Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики, страница 10

Развивая предыдущее рассуждение, можно рассмотреть следующую ситуацию. Пусть на некотором решении Ф сущсствуст характеристика Г, дслящая (локально) пространство 1?" (х) на лвс части, 1 и 2, н пусть сужение ланного решения на часть 1 есть Ф,. Спрашивается, можно ли восстановить решение Ф в части 2, зная только Ф~у Следует учесть, что решение Ф удовлетворяет условиям на характсрнсгикс Г, и потому по данным на Г все производныс по нормали к Г в части 2 найти нельзя. Поэтому возможно, что в части 2 существует другое рсше- 56 Гллвк!. Мктгмктичксккя модьль газовой динамики нис Фз ф Ф, непрерывно примыкающее на Г к решению Ф,. Отличие Фз от Ф в точках Г будет в том, что некоторые производные ла ворчали к Г будут на Г различными для Фз и Ф.

Образно говоря, решение, составленное из Ф1 и Фз, вдоль характеристики Г имеет как бы излом. Это привалит к понятию слабого разрыва. Определение 4. Гладкая гипсрповсрхность Г с 11" (х) называется лаверхаастыо слабого разрыва рсшсния Ф, если это решение, а также первые производные от него по касательным направлениям к Г всюду непрерывны (включая Г), а кокоторые первые производные по нормали к Г, будучи непрерывны вне Г и односторонне непрерывны на Г, имеют в точках Г разрыв первого рода. Предшествующее рассуждение показывает, что характеристика может быть поверхностью слабого разрыва (но может и не быть таковой). Обратное утверждение является точным, Доклзлтддьство. Пусть Š— единичный вектор нормали к Г.

Рассуждая от противного, достаточно показать, что если в точках Г на решении Ф будет г(сс А(Е) р О, то из системы (1) можно найти единственным образом первые производнью всех функций ил по направлению Е, выразив их через значения самих функций и и их производных по касательным направлениям к Г. Это будет означать, что на Г разрыва нормальных производных нет, в противоречии с условием тсорсмы. Пусть д/дх есть дифференцирование по направлению нормали Е к Г.

/(ля каждого направления 1 дифференцирование д/д1 можно разложить в сумму д/д1 =- (Е . 1)д/дЛ + д/дв, где д/дв — дифференцирование в направлении, перпендикулярном Е, т.е. касательном к Г. В частности, для д/дх' в качестве 1 надо взять орт оси т,', так что б . 1 =.= г„и зто разложение дает д ь д Я д л = С,— + — (1= 1,..., п). дх1 дх д 1 (12) В результате подстановки выражсний (12) в уравнения (1) с учетом формул (4) получаются уравнения т т и Ам(б) — = /д — ~ ~г аь ~ (1 = 1, ..., гп), (13) и=1 ь=г,=з Теорегла 2. Если гилерлаверхиасмь Г являемая лаверхиастью слабою разрыва решения Ф, та à — харакверисмика иа решении Ф.

йь. Ххглктбеис!нкн н слхвык Рлзаывы ыг.! 57 Характеристики уравнений газовой лннамнкн. Предыдущие понятия и факты существенны дяя понимания качественных закономерностей движения газа и должны учитываться при анализе уравнений газовой динамики.

Для отыскания характеристик исходную систему удобно взять в виде системы (3.15) или (3.! 6), для которой соответствующая форма записи (2) уже получена в виде (3.17). Из нес следует, что система уравнений газовой динамики является гилерболи ~еской. Для вычисления вводится следующая запись искомого нормального характеристического вектора: Е=(т, б, О. ~). (14) соответственно обозначениям независимых переменных (1. а, у. г). Харак- тсристическая матрица А'г -ь А'С + Аег1 Ч А'С такова: рх о о о рх о РХ ( г1 О О О б О д С О ьх о О А(б) = здесь введено обозначение (16) В силу определения 4 правые части равенств (!3) являются функциями, нспрерывнымн всюду, в тол5 числе и на Г.

Так как матрицей из козффициснтов при Ви" /дЛ является характеристнчсская матрица А($), то неравенство <1ес А(б) Ф О позволяет определить все нормальные производные диь/ВЛ однозначно. Задача об отыскании характеристик сводится к построению решений уравнения (9) для одной искомой функции 6(к), которое само ссть уравненис с частными производными первого порядка. Общая теория таких уравнений (см. напр, (9]) устанавливает возможность их решения методом характеристик. В свою очередь, характеристики уравнения (9) называются бихарактеристиками системы (1) (в общем случае — на ращении Ф) и описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

Существенное свойство бихарахтеристик состоит в том, что вдоль них, по определенным законам, распространяются слабые разрывы (скачки производных) решений гиперболических систем вида (1). Законы распространения слабых разрывов задаются специально выводимыми транслортлыми уравнениями; они имеют большое значение для понимания и анализа структуры решений системы (1).

Нскоторыс детали упомянутых здесь постросний будут изложены пижс на ряде примеров различных газодинамических моделей. 58 глАИА <. млп<мАтичкскАя медаль гхзовой динАмики Вычисление определителя с учстом обозначения (3. ! 5) дает <(ег А(б) = а'<<хз(х' — с'Ы' + <12 + С')). (17) и два простых корня Г = +' "<' 77 ~ << (19) Соответственно корням определителя ( ! 7) характеристические поверхности, уравнения которых получаются, если положить в (!8) или (!9) б=(т,4, <1,0 =(«<; <та, «ю «А), (20) подразделяются на два типа.

Для наглядного представления об отличительнь<х свойствах разных типов характеристик удобно вернуться в пространство Л~(х) и представить каждую характеристику Г как двумерную поверхность С(1), перемещающуюся со временем в Лз(х). Пусть и есть орт нормали к С(1) и ф— скорость перемещения поверхности в направлении нормали и (см. определение 4,3). Считая б единичным вектором, можно написать формулу, аналогичную (4.2): б = 1соз(б,1) ь пв!п(б,1), в силу которой для величины (! 6) получается выражение ;< = соа(б,1) и„в!п(с,1), С другой стороны, так же как и в 8 4 (см.

(4.7), для скорости перемещения С„ справедливо соотношение С„ = в!И(С,!) 2- соз(С,<) = О. Следовательно, д .= (и, — С„) а!И(4. <). Кроме то<о, из представления ( следует равенство (21) бз й2 (з = а!Из(6 <) (22) Этот определитель, как многочлен пятой степени относительно т, имеет пять вещественных корней, которые даются следующими формулами; один трехкратный корень х=О (18) 46. Хкслктггистики н стлвые РА3РыВы и„— С„= хс.

(23) Через такую характеристику газ течет, причем относительно характеристики по нормали к ней — со скоростью звука. Характеристики этого типа называются звуковыми характеристиками. Ясно, что скорость распространения звуковой характеристики, в направлении нормали к ней, по частицам газа равна скорости звука. Слабый разргяв возможен как на контактной, так и на звуковой характеристике. Из предыдущего следует, что если слабый разрыв распространяется по частицал1 газа (т.с. если через поверхность слабого разрыва газ течет), то его скорость относительно частиц газа (по нормали к поверхности разрыва) всегда равна скорости звука.

Для отыскания уравнений характеристик в виде 6(1, х) = сопят следует, согласно общей теории, подставить выраженис (20) в уравнения (18) и (!9). В случае контактных характеристик это дает уравнение 61 + иИ, "; иИа + злИ, = О. В случае звуковых характеристик соответствующее уравнение таково: (24) И~-ьиИ,+иИ„+изИ, =хе Из+6з+Из, (25) Каждое из этих уравнений, в которых и, ш их с надо считать известными функциями переменных (х,1) (характеристики ищутся на данном решении!), представляет собой дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка для одной искомой функции И. Для этих уравнений можно поставить задачу Коши: найти решение 6(йх), если задана функция 6(О.х) =- 6о(х).

(26) Из обшей теории дифференциальных уравнений этого вида следуст, что соли функции и, и, ш, с являются достаточно гладкими, то для любой нспре- Классификация характеристик. Предполагая скорость перемещения С„конечной, можно дать следующую классификацию типов характеристик. Первый тип; т = О или и„= С„. Через такую характеристику газ не течет. Она отделяет одни частицы от других и, следовательно, в пространстве Л~ является геометрическим местом траекторий частиц. Характеристика этого типа называется контактной характеристикой (иногда говорят— энтролкйнай характеристикой).

Второй тип: Х дается формулой (19). В силу (2!) и (22) эта формула равносильна такой: 60 Пзлвл!. Млтимлгичвскля модель лзовой динлмики рывной начальной функции (26) существует единственное решенно (во всяком случае, в малом по г). С геомстричсской точки зрения задание начальных данных (26) эквивалентно заданию начальной йвучерлой поверхности в Лз(х) с уравнением 6о(х) —. со1заг, чсрсз когорую и пройдут харакгеристики 6(ц х) = сопац Для одной и той же начальной повсрхности таких характеристик будет три: одна контактная — решение уравнения (24) и две звуковые — решения уравнения (25) для разных знаков в правой части. Полезно отмстить, что уравнения (24) и (25) компактно записываются с помощью оператора дифферснцирования в частице (3,3); (27) Р6 = О, Р6 ~ с~з76~ = О В дальнейшем контактные характеристики булут обозначаться символом Со, а звуковые -- символами С или С соответственно выбору знака в (27). Бихарактсристики.

Решение задачи Коши (26) может быть построено методом характеристик применительно к каждому из уравнений (27). Характеристики этих уравнений называются оихарактяерисшихагии исходных уравнений газовой динамики. Соответственно типам характеристик уравнений газовой динамики различаются коитакгныс и звуковые бихарактеристики.

Согласно обшей теории они представляют собой кривые в пространстве )г (и, г), вдоль которых координаты точки и производные функции 6 удовлетворяют опрсдсленным обыкновснным дифференциальным уравнениям, коюрые называются уравлениязгц бихаракверястнк Уравнение (24) линейно относительно 6.