Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений, страница 7

Если газ не покоится, а движется как целое с постоянной скоростью и, то картина не меняется, эа тем лишь исключением, что теперь волны сносятся потоком, так что скорости их распространения относительно неподвижного наблюдателя становятся равными и -)- с (направо) и и — с (спалено» е*е)). В этом легко убедиться, если перейти в уравнениях газодинамики к новой системе координат, движущейся вместе с газом со скоростью и.

с) В силу яззвтропичпости течения язмекепяя плотпостп я давления пе пезазпсимы, а всегда связаны между собой термодипамичесвям соотпошепяем Лр = с»ЛО. *е) Мы пишем здесь Ли вместо и з целях единства обозначений. с"е) Мы заключаем слово спалезоэ з кавычки: если и ) с, то волна также бежит направо, по, разумеется, медленнее, чем повезя. хАРАктвРистики Предположим теперь, что в произвольном плоском изэнтропическом течении газа, описываемом функциями и (х, 1), р (х, 1), (или д(з,з), см.

первую сноску на стр. 24), в момент 1«в точке х«возникли произвольные малые возмущения скорости и давления. Рассматривая небольшую область. около точки х«и малые промежутки времени (неболыпую окрестность точки х«, 1» на плоскости х, 1), можно в первом приближении пренебречь изменениями невозмущенных функций и (х, «), р (х, 1), аследовательно, о(х, 1) ис(х, 1) в этой окрестности, и считать их постоянными, рав- С ными значениям в точке х«, 1«. Вся описанная выше картина распространения возмущений переносится и на этот случай. Если возмущения Ли (х„««), Лр (к„Х») произвольны, то они также распадаются на две составляющие, одна из которых начнет распространяться вправо со скоростью и«+с«, а другая «налево» со скоростью и« вЂ” с«, причем под и, и с, здесь х следует понимать локальные значения этих Рис.

«д. сетка двух семейств величин в точке х„з«. характеристик в изэвтропкче- Поскольку и и с меняются от точки к скок случае. точке, то на протяжении длительного промежутка времени пути распространения возмущений на плоскости х, ц описываемые уравнениями дх/И=и -)- с и Нх/И=и — с, будут искривляться. Эти линии на плоскости х, ~, вдоль которых распространяются малые возмущения, называются характеристиками. При плоском изэнтропнческом течении газа, как видим, существуют два семейства характеристик, которые описываются уравнениями Нх Нх — =и+с, — =и — с, ш ' з« и называются соответственно С+- и С -характеристиками.

Через каждую точку па плоскости к, «мож- но провести две характеристики, принадлежа- л щие С«.- и С -семействам. В общем случае Ркс 1 Я Сетка трех се хаРактеРистики кРиволинейны, как показано на мейстз характеристик в ве- рис. 1.7. В области постоянного течения, где ва»втропичвском случае. и, р, с, о постоянны в пространстве и во времени, характеристики обоих семейств — прямые ливии. Если течение не изэнтропично, а только адиабатично, т.

е. энтропии различных частиц газа не меняются во времени, но отличаются друг от друга, возможны и возмущения энтропии. В силу адиабатичности двнже- х'Я ння — „= О, т. е. всякое возмущение энтропии, не сопровождающееся возмущениями других величин (р, о, и), остается локализованным в частице и перемещается вместе с частицей вдоль линии тока. Линии тока, следовательно, в случае неизэнтропического течения также являются характеристиками. Они описываются уравнением ЫхЯ« =- и и называются С,-характеристиками.

В неиззитропнческом течении через каждую точку х, г проходят трк характеристики и плоскость х, 1 покрывается сеткой трех семейств харак- теристик С«, С, С«(рис. 1.8). 26 РАЗОДинАминА и клАссичкскАЯ тиОРия УДАРных Волн 1гл. До сих пор мы говорили о характеристиках как о линиях на плоскости х, г, вдоль которых распространяются малые возмущения. Однако этим не исчерпывается значение характеристик.

Уравнения газовой динамики можно преобразовать к такому виду, чтобы они содержали производные от газодинамических величин только вдоль характеристик. Как будет показано в следующем параграфе, в изэнтропическом течении вдоль характеристик переносятся не только малые возмущения, по и определенные комбинации газодинамических величин. Как известно, функцию двух переменных /(х, 1) можно дифференцировать по времени вдоль определенной кривой х=>р(1) ва плоскости х, ц Производная по времени от функции /(х, г) вдоль произвольной кривой х=у(1) определяется наклоном касательной к кривой в данной точке >/х/Й=>р' и равна ( >=- д/ '> д/ д/ дх д/ д/ — ) =- — + — -= — + —:.

д>,Л,= дс и дс = дс дх С двумя частными случаями дифференцирования вдоль кривой мы уже д .знакомы: это — частная производная по времеви — (вдоль кривой х = дс д д д = сопзс, >р' = О) и субстанциональная производная — = — + и— дг д> дх (вдоль пути движения частицы или вдоль линии тока: >гх/с>с = >р' = и). Преобразуем уравнения плоского адиабатического движения к такому виду, чтобы они содержали производные от газодинамических величии только вдоль характеристик.

Для этого исключим из уравнения непрерывности — +Š— =О ди дс дх производную от плотности, заменив ее на производную от давления. Поскольку плотность термодинамически связана с давлением и энтропией О=О(р, О), а и>О/>гг = О, имеем Ъ Подставляя это выражение в уравнение непрерывности и умножая уравнение на с/О, найдем 1 др и др ди — — -+ — — +с — =О. ес дс ес дх дх Сложим это уравнение с уравнением движения ди ди 1 др — + и — + — — = О. дс дх э дх Получим д > 1 Гдр др > дс ' дх) Ос 1 д> — + (и -'; с) — - — 1 + — ~ — + (и + с) — ( = О. дх Вычитая одно уравнение из другого, найдем аналогично ( дс+( )дх/ >>с Гд> ( )дх1 Первое из этих уравнений содержит производные только вдоль С+-характеристик, а второе †толь вдоль С -характеристик.

Замечая, что 1 е1 плоское изэнтРОпическое течение. инвАРНАнты РимАнА 27 сЫ уравнение аднабатичностн — = 0 можно рассматривать как гй вдоль Се-характеристик, запишем уравнения газодинамики в 1 ах ди+ — с(р = 0 вдоль С+.. — — — - и+ с, ос гй 1 ах Ни — — с(р = 0 вдоль С: — = и — с, ос сй ах с1О = 0 вдоль Се'. —.

= и. ас уравнение виде (1.40) (1.41, (1.42) В лагранжевых координатах уравнения характеристик приобретают внд (см. (1.18)) аа о аа О аа С,: — =с —, С: — = — с --, Се: — =О. гй Ос' — й Ос' ' й Уравнения вдоль характеристик не отличаются от уравнений (1.40) — (1.42). В сферически-симметричном течении уравнения характеристик в эйлеровых координатах таковы же, как и в плоском случае (только координату х следует заменить на радиус г).

Уравнения же вдоль характеристик СА содержат дополнительные члены, зависящие от самих функций, но не от их производных 2ис а'г Ни 4- —.с(р= Ч= — й вдоль Се. — —— и ~ с. ос г гй В ряде случаев уравнения газодинамики, записанные в характеристической форме, для численного интегрирования удобнее, чем обычные. й 6. Плоское изэнтропическое течение. Инварианты Римана В изэнтропическом течении энтропия, будучи постоянной в пространстве и во времени, вообще выпадает из уравнений. Все течение описывается двумя функциями: скоростью и (х, 1) и какой-нибудь одной иа термодинамическнх переменных: р(х, 1), р(х, 1) или с(х, 1). Последние однозначно связаны между собою в каждой точке чисто термодинамнческими соотношениями: О=О(р), с=с(м) или р=р(й), с=с(й); '=бФ'Е Дифференциальные выражения Ии+с1р!Ос и Ыи — Нр7йс теперь представляют собой полные дифференциалы величин (1.43) ,7 = которые называются инвариантами Римана' ).

С помощью термодинаыических соотношений интегральные величины ~ ир(рс = ~ сс(фр в принципе можно выразить через одну из термодннамических переменных, скажем, скорость звука с. Например, в идеальном газе с постоянной теплоемкостью р = сопэ1 От, с' = у сопзь От-1 *) Прн ненаэнтропнческом течении о н с ааенсят от двух переменных: р н о, н выражения аа ~ ир/Ос уже не являются полными днфференпналамн. Комбннапнн (1.43) в этом случае не имеют определенного смысла.

28 газодипамика и классичнскАя ткогия гдАгных волн [гл, г У =и ь — с. 2 т-1 ' (1.44) Инварианты Римана определяются с точностью до произвольной постоянной, которую з тех случаях, когда это удобно, можно вообще опустить, как это сделано в формуле (1.44). Уравнения (1.40), (1.41) свидетельствуют о том, что в изэнтропическом течении инварианты Римана постоянны вдоль характеристик Не У,=сопзо вдоль С+. — =и+с; ~] Ж о'х У =сопзо вдоль С: — =-и — с. до (1.45) Это положение можно рассматривать как обобщение соотношений, справедливых для случая распространения акустических волн по газу с постоянными скоростью, плотностью и давлением.

Последние получаются из общих уравнений з качестве первого приближения. Если положить и=из+Ли, р= ро+Лр, то в первом приближении Ха=ко+Ли ш ~ — — =Ли ш — -]-сопзь. нар ао Оооо Еооо (1.46) Уравнения характеристик в первом приближении записываются в виде ох — =ио ]- со, х=(ио ~со)Ф+сопзВ.

Таким образом, вдоль пути х=(и,-]-с,) 8+солей сохраняется величина Ли+ Лр/йосо, откуда видно, что она может быть представлена в виде функции от константы в уравнении х=(и,-]-с,) ~+совз$: Ли+ — = юг (х — (ио+ со) 1]. Ьр ео о Вдоль пути х= (ио — со) о+сопзо сохраняется величина Ли — — = — 2/г [х- (ио — со) о]. Лр ео'о Изменения скорости и давления представляются в виде суперпозиции двух волн (, и /г, бегущих в противоположных направлениях: Ли= =)г — А. Ьр=йосо(1~+1г) причем в каждой из них величины связаны между собой уже известными нам соотношениями: Аш ар йги = = 1м Ы~ = — = — (г.