Г.Б. Бокий - Кристаллохимия, страница 5

Рвс. 2$. Фигуры, обладающве осямв свммотрнн а — шестерней вернвньно-поворотной; 6 — шестерной ннверснонной Обозна- челке Элемепт оммметркл !! Р= С ° о С ° о Ь-(= 4) Та Ф о (= б) б й- (= 3) л ах О порядка Еь Очевидно, что этой осью обладают все фигуры, ибо любая из них после поворота на 360' совпадает сама с собой. Других элементов симметрии в кристаллах быть не может.

В табл. 2 собраны все встречающиеся в кристаллографии элементы симметрии и их обозначения. Оси симметрии были введены к кристаллографию Вейссом в 1804— 1809 гг. Позднев (1815 г.) он предложил деление кристаллов на 6 систем — сингоний (см. ниже). йл. чзлемэеиве элементом спмметрми. Вкды симметрия Симметрические преобразования или элементы симметрии, им соответствующие, являются математическими образами, допускающими тавлицл 3 Элемевты симметрки и их обозначения Плоскость симметрии Цектр симметрии Двойная поворотвая ось симметрии Тройпоя поеороткан ось симметрии Четкервея поворотная ось скмметркк Шестеркея позороткая ось скмметркк Четверная квверспоккая кля зеркалько- поворотная оск симметрии Шестеркая кязерскопкая ось свмметрпи Тройная икверсвоккая клк пэестеркая зе р- калько-повороткая оск симметрии Зеркально-поворотные оси воспринимаются несколько легче инвер сионных, их легче определить на моделях, поэтому при изучении внешней формы кристалла ими часто пользуются.

Инверсионнымн осями удобно пользоваться при изучении атомной теории структуры кристаллов и базирующейся на ней кристаллохимии. Поэтому мы в дальнейшем будем пользоваться только инверсионными осями. Четверные зеркально-поворотные оси полностью соответствуют четверным инверсионным: Ле = Ьа. Двойная инверсионная ось эквивалентна плоскости симметрии, т. е.

Ей=Р, двойная зеркально-поворотная — центру симметрии: Лз — — С. Для формальной полноты картины следует еще указать на ось первого Р( яэ) С( 1) 1.з (= а) е.а ( 4) Аэ(= 6) Иэображение по отлоюелмю к плоскости чертеже перпенпкктлярпое ~ паРаллельное проведение с ними определенных ыатематических операций или преобразований. Так, в частности, элементы симметрии можно складывать. Сложение элементов симметрии приводит к появлению равнодействую щего элемента. равнодействующее же преобразование (или элемент симметрии) сразу дает тот результат, к которому приводит последовательное применение исходных элементов симметрии. Например, последовательное отражение в двух плоскостях, пересекающихся под углом а, эквивалентно повороту вокруг линии пересечения этих плоскостей на угол 2а в направлении от плоскости первого отражения к плоскости второго отражения.

На рис. 22 1 н П вЂ” следы двух плоскостей, перпендикулярных к плоскости чертежа и пересекающихся под углом а. Точка А после отражения в плоскости 1 совместится с точкой В, которая, отразившись в плоскости П, попадает в положение С. Из равенства прямоугольных треугольников А01 и 1ОВ, а также ВОП и ПОС следует, что угол АОС=2а. Следовательно, последовательное отражение точки А в плоскостях 1 и П действительно эквивалентно повороту вокруг 0 на угол 2а. Справедлива и обратная теорема: каждый поворот вокруг оси на угол 2а эквивалентен последовательному отражению в двух плосностях, пересекающихся по этой оси под углом а.

Из прямой теоремы можно сделать несколько важных выводов. Так, если плоскости располагаются под прямым углом, то последовательное отражение в ннх эквивалентно повороту ка 180' (рис. 23),или иначе — линия пересечения таких плоскостей является осью второго порядка 1ь Если плоскости симметрии пересекаются под углом 45; то равнодействующим элементом симметрии будет ось четвертого порядка. Из сказанного следует, что элементы симметрии находятся не в произвольных сочетаниях друг с другом, Рис. 22. Отражение в двух плоскостях 1 и П, пересекающихся под углом а, еквивалентно повороту вокруг линии их пересечения на угол 2а / Рнс.

23. Линия пересечения двух плоскостей, располагающихся под прямым углом, является осью второго порядка Рис. 24. Фигура обладает не только двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии, но и двойной поворотной осью, возникающей в результате пересечения этих плоскостей. Формула симметрии ьа2Р а только в определенных. Так, например, нет такой фигуры, которая обладала бы только двумя ваанмно перпендикулярными плоскостями симметрии и не обладала бы одновременно двойной поворотной осью. На рис. 24 изображена такая фигура, обладающая двумя плоскостями симметрии, располоягенными перпендн- Рвс. 25.

Фигура обладает четырьмя плвсивстямя симметрии, расположвввыия под углом 45; и осью симмвтрии чвтввртого порядка, являющейся осью вх первсвчвнвя. Формула симметрии Х~4Р Рзс. 26. Воаввквозвввв центра саммвтрва С з точке пересечения Ь* с пврпвндвкулярной вй плоскостью симметрии Р Рвс. 27. Фигура, обладающая формулой симметрии 1;РС кулярно к плоскости чертежа, и осью второго порядка, являющейся линией их пересечения. Далее, не может быть фигуры, имеющей Вз и одну из плоскостей — 1 или Х1.

В результате сложения оси Ьз с проходящей через нее плоскостью симметрии возникает вторая плоскость, перпендикулярная к первой и проходящая также через ось. Таким образом, фигура (рис. 24) всегда имеет три элемента симметрии. Полная совокупность элементов симметрии фигуры называется видом симметрии или жлассом.

В математике вместо термина вид симметрии часто пользуются вго синонимом точечная еруппа симметрии. Происхождение этого термина связано с тем, что при любых симметрических преобразованиях у многогранника по крайней мере одна точка остается на месте (не перемещается). Если фигура в проекции будет иметь форму не ромба, а квадрата (рис. 25), то ее вид симметрии будет характеризоваться осью симметрии Ьз и четырьмя плоскостями симметрии, проходящими через нее. Кратко это записывается формулой симметрии Ь44Р. Формула симметрии фигуры, изображенной на рис.

24, будет Йз2Р. Если плоскость симметрии располагается перпендикулярно к Ьз (рпс. 26), то в результате их сложения т з+Р возникает центр симметрии. Точка А после поворота около оси х з попадает в положение В, а после отражения в плоскости Р совмещается с точкой хт'. Соединим точку С, точку пересечения оси с плоскостью, с А, В и В и проведем в плоскости Р прямую СВ. Следует доказать, что точка С является центром симметрии, т. е.

что отражение точки А в точке С совместит первую с точкой Р. Илк, иными словами, требуется доказать, что точки А, С и В лежат на одной прямой и отрезок АС=СВ. Из построения легко видеть, что треугольники ХЖС и Рве. 28. Сложение поворотов около осей Ь и эг эквивалентно повороту около осв Ч (влоскость 1 заштрихована) ч — ./ Рве. 29. Дэа последовательных отражения в одной в той же плоскости равкосильвы отсутствюо отражения Риэ.

30. Пэрэсэчеявв двух осей 1э под прямым углом даст третью ось 1м пересекающуюся в той жэ точке под прямьгмя углами к первым двум ВСВ, а также ВСЕ и ГСА попарно разны и равны мелгду собой. Отсюда доказывается равенство отрезков АС н СВ. Далее, угол ЕСР— прямой. Он является суммой двух углов ВСВ и ВСР. Если к ним прибавить 2 таких же угла, то получим, что АСП дей- ствительно равен $80'. Была доказана теорема 1з+Р=С (рис. 26). На том лге чертеже также легко доказать, что Вз+С=Р или С+Р=1э. На рис.

27 показана фигура, обладающая видом симметрии 1;РС. Если складывать две пересекающиеся оси, то равнодействующим элементом симметрии будет также ось, проходящая через ту же точку пересечения. Каждую из осей Ь и М (рис. 28) с элементарными углами поворота 2а н 2р соответственно можно заменить, по первой теореме, двумя плоскостями отражения с углами а и р. Поскольку взаимная ориентировка обеих пар плоскостей отражения произвольна, то мы выберем их так, чтобы две из этих плоскостей совпали. Тогда поворот около Ь на 2а мы заменим последовательным отражением в двух плоскостях 1 и П, пересекающихся под углом а, а поворот около М на 2р — отражением в двух плоскостях П и 1П,пересекающихся под углом (з. Записать это можно так: поворот Л + поворот М = отражение 1+отражение П+отражение И+ отражение П1.

Два последовательных отражения в одной и той же плоскости (П) равносильны отсутствию отраягения: точка А после первого отражения совмещается с точкой В (рис. 29), а второе отражение в той же плоскости возвращает ее в исходное положение А. Поэтому два поворота — 1 и М— равносильны двум отражениям 1+ +1П, а эти отражения можно заменить поворотом около линии их пересечения 1т' (ркс. 28) на угол 22. В этой теореме, если ее доказывать строго, необходимо учитывать направления отражений, о которых мы ничего не говорили. Эта теорема впервые строго была доказана Эйлером. Частными случаями ее будет пересечение двух осей Ьэ под прямым углом. Равнодействующей осью будет являться третья Хю пересекающаяся в той же точке под прямыми углами к первым двум (рис.

30), Если оси Ьз пересекаются под углом 60, 45 или 30; то равнодействующими осями симметрии будут Ьз, Ь, или Еа соответственно. ба. Схема вьзведа ВВ валов евмметрая Как было сказано выше, Гаюи первый высказал идею о том, что кристаллы являются симметричными многогранниками. Дальнейшим развитием учения о симметрии кристаллов явились работы Вейсса. В период 1804 †18 гг.

он ампирически установил наличие различных осей симметрии в кристаллах, а в 1815 г. предложил деление кристаллов на 6 систем (сингоний). В 1867 г. русский академик А. В. Гадолнн строго математическим , путем вывел 32 вида симметрии кри! сталлов. Интересно отметить, что эмпирически был установлен к тому времени только 20 — 21 вид симметрии. В настоящее время имеются примеры кристаллов всех 32 видов симметрии После того как результаты исследования Гадолина прочно вошли в науку, была найдена работа Гесселя, сделанная на 30 лет ранее Гадолина и содержавшая аналогичный вывод. ТАБЛИЦА 3 Схема вывода видов симметрии Зная три теоремы о сложении алементов симметрии, доказанные в предыдущем параграфе, можно получить представление о математическом выводе видов симметрии, понять принцип етого вывода.

Этот вывод мы прежде всего разделим на две части: в первой будут выведены виды симметрии с одной главной осью симметрии (с осью третьего и более высоких порядков) и без главных осей, во второй части — с несколькими главными осами. В первой колонке табл. 3 выписаны все 8 возможных осей симметрии. Инверсионная ось Ь, содержит в себе центр инверсии, а ось Ез — плоскость симметрии, перпендикулярну[о к ней. Это обстоятельство иногда подчеркивается тем, что после наименования оси ставится знак С нли Р соответственно, как ато и сделано в первом столбце табл.