Радушкевич Л.В. Курс термодинамики (Радушкевич Л.В. Курс термодинамики.djvu), страница 52

Многочисленные опыты подтверждают простой линейный закон теплопроводности при небольших перепадах температуры, открытый Фурье (!807 г.): т,— тт я (9,1) Здесь ЬЯ вЂ” количество теплоты, переносимой при разности температур Те — Т, через площадку Л5 за время Л~ на пути х; к — коэффициент теплопроводиости. Из опыта известно, что теплота сама собой переносится от более нагретого слоя 262 Г х а в а 9. Основные воаросы термодинамики необратимых ароцессов с температурой Т, к более холодному с температурой Те (т.е. Те< <Т,); когда ЛЯ)0, то в выражении закона Фурье мы ставим минус.

В этом простейшем процессе теплопроводности вдоль Т вЂ” Т, прямой по оси х (одномерный случай) отношение ' ' явх ляется абсолютной величиной вектора градиента температуры, т. е. означает падение температуры на единицу длины пути. В общем случае потока теплоты через произвольную площадь М с вектором площади с нормалью ее к ней при градиенте тем- пературы вагаб Т выражение (9,1) принимает вид: ЬЯ = — кигай Т йЮйУ.

Если ввести вектор плотности потока теплоты Д = — кдгабТ, (9,2) то поток теплоты за единицу времени равен: йг ~* (9,3) т Когда происходит обмен вещества в процессе диффузии, то в простейшем случае одномерной задачи по опытным данным выполняется известный линейный закон Фика в виде: (9,4) где Лт — масса диффундирующего вещества, переносимого в те- чение промежутка времени М через площадь Л5 при разности концентраций с,— с, в слоях на расстоянии х друг от друга по пути переноса, Р, — коэффициент диффузии, который можно считать постоянным.

Опыт показывает в согласии со вторым началом термодинамики, что диффундирующее вещество пере- носится в направлении падения концентрации, т. е. всегда с,— с,<0; поэтому положительное значение массы Лт по- лучим, если введем перед выражением в правой части знак минус. Обобщая закон диффузии Фика, вместо градиента как се — с, падения концентрации на единицу пути ' ' введем векторх градиент концентрации дгаб с, и тогда имеем: Ьт = — Ре дгаб с йЮ йс, где ЛЮ вЂ” вектор площади с нормалью ее. Введем еще вектор плотности диффузионного потока: /р —— — Р, цгаб с. (9,5) Тогда поток вещества за единицу времени равен: — = ер зЯ. (9,6) аг 263 Е 1. Общие положения.

Локальные параметры состояния По Гиббсу процесс диффузии можно рассматривать как перенос вещества от большего химического потенциала ест к меньшему рг, 'этот перенос равноценен переносу под действием разности концентраций, так как химический потенциал зависит от концентрации и можно положить: атаби= ( — ) пгабс.

Г др Т (,дс)рт Поэтому вместо (9,5) можно принять ,/р — — — Р втаб Р, (9,7) где коэффициент диффузии Р связан с Р, простым соотношением РО =Р' ди дс Представление потока диффунднрующего вещества при помощи градиента химических потенциалов в виде (9,7) является ценным, потому что, как известно из главы 6, химические потенциалы характеризуют собой изменение внутренней энергии на одну частицу или на моль переносимого вещества. Следовательно, химический потенциал связывает перенос массы с изменением внутренней энергии в процессе диффузии. Обмен веществом может происходить не только за счет процесса диффузии, но также при регулярном течении жидкости или газа, когда налицо поток вещества.

В случае идеальной жидкости это есть простейший гидродинамический поток вектора скорости; для реальных жидкостей и газов необходимо учитывать вязкость (внутреннее трение), и тогда перенос обусловлен градиентом количества движения и в общем случае сводится к анализу изменения тензора вязкого напряжения в потоке; этих случаев для простоты изложения мы не рассматриваем. Заметим еще, что в неравновесной термодинамике вводится действие электрических и магнитных полей, а также могут учитываться химические реакции, происходящие в системе. Кроме того, иногда принимается во внимание механическое движение частей системы с конечной скоростью.

Здесь мы, как раньше, рассматриваем относительно медленные движения системы; также не будем описывать химические реакции, чтобы не усложнять изложение. Е 2. УРАВНЕНИЯ ЕАПАНСА ЭНЕРГИИ И МАССЫ В ОТКРЫТЫХ СИСТЕМАХ Рассматривая процессы в открытых системах, следует заметить, что основные начала термодинамики полностью соблюдаются для этих систем, но они должны быть сформулированы по-новому и, в частности, необходимо иметь в виду локальные 264 Глава й. Основные вопросы термодинамики необратил~ых ироцессов выражения обоих начал.

Обратимся прежде всего к закону сохранения энергии. Для примера рассмотрим поток теплоты в стержне, боковая поверхность которого изолирована от передачи тепла извне и поток теплоты идет вдоль длины стержня; эта задача является наиболее простой, так как тепло распространяется вдоль только одной оси х, т. е. мы имеем одномерную задачу. Пусть сечение стержня есть 5, и рассмотрим в нем слой толщиной с(х (рис. 46). Выведем уравнение баланса теплоты. Снизу в слой за время Ж поступает поток теплоты по закону Фурье (см. выше): дТ дх так как в этом малом слое имеется градиент температуры, который меняется вдоль слоя, то из последнего выходит другое количество теплоты, следуя тому оке закону, но с другим градиентом, т. е.

((),= — и( — + — — ()З (С тдТ д дТ (, дх дх дх Здесь всюду даны частные производные температуры, так как Т является функцией координаты х и времени. Разность обоих количеств с(Я, и И~в дает нам изменение количества теплоты в выделенном слое за счет его нагревания. Объем слоя есть Зс(х; если Си — удельная теплоемкость материала, а р — его плотность, то масса слоя есть р Зс(х и изменение температуры равно с(Т.

Поэтому количество теплоты, выделившееся в слое, есть сИ~ = С„р 3 с(х с(Т. По закону сохранения энергии и при отсутствии химических реакций и других процессов можно составить уравнение локального баланса энергии: с((~ = НЬ, — с(ЯЯ. Подставляя сюда написанные выше значения для аСг, ЙЯ> нациям получаем; С,,р Зс(хс(Т = х — Зс(хс(т'. Разделив это выражение на Зс(хс(с, находим: дТ д'Т С р — =.—, д> дхи или дТ деТ (9,8) — 'ц д> дхв Рнс. 46. а 2.

Уравнения баланса энергои и массы в'аткрытнех системах 265 гдет = — †коэффицие тем пер атуропроводс,р ности. Очевидно, что в (9,8) имеем: — = — — = + — (вагаб„Т !. жт а ат а дх' дх дх дх Обобщая поэтому процесс теплопроводности на трехмерное пространство, мы вместо уравнения (9,8) можем написать: — = э) Йуйгаб Т, дТ (9,9) дг где введено обозначение дивергенции (расходимости) вектора градиента температуры.

Уравнение (9,9) показывает, что скорость изменения температуры пропорциональна расходимости градиента температуры. Мы не рассматриваем многочисленных приложений уравнений (9,8) и (9,9), а также их конкретных решений, которые описываются в курсах уравнений математической физики и теплотехники. Здесь для нас важно, что уравнение (9,9) представляет следствие уравнения локального баланса энергии.

Так как для тела с постоянной удельной теплоемкостью и=СиТ представляет собой удельную внутренюю энергию,а согласно уравнению (9,2) мы может ввести плотность потока теплоты,(г, то уравнение (9,9) принимает вид: (9,10) дГ или для всей системы, когда (т'=ри, то — = — п(уу . аи (9,10') ат г' Выражение (9, 10') показывает, что скорость изменения во времени внутренней энергии системы равна расходимости потока теплоты (со знаком минус); для открытой системы всегда предполагается источник теплоты и расходимость (мощность) этого источника дает скорость изменения внутренней энергии в каждой макроточке согласно сохранению энергии.

В том случае, когда градиент температуры отсутствует, то юг=0, или дивергенция у равна нулю, и тогда по закону сохранения энергии из (9, 10') получаем (э'=сопз1. Рассмотрим пример переноса вещества. В опыте Джоуля— Томсона с пропусканием газа через пористую пробку, находящуюся в цилиндрической трубке (см. гл. 2), при небольших разностях давлений по обеим сторонам пробки допустимо считать процесс пзотермическим.

Пусть в общем потоке газа имеется небольшая примесь газа другой природы. Эта система, 266 Г л а в а 9. Основные вопросы термодинамики необратимьсс процессов состоящая из пористого слоя (например, ваты или песка),вместе с потоком газов является открытой системой, поскольку здесь происходит обмен вещества. При этом надо иметь в виду два потока: регулярный, или ко н в е ктивный поток, вызываемый разностью давлений по сторонам слоя, и диффуз и о н н ы й поток, вызываемый разностью концентрации примеси, возникающий за счет диффузии в слое.

Допустим, что разность давлений поддерживается постоянной, и рассмотрим баланс вещества в системе. Пусть пористый слой находится в трубке с сечением 5, средняя скорость потока равна о и газы в среднем движутся вдоль оси трубки по направлению х. Основная масса газа движется без диффузии, тогда как примесь с концентрацией с, движется и с регулярным потоком, и еще диффундирует вдоль х (например, за счет различия молекулярных свойств газов).

Рассмотрим баланс вещества в элементарном слое длиной с(х. Сюда спереди по потоку поступает некоторое количество газа вместе с регулярным потоком и за счет диффузии из предыдущих слоев. Далее часть газа выходит из элементарного слоя благодаря регулярному потоку и тоже вследствие диффузии в последующие слои. Однако некоторая масса газа удерживается в слое за счет конечной скорости процесса и образования градиента концентрации вдоль оси х.

Здесь концентрация с, является функцией координаты х н времени й Составим баланс массы газа в слое ссх, используя закон Фика (9,4): !) в слой с регулярным потоком поступает за время стс количество газа: с(т, = огас, с(с; 2) входит в слой за время с(с за счет диффузии количество газа: с(тл, = —  —" 5 с(с; дх 3) выносится из слоя с регулярным потоком за время Ж масса газа: с(те = оЯ ( ст + — ' с(х) с(г'; дх 4) выходит из слоя благодаря диффузии за время Ж масса газа: и )у( дст + д дст,(х) яа ~ дх дх дх Алгебраическая сумма всех этих величаи дает изменение количества газа за время ссс в элементарном слое с учетом изменения концентрации со временем, т. е.

с рте ~ с( 5 с(х д! Э 2. Уравнения баланса энергии и массы в открытых системах г67 Следовательно, уравнение локального баланса массы имеет вид: с(т, + с(тпя — с(тв — с(те = с)тте. Зная выражения всех количеств с!т из предыдущего, находим после сокращения иа Ж.5с(х: дст дст, д'с, ! т., дГ дх дхэ Этот результат можно легко обобщить на случай трехмерной диффузии с конвективным членом, т.