Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики, страница 4

Импульс называется также количествои движе!тя объема «!(Г). Под энергией здесь понимается полная энереия, равная сумме кинетическои и внутренней энергий. Законы сохранении массы, импульса и энергии. В основу вывода уравнсннй, опрсделяющих законы изменения этих характеристик, можно положить слелующий лриниил отвердевания! изменение массы, импульса и энергии любого движущегося объема !(г) в каждый данный момент времени происходит(за счет воздействия извне) также, как для твердого тела, занимающего объем !«(Г) и имсющего тс же самые физико-механичсскис характеристики. Приняв этот принцип, можно написать законы изменения массы, импульса и энергии в следующей форме.

20 Глхвл К МАтемлгичвскхя чолвль глзовой диилмики Это ласт интегральные законы сохранения в виде следующих балансовых уравнений: — ~~~ р а'и ° = — ~~ ри . п Н.у, — ~~~ рц Йш =. — ~~~(рп т рц(ц п)) Я, —,',Щу()е.:) .=-Ц( -.(-,'г.')) (4) Введенное здссь обозначение оператора дифференцирования д/д( (вместо е((Ф) подчеркивает, что ввкиу нсзависимости ы от Г этот оператор может быть внессн под знак интеграла именно как оператор частной производной по г. Очсвидио, что обе системы законов сохранения (3) и (4) равносильны, так как они выражают одни и те жс физические законы.

Этот факт легко проверяется и путем вычислений, показывающих, что каждая из систем (3) и (4) равносильна одной и той же системс диффсрснциальных уравнений на гладких решениях и одной и той жс системс соотношений на сильных разрывах. Система (4) удобна и часто используется на практике, например при анализе стационарных движсний, когда лсвые части в равенствах (4) обращаются в нуль.

Из основных физических законов в систему (3) нс вошел явно закон сохранения,иоиента мипульсть имеющий вид (б) эр) Оказывается, однако, что соотношение (5) не является независимым и сеть следствие первых двух законов сохранения (3). Проверка этого факта, которая должна быть выполнена отдельно дяя глалких и для разрывных движений, прсдоставляется читателю. Система (3) содержит всего пять скалярных законов сохранения и связывает шесть искомых основных величин (три компоненты вектора скорости, плотность, давление и внутреннюю энергию).

Следовательно, эта система уравнсний является недоанределенной. Для се пополнения трсбустся привлечение термодинамичсских свойств газа, обсуждаемых в следующем параграфе. 1 2. Тгечолинкмичвгкнь СВОйствп 2! л 2. Термодинамические свойства При тсрмолинамичсском рассмотрении статистически равновесных процессов в газах, наряду с ввслснными выше парамепграми састояпая р, р, е, используются ешс два основных параметра состояния: абсолютиая теипература Т пудель«ля (отнесенная к сдиницс массы) энтропия Я. В дальнсйшсм прслполагастся, по газ как термодинамическая система является дпухлараметри«еской средой.

Это означает, что его состояние вполнс определяется заданием каких-либо двух параметров. Следовательно, упомянутые пять параметров должны быть связаны тремя соотношениями. Первый закон термодинамики. Фундаментальное свойство эквивалентности тепловой и механической энергии выражается в виле первого закона теряюдииамикиг Тдз= де .рД где (г — — 1/р — удельный объем (объем единицы массы газа).

Левая часть равенства (1) равна количеству тепла, сообшаемому единице массы, а правая — прирашению внутренней энергии плюс работа расширения этой порции газа. На самом делс, лля двухпараметрических сред соотношение (1) является опрсдсленнем энтропии Я. Если рассматривать внутреннюю энергию как функцию удельного объема и энтропии, т. с. положить г = ЕЯ, Я), то (1) эквивалентно двум соотношениям: р= -Е ((г.Б).

Т=Еп((г,б). Следовательно, задание функции Е(Ъ; Я) полносгью описывает всю термодинамику двухпараметрической среды. Однако на практике такое задание не всегда удобно и термодинамические свойства газа описываются другими соотношениями, рассматриваемыми ниже. Идеальный газ. !'аз называется идеальным (иногда говорят — совершеииым), если выполнено уравнение Клапейрона, вытекающее из фундаментальных законов Бойля — Мариотта и Гсй-Люссака: р( =ВТ, гле Й вЂ” газовая постоянная, определяемая химическим (молскулярным) составом газа.

Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры Т. Действительно, если предположить, что е = 8((г, Т) и Я = Я(1;Т), то из (1) получатся два соотношения, которые в силу (3) имеют вид 22 ГЛАВА 1, МАтемлтическля модель ГАЗОВОЙ динАмики Я = Л!Г1 (à —. / 8 (Т)Г!!пТ.

(4) Следовательно, описание тсрмолинамики идеального газа сводится к заданию функции е = 8(Т). Политропньзй газ. Величина си = 8г называстсяудеяьной теплоемкостью газа при постоянном абъеие. Очевидно, что для идеального газа с~ зависит только от Т. Особенно важен частный случай, когда си .=. сола!. Определение 1. Идеальный газ называется «олитропным, если функция 8 линейна ио Т, т.е. 8 =- сиТ(си = сола!). Для политропного газа формула (4) даст 5 = В!о!Г+с~ !пТ;5о (Бо = сола!), откуда О $ ™ / с~ и из (3) получается соотношение р = А(5)рт, где у = 1-' с,, А(5) = йсхр с 8 — Оо Бсзразмерная константа т является важной характеристикой политропного газа и называстся показатезан адиабаты (или показателем политропы).

Так как г! > О и си > О, то всегда О > 1, Для внутренней энергии политропного газа из предыдуших соотношсний получается выражение (6) Молель политропного газа благодаря ее сравнительной аналитической простоте и подтвержденному опытом хорошему приближению к действительности получила широкос распространснис в прикладных исслсдоваииях. Исключение энтропии Я перекрестным дифференцированием приволит к соотношению 8 = О, т.с.

е = 8(Т). Если функция 8(Т) известна, то интегрированис предылушнх уравнений ласт выражение (с точностью до произвольного постоянного слагаемого! З 2. ТеамодинАмические сВОЙстВА 23 Нормальный газ. Оказывается, что качественное исследование фундаментальных закономерностей в газовой динамике может быть выполнено без окончательной конкретизации основных уравнений состояния газа при условии, что участвуюшие в этих уравнениях функции удовлетворяют некоторым сстественным требованиям. Такая обобщенная трактовка была впсрвые предложена Вейлем и затем повторялась в ряде монографий (см, (4, б)). Формулируемое ниже определение понятия «нормального» газа несколько отличается от упомянутого прототипа в сторону сужения класса сред, но зато ласт возможность описать более широкий класс процессов без каких-либо лополнитсльных предположений.

Уравлелляии сосмоялия называются зависимости ! = Х(а, В) = д(1' о), =- = ЕЖ р) = Е(К Я), (7) где $~ =- 1/р, удовлетворяющие уравнению (1). Определение 2. Газ называется норнальныи, если функции (7) обладают следующими свойствами !" и 2с. 1", Функция !' определена, трижды нспрерывно дифферснцирусма в области (О < р < ж, 5, < 5 < Я') (может быть 5, =- — со, Я = -;со), всюду в этой области удовлетворяет неравснствам (в) 7" > О, (ь) 7р > О, (с) 2лр > О, (г)) 2л > 0 (8) и предельным соотношсниям 1пп )'(р,Я) = О, !~и 7"(р,Я) = оо. 2о.

Функция е определена, трижды непрерывно дифферснцирусма в области Я вЂ” - (О < Ь' < ос, 0 < р < ос), всюду в Я удовлетворяет неравенствам (в)е>0, (Ь)ре,>е (10) и предельным соотношениям !пп с(К р) = О, 1пп Е(К Я) = О . 1-о Легко проверяется, что политропный газ является нормальным. Свойства функции д в области (О < Ь' < сс, Я. < 5 < Я') аналогичны свойствам функции 7 с очевидными измснениями, вытекающими из того что 1т = 1~р.

Диффсрснцированис тождества 7(1/КЯ) = д(КЬ) по и Я дает соотношения ,) = — Ъ'"ди 22 + РРРР = 1 дкк 2В =- дь' з 3 24 ГЛАВА!. МАТГмлгичвскля иодаль ГАЗОВОЙ динАмики в силу которых из (8) следуют неравенства (а) д > О, (Ь) д~ < О. (с) ди > О, (с3) дв > О. (12) Видно, что неравенство (е,с) сильнее, чем (12,с). Условия (12) определяют «газ Всйля». Данное выше определение 2 несколько сужает класс рассматривасмых сред, но зато расширяет совокупность закономерностей, которые, будучи справедливы для политропного газа, распространяются также и на нормальный газ. В частности, это относится к свойству взаимно однозначного соответствия между плотностью р и скоростью звука с (см.

ниже определение 3), которос для «газа Вейля», вообше говоря, не имеет места. Из соотношений (2) для нормального газа вытекает ряд важных свойств, которыс указаны ниже. Лемма 1. В нормальном газе функцин ((р,Е) при любом фиксированном В Е (Е„, В*) и функция л(У, р) обладают следующими свойствами: (а) ) — О, (р. О при р- О; ( зл(Р: о) (Ь) интеграл )Г, гтр' конечен; Р с (с) е„> О, 2с~ +р > О. Доклзлтильство, Первая формула (2) равносильна интегральному равенству (зависимость от В явно не указана, т. к, В = соавг) Е(У) — Е(У1) = / д(У') бУ'. Из него, в силу второго условия (11), при У1 ос следует сходимость интеграла д(У') г(У', что влечет свойство д(У) — О при У вЂ” Оо, равносильное первому (а). Ввиду монотонного убывания д с ростом У из (») при У~ > У получается неравенство Е(У) — Е(У1) > (Уг — У)д(Уз). Если в нем положить Уз = 2У и перейти к пределу при У вЂ” оо, то Ь 2.

Твгмолиилмичьскиа свойствн 25 получится также, что Уд()г) — О при 1' — оо. Далее, интегрирование по частям в (н) лает равенство Е(Г) — ЕЯ) = Ъ~уЯ) — ~'у(Г) — / ди()l')Г Л" . (нн) (1З) с конечным несобственным интегралом в правой части, который равен интегралу (Ь). Первое неравенство (с) следует из соотношения груз = Т и (! 2 6). Далее, дифференцирование равенства е(Ъ; д(Ъ )) = Е(Г) дает соотношение си ч- е„ди = — р, из которого, в силу (1О,Ь) следует неравенство е~ -~-р > р з(ди)е. Наконец, функция С(Ъ') = 2диЕ -1 дз — О при 1' со и Си = 2дииЕ > О.

Значит всюду С(У) < О, что равносильно неравенству 2(ди1е > рз, которое вместе с предыдущим дает второе неравенство (с) Формулу (13), в силу (Ь), можно переписать в виде е -ьр~' =- ( — г(р, р,( о (14) где интеграл берется при постоянной Е. Указанные в Лемме 1 свойства позволяют ввести понятие вакуума путем доопредсления функций у и с их предельными значениями при р — О. Состояние вакуума нормального газа определяется любым из слсдующих Равенств (при Я, < Я < Я*), влскушим выполнение остальных: (15) р=О, е=О р=О, ь'=со, ни Так как ~д~ ( убывает с ростом ~', то отсюда при )г1 > 1' получается неравенство Е(~') — Е(1'1) > Гзд()з) -- Ъ"у(1") + -(Р~ - Ъ' )у~ (Р1). 2 Снова положение Р~ = 2)г и переход в полученном неравснствс к прсдеду при 12 — оо с учетом предыдущего приводит к свойству Ъ'~ди — О при )г — оо, равносильному второму свойству (а).