св(1 — ров) = О, В=1 х.Я. Неввратиные ирвцессыс в непрерывных и ирерывных (вентельных) систелсах73 Глава й где первая связь следует из определения диффузионного потока в произвольной характеристической системе скоростей отсчета, вторая есть соотношение Гиббса .. Дюгема, а третья "- тождество, рассмвти И риваемое как следствие тождеств 2 с1. = 1. 2 рьо1 = 1, преобразоЬ=1 в=1 вать выражение диссипативной функции к представлению, содержашему только независимые потоки и силы, и сформулировать закояы Онзагерв.

Ответ. 0 = ~.т,". Х„". > 0, .Ть' = ~~~ ЕььХ; (Й = 1,2,....,п — 1) и — 1 «;=К(в,,,вз) п1 — „,)( ', ь.в — («„.ьл 1=1 ав с3 (1 = 1,2,...,п — 1). 61. Записать соотношения Онзагера --- Казимира для компонент тензора феноменологических коэффициентов Ьл (Й,1 = 1,2....,ив 1), описывающих изотермическую диффузию во врашающейся пкомпонентной анизотропной системе (см.

задачу 60). Рассмотреть частный вид тензора Ьь:(Й,1 = 1,2) длн системы, в которой ось вращения совпадает с осью гв причем сама система изотропна в отсутствие вращения (ы = О). Показать, учитывая свойства симметрии системы и соотношения Онзагера — Казимира, что число независимых феноменологических коэффициентов тензора Ь11(Й, 1 = 1, 2) равно девяти. Рвшвнив. Общие соотношения Онзагера — Казимира для тензора л.ьл (Й, 1 = 1,2,..., п — 1), в случае среды с произвольной анизотропией представлены выражением (2.10): е.8.