Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях (Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях.djvu), страница 16

Неолратилые процессы в непрерывных и прерывных (венте,ъънъьх) системах113 Принцип Пригожина соответствует вариационному условию д / ъ)ъъЛс = б ~ 1Лп: ь7оъ11' = О. Это условие эквивалентно уравнению Лагранжа — Эйлера Соответствие этого уравненил стационарному состоянию системы легко показать, используя уравнение баланса импульса (1.4) без учета внешних сил 1Г = О) р с1с а = — 7. Р и дивергенцню от закона Онзагера и Р = — П7 '7о. Сравнивал, можно видеть, что условие стационарности сна эквивалентно 11 17о = О. Покажем, что состояние с минимальной диссипацией при заданных граничных условиях устойчиво.

Для этого дифференцируем полную диссипацию в системе по времени: ъ1с Х фЛ' = 21 Х ~о: ~ (Ао) с11 = — 2А ") (с)ъо 17 ° ~ъо)ьП' = — 2р ~(с)ео ° ъ)ъо)с11с < О. Этот результат показывает, что в процессе эволюции системы к стационарному состоянию полная функция диссипации системы убывает, пока система ие достигнет стационарного состояния, определяемого граничными условиями, т.с.

состояние с минимумом функции ф устойчиво. 95. Вывести нестационарное уравнение движения внзкой жидкости 1уравнение Павье — Стокса), используя интегральный вариационный принцип Дьярмати (2.29). Влиянием внешних полей пренебречь. Глава й Ответ. См. решение задачи 92. 96. Построить баланс энтропии длн элемента объема термодинамической системы. содержащей различные необратимые процессы— вязкую диссипацию механической энергии, перенос энергии и массы, перенос элементарных сдвигов 1дислокаций) тела. Уьлзлник. Использовать соотношение Гиббса в форме 1 р с"- дь рр Ав = — Аи — — А — э — 4 сь — — йгрр Т Т ~ Т Т и уравнение непрерывности ОДЬрр) = — ~7 )Ьррир),,Ур = ~)ррир, где 1лр химический потенциал области с распределенными дислокациями; 6 — модуль вектора Бюргерса; рр — суммарная плотность дислокаций; ор — скорость движения дислокации.

Ответ. .)гг ч да Ур .1, = — — э —.1ь — — > О, Т Т Т Пвнмнчлннк. Набор нвлений, обсуждавшийся в этой задаче, характерен для системы, подвергнутой пластической деформации. Как известно, последнии инициирует в твердом теле целый спектр необратимых процессов — это рассенние механической энергии в форме вязкой диссипации и за счет зарождения и роста трещин, перенос энергии и массы, движение дефектов строении. Каждый из этих процессов имеет характерное время релаксации и вносит вклад в общее производство энтропии в системе, инициируемое необратимой деформацией. 2.3.

Неооратвлсые процессы в непрерывных и прерывных (вентельных) систелсахН5 97. Построить выражение производства энтропии и линейные законы Онзагера для проводнщей термодинамической системы с дислокационным потоком (пластическое течение среды) и электрическим током (в поле электрического потенциала у). Использовать указание к задаче 96. Ответ. В=т-'Л, Е-ЛР зр(ф) >О. '='-. -'Р'(:) ,УР = -фиŠ— ЛРР"7 (ф) БРе = геР~ ~с = — Л ПРИМЕЧАНИЕ. Среди перекрестных эффектов, действующих в этой системе, наиболее примечателен так называемый электро- пластический эффект, заключающийся в возникновении дислокационного потока в кристаллическом теле под действием электрического полн. Этот эффект исследовалсн экспериментально в опытах по влиянию мощных импульсов электрического тока на пластическую деформацию металлов.

Было обнаружено возрастание последней на десятки процентов в кристаллах Хп, Бп, Сд, Ра при плотностях тока 10зА/лсжз [26). Этот эффект может быть применен при прокатке трудно деформируемых металлов. 98. Сформулировать линейные законы Онзагера длн термодинамической системы, содержащей процессы переноса тепла и вязкого и пластического (дислокационного) течения среды (см. задачу 96). Ответ. ~ы ине~(т) ~ге ~(т)' .Р Б „~(„) Е ~(~ — )., '.Р= — Ет 'СЬ, ~ =Б Глава М ПРиивчлпив. Эффскт термопластичности — один из обсуждаемых здесь перекрестных эффектов — состоит в возникновении дислокационного потока в кристаллическом теле под действием теплового потока.

Этот эффект легко наблюдать в экспериментах по выращиванию кристаллов из расплава. В этом случае с ним связан ряд следствий, в частности, появление остаточной кривизны в пластинчатых кристаллах, остаточных напряжений, от уровня которых зачастую зависит возможность получения или применения кристаллов либо необходимость их последующей обработки. Одновременно, если приняты условия, прадупреждающие термопластический эффект, то возможно выращивание бездислокационных металлических кристаллов или кристаллов с контролируемой дислоьационной структурой (27, 28]. 99. Провести анализ термопластических эффектов и найти распределение остаточных напряжений (см. примечание к данной задаче) в изотропном пластинчатом кристалла, растущем из расплава в следующих геометрических, тепловых и механических условиях: 1) поперечный (вдоль оси х) размер 1 кристалла остается малым в сравнении с продольными (вдоль осей йа л) размерами; 2) рост кристалла развивается вдоль оси х, и текущий его размер по этой оси отмечается координатой с < 1 границы раздела фаз; 3) пластическое течение в кристалле возможно только в плоскости фазовой границы, температура То которой постоянна; 4) напряжение сдвига а,(Т) кристалла есть функция температуры, обращающаяся в нуль при Т = Тв, 5) кристалл предохранен от изгиба.

Рвшвпив. Первое условие задачи позволяет пренебречь нормальной (вдоль оси к) компонентой а-, тензора напряжений, а две другие (вдоль осей уьз) компоненты считать одинаковыми, ав„= ц„= а(ж, г). При этом, как следует из закона Гука Ев~~ = о~~ — м(авв + Ов,) + жТЕ. Еввв = вгвв — и(н + а„) + глТЕ, Егвв: алв Р(а а + авв) + ОТ! х.З. Неолрвтичые процессы в непрерывных и прерывных (вентельных) систельпх117 соответствующие компоненты тепзора деформации суть евв = евл = е(х.,С), е = (2ав(х, С) + (1+ и)аТ)(1 — и) ь, где ра — коэффициенты Пуассона и теплового расширения; Š— модуль продолыюй упругости. Сам закон Гука, с учетом принятых допущении относительно компонент тензора напряжений, в представлении динамических переменных .'(х, С), сг(х:, С) принимает вид о.(х, С) = Еьй(х, С) — аЕ,Т(х, С), Еь = Е](1 — и).

Далее, обращаясь к распределенисо напряжений в поперечном сечении пластинчатого кристалла, отметим, что оно должно удовлетво- С рять условисо равновесия ] а(хь С)сСх = О. Дифферепцируем его по врео мени: в(х. С)4х+ о.(~)~ = О. о Подставляя сюда закон Гука и учитывая условие задачи ае(То) = а(~) = О, легко найти новусо форму условия равновесия: (й(х, С) — аТ(х, С))сСх = О. о В отношении величины б(х,С) необходимо сделать дополнительные замечания, Дело в том, что скорости перемещений материальных точек кристалла при деформации должны быть совместны; для этого величину й(х, С) необходимо подчинить условию совместности скоростей деформаций (см., например, [33])ь принимающему в случае деформации пластины вид ь(~е(х, С)СьСх~ = О. Интегрируя это условие, находим й(х.С) = а(С) + Ь(С)х, где п(С),б(С) константы интегрирования.

Однако по условию задачи кристалл предохранен от изгиба. и поэтому продольная скорость деформации не должна зависеть от поперечной координаты х, т.е. Ь(С) = О. С учетом этого обстоятельства из условия равновесия легко найти величину с(С) продольной скорости 118 Глава к деформации: 401 1 Г еф = о(1) = / глТ(х,1)в1х. =61) / о Что касается напрюкепий, то они могут возникать в любой материальной точке системы только начиная с момента т присоединения ее к фазовой границе, т.е. п(х,к) = ) п(х,р)й' при 1 > т. Подставляя в это соотношение закон Тука и учитывая результат 9 = о(1), приходим к распределению суммарных (термоупругих и остаточных) напряжений в растущем кристалле: о(х,1) = оТо — оТ(х,1) + / о)1')М.

а Распределение остаточных напряжений следует из этого решения при 1 — в оо. Птимкчлник. Под остаточными напряжениями понимаются напряжения, обусловленные прошедшей неоднородной пластической деформацией и остающиеся в твердых телах после снятия внепшей нагрузки, в данном случае после выравнивания температур в сечении кристалла. Рассмотренная модель механического поведения растущего кристалла была предложена Хироне 129] и Инденбомом [27]. Она применима в условиях высоких скоростей кристаллизации металлов, в особенности тугоплавких. 100. Используя решение задачи 99, вычислить суммарные и остаточные напряжения в пластинчатом кристалле толщиной 1. Для этого припять в качестве температурного поля, определяющего тепловой поток в растущем кристалле, решение однофазной задачи Стефана (29, 28] Т(р, — ) = Т, + — Ярев егГ 1 р — /, ~ ~(' с =рчЯй, р = —, ,3 т/о Й.З.

Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентелъных) системах!19 где Я вЂ” теплота кристаллизации: ос — теплоемкостсп а — тсмпературопроводностсп /! — кинетический коэффициент; Т, — температура на охлаждаемой поверхности кристалла. Ответ. Суммарные напряжения (4 = з/храп ег/(р) — сг/ р — + (еп — 1)1п —. Остаточные напряжении Сто (р, — ) = (еп — 1) (1+ 1п — ) .

Здесь ат =— Ессеи/ос(1 — р): Š— модуль продольной упругости: ы, сс — коэффициенты Пуассона и теплового расширения. Примечание. В приведенном решении для бе(р.,х/1) интересно отметить следующее обстоятельство. Можно видеть, что максимальные остаточные напряжения а' возникают в кристалле при координате (х/1) = 1 и, следовательно, рз = 1п(1+ а'~ /о г). Поскольку комплекс о г по порядку величины совпадает с теоретической прочностью кристалла на отрыв, то предположение а", = ат, рассматривающее разрушение твердого тела как термодинамический фазовый переход, ограничивает параметр роста кристалла сверху, рз (!п2.

101. Построить уравнение Онзагера для изотропного вязкоупругого тела, используя принцип максимальной скорости порождения энтропии Циглера (2.28). Условия деформации считать изотермическими. РЕШЕНИЕ. Представим полный теизор напряжений оад в виде суммы упругой ае и вязкой а" составляющих: а д = ае + б" тогда диссинативпан фуньпия системы и потенциал рассеяния в представлении потоков суть 12О Глава 2 Применяя вариационный принцип Циглера б(ф — Л'(2Ф* — ф)) =0 при варьировании по потокам (я д — скорость сдвига), легко найти общий вид определяющего уравнения вязкой деформации среды: бгдй*, з ~ . дФ* сг"д —— 21 . в.,б~ Ф', (а,д,уб=1,2,3), ~, дйзб у дйвд Для обратимой части деформации а д —— , — — С дтбвзб (а,д, у,б = 1,2,3), дввд гДе С = (1/2)С Дзбевлезб — УпРУгий потенЦиал на еДиниЦУ объема среды, определяемый в предположении малых деформаций е ЛК С д б — тензор упругих констант.