Болч К._ Хуань К.Дж. - Многомерные статистические методы для экономики (Болч К._ Хуань К.Дж. - Многомерные статистические методы для экономики.djvu), страница 11

п.— Прамеч. род. В общем случае при наличии возможности по своему усмотрению неогра"нчснно увеличивать объем выборки мы можем управлять величинами вероятности ошибок 1 и 1$ рода, При статистическом контроле качества именно эти соображения часто определяют объем выборки. значение генеральной совокупности не отличается от некоторого гипотетическогозначения р.„. Альтернативная гипотеза состоит в том, что среднее отличается от этого гипотетического значения.

Мы можем записать зти две гипотезы следующим образам; Но.р =Ро," ~'~ - РФРь. Перед проверкой мы решаем, что можем допустить вероятность совершения ошибки 1 рада, а = 0,05. Предположим, чта мы также знаем значение дисперсии генеральной совокупности о'. В большинстве случаев эта предположение нереалистично, и в следующей главе мы ат него откажемся. Поскольку нас интересует гипотеза, касающаяся среднего значения генеральной совокупности, естественно было бы проверить зту гипотезу при помощи выборочно ного среднего Ж. Мы уже знаем одно важное обстоятельство, ка- сающеесЯ Х, а именно, что Х есть несмещенная оценка среднего значения генеральной совокупности.

06Ж о О~~ Следовательно, математическое ожидание распределения выборочного среднего будет таким же, как -~аф б среднее значение генеральной со- вокупности. Действительно, для Рие. 2,И. Раенрелелеиие Х и г= (7 — больпюй выборки распределение — ИО)~'сх для больших л при условии. выборочных средних б~'дет сходнО что верна нулевая гипотеза с распределением, показанным в верхней части рис.

2.11. Из рис, 2.11 видна, что распределение выборочных средних близко к нормальному. И это действительно так, как утверждает следукхцая теорема (частный случай центральной предельной теоремы): при достаточна общих условиях, если Х есть среднее значение выборки объема л, взятой из генеральной совокупности со средним значением 1.. и конечной дисперсией о', то распределение выборочных средних, взятых случайным образом из этой совокупности, асимптатически приближается к У, (р., о'.~л) для больпгпх (на конечных) выборок '4. Эта теорема в значительной степени объясняет, почему нормальная плотность занимает центральное место в теории статистического вывода, и она допускает обобщение для векторов средних значений и многомерной нормальной плотности распределения. Заметим, что эта теорема не требует, чтобы генеральная совокупность, по наблюдениям из которой строятся средние, была нормальной.

14 Обсуждение доказательства этой теоремы ем, и 192~. Зная среднее значение, дисперсию и плс тность распределения выборочных средних, мы можем приступить к проверке гипотезы. Пронормируем распределение средних, перейдя к (2.35) где а-, — = а4~и. Зто нормирование предполагает, что среднее значение выборочного распределения определяется нулевой гипотезой и что нам известно значение дисперсии генеральной совокупности. Зто нормирование эквивалентно данному в (2.2), так как стандартное отклонение выборочного распределения задается а„-. Если нулевая гипотеза справедлива, то можно ожидать, что только сравнительно малое число выборочных средних даст значения г, сильно отличающиеся от нуля, хотя иногда мы и будем встречаться с подобными отклонениями, Предположим, что мы задаемся ограничением а/2=О,О25, т.

е. 2,5% распределения иа каждом ахвостеэ нормированной нормальной плотности. Легко найти значения г = = ~-г ~~, которые ограничивают эти критические области, По табл. 1 в приложении найдите значение О,О25. Соответствующее ему значение г на полях таблицы равно 1,96.Так как нормальная плотность симметрична, то значения я, ограничивающие а/2"Ь плотности на каждом ахвостеэ, будут равны ~1,96. Если нулевая гипотеза справедлива, то, производя выборку, мы ожидаем появления значения г„большего 1,96 или меньшего — 1,Э6, только в 5% случаев. Следовательно, если мы отвергаем нулевую гипотезу всякий раз, когда г оказывается в критической области, то мы предположительно совершаем в 5% случаев ошибку 1 рода.

С точки зрения выборочного среднего наше правило заключается в том, чтобы отвергать нулевую гипотезу, если выборочное среднее оказывается за пределами интервала р,, -1- г„~~ (ах). Эти критические точки легко найти решением (2.35) относительно Х. Зквивалентный способ проверки зтой 'нулевой гипотезы заключается в построении центральных доверительных пределов, Если доверительные пределы покрывают гипотетическую величину среднего генеральной совокупности, то мы принимаем нулевую гипотезу; если они не покрывают гипотетическую величину среднего генеральной совокупности, то мы отвергаем нулевую гипотезу. 100(1 — а)%-ные доверительные пределы определяются с помощью уравнения (2.35). В этом уравнении мы заменяем постоянную величину р,, переменной величиной р и переменную величину г — постоянной г~у~, после чего решаем его относительно р,.

В общем случае эту процедуру нахождения параметра с помощью статистики критерия мы будем называть обращением уравнения статистики критерия. В результате обращения уравнения (2.35) доверительные пределы оказываются равными Для заданного значения а мы можем ожидать, что при многократной выборке эти пределы будут покрывать среднее значение генеральной совокупности в 100(1 — сс) % случаев. Ранее уже обсуждалась проверка двусторонней гипотезы. Иначе говоря, нас интересовали как положительные, так и отрицательные отклонения от предполагаемого среднего генеральной совокупности.

Если нас интересуют только положительные или только отрицательные отклонения от предполагаемого среднего, то можно выполнить проверку односторонней гипотезы. Лля положительных отклонений мы будем проверять Но:~$ = ро, Н,: р,.> р,„ а для отрицательных отклонений мы будем проверять Что касается проверки гипотез в данном разделе„то единственное существенное отличие при проведении проверки односторонней Гипотезы по сравнению с двусторонней гипотезой состоит в том, что в качестве критического принимается одно значение г„. Тем самым мы ограничиваемся а% распределения в одном «хвосте» его.

Если конкурирующей является гипотеза р... р„то критическое значение г задается в правом «хвосге» распределения. Если конкурирующей является гипотеза р <„р.„то критическое значение г задается в левом «хвосте» распределения. 2.7. РАЗУМНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Большая часть проверок гипотез„рассматриваемых в этой книге, основана на предположении, что распределение генеральной совокупности, над которой случайным образом производятся наблюдения, нормально, Это предположение на практике часто не выполняется, и к нему нужно относиться осторожно. В статистическом выводе существуют два больпшх класса процедур проверки гипотез: параметрические и непарачетричеокие (или свободные от распределения). Параметрический статистический вывод в целом более мощный, если предположения, на которых построена модель, удовлетворяются. При параметрическом статистическом выводе, как правило, приходится предполагать конкретный вид распределения генеральной совокупности.

При непараметрическом выводе мы можем обычно делать менее строгие предположения о виде распределения генеральной совокупности. Ценой, которую мы платим за большую общность непараметрическнх методов, обычно является некоторое уменьшение способности отбросить нулевую гипотезу в тех случаях, когда она в действительности -не верна.

66 Явное преимущество ряда непараметрических методов заключаетси в их применимости к задачам, в которых измерение выполняется только в номинальной или порядковой шкале. Если мы можем классифицировать объект, значит, мы измеряем его в номинальной шкале. Так, когда мы говорим, что некто работает в фирме А, то это номинальное измерение. Если можно сказать, что результат одного измерения больше (или меньше), чем результат другого, значит, мы способны измерять в порядковой шкале. Большая часть современной теории полезности основана на предположении, что индивидуумы могутранжировать (или упорядочивать) свои предпочтения.

Методы, рассматриваемые в этой книге, базируются на предположении,:что измерения производятся в более информативной шкале, которую иногда называют шкалой отношений. Иначе говоря, мы не только знаем, что А больше, чем В, но мы также знаем, на сколько единиц А превышает В. Кроме того, на шкале отношений существует точка, представляющая нуль. Разумеется, предположение о шкале отношений и предположение о нормальности генеральной совокупности (совместно с другими предположениями, касающимися независимости и др.) накладывают сильные ограничения на применимость описываемых методов.