Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (Н.В. Богомолов - Практические занятия по математике (2003)), страница 6

2) Вычислите площадь параллелограмма, если а=68,7 н А=52,6. Укажите веряыс цифры ответа. 3) Найдите границу абсолютной погрешности произведения двух приближенных значений чисел а= =7,36х0004 н Ь=8,61+0005. 4) Вычислите относительную погрешность /38,9. 5) С какой точностью надо измерить радиус круга, чтобы'относительная погрешность площади круга не превышала 0,5лдл? Грубое приближенное значение В=8 м. 11 вариант !) Вычислите разность а= ,/П! — /7 с четырьмя значащими цифрами; найдите е,. 2) Вычислите площадь прямоугольника, если а=78,6 н я=48,7.

Укажите верные цифры ответа. 3) Вычислите Х=(а+Ь)/с, если а=82,6, Ь=93,8 н с=61,9. Укажите границу абсолютной погрешности. 4) Вычислите относительную погрешность з '68,4. 5) С каков точностью надо измерить сторону квадрата, чтобы относительная погрешность пяощадн квадрата нс превышала !'А? Приближенное значенне стороны квадрата а=9 м. РАЗДЕЛ Н АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА Глава 3 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ $1. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В математике любое предложение„относительно которого можно сказать, является лн оно истинным нлн ложным, называется высказыванием.

Если нз высказывания А следует высказывание В, то пишут АюВ (нз А следует В). Если нз высказывания А следует высказывание В, а нз высказывания В следует высказывание А, то этн высказывания называют равносильными н пишут АльВ. Равенство с одной переменной называется уравнением с одной перемеяяай, если нужно найти те значения переменной, прн которых получается нстннное высказывание (верное числовое равенство). Карнем (нлн ре~иеяиезл) уравнения называется значение переменной, прн подстановке которого в уравнение получается истинное высказывание (верное числовое равенство). Уравнения называются равносильными, если множества нх решений равны. Лияейиы.и уравнением г одной переменной х называется уравнение вида ах+Ь=О, где а н Ь вЂ действительн числа. Решение линейных уравнений н уравнений, сводящихся к линейным, основано на следующих двух теоремах: 1.

Если к абеим чаоиям ураеиеяия прибавить одиа и та исе число, то получится ураеиеиие, раеиагильиае даилюму. 2. Если абе часпт уравнения умлааеить или разделить иа одно и та исе число, не равное пулю, та получится уравнение, равносильное данному. 1. Решить уравнения: 1 3 2 — 5х бх — 4 2х — 9 Зх 1) -х+-=0; 2) 6-2х — — = —; 3) — — =2; 4 8 3 5 ' 2х — 5 2 — Зх х+1 х — 2 3(Зх — !) 2т — 1 5-4х 4) — '- = л,' 5) — '+ — =6.

х — 3 х+3 хл-9 ' х-3 3 — х О 1) 1 способ. — х+ — = 0 — х = — — х = —; — льх = — 1,5. 1! способ. Умножив обе части уравнения на 8, получим ! 3 -х+-=0 чь(2х+3=0)ль(2х= -3)льх= — 1,5. Ответ: — 1,5. 4 8 2) Умножив обе части уравнения на 15, получим (90-ЗОх- 5 (2 — 5х) 3 (бх — 4)иь(90 — 30х — ! О+ 25х =18х — 12)ч: с»( — ЗОх+25х — 18х= — 12-90+ !0)иь( — 23т= -92)чих=4. Оигееис 4. 3) Это дробное рациональное уравнение, содержашее переменную в знаменателе дроби.

Знаменатель каждой из дробей не равен нулю (на нуль делить нельзя). Выполнив преобразования, получим — — =2. ~ — 9 Зх ' (2х — 9)(2 — Зх) — Зх (2х — 5) — 2 (2х — 5%2 — Зх) =О, 2х — 5 2-Зх (2х — 5)(2 — Зх) 2х-5~0, и» 2х-5тгО, 2 — ЗхФО 2 — ЗхиО ! 8.к+2=0, си~ 2х — 5чгО, х= — 0,25. 2 — Зхи О, При х= — 0,25 высказывания 2( — 0,25) — 5чьО и 2 — 3(-0,25),-ьО истинны; следовательно, х= -0,25 является корнем данного уравнения. Огивеис — 0,25. 4) Имеем .т+ ! х — 2 3(зх-1) х — 3 х+ 3 (х — 3)(х+ 3) х-ЗФО, к+310. 0 х =О, ( — Зйх+ З) . х — ЗФО, х+3 МО.

(х+ 1)(х+ 3) — (х — 2)(х — 3) — 3 (Зх — 1) -О, ( — Зйх+ З) чи х — ЗФО, к+ 3иО Уравнение имеет бесконечное множество корней: корнем служит любое действительное число. кроме х=-3 и х=з. 14 — =О, х — 3 — З МО. 2х+ ! 5 — 4т 2х+! — 5+4х — бх+ 18 — — 6=0, 5) х — 3 х-3 х — 3 х-ЗФО. х-ЗФО 3. Задумано двузначное число, у которого цифра десятков на 2 меньше цифры единиц. Если это число разделить на сумму его Ни при одном значении переменной х дробь не обрашается, в нуль. Уравнение корней не имеет. ° 2. Сплав олова и меди массой 32 кг содержит 55% олова. Сколько чистого олова надо добавить в сплав, чтобы в новом сплаве содержалось 60% олова? О Пусть масса олова, добавленная к исходному сплаву, составляет х кг.

Тогда сплав массой (32+х) кг будет содержать б0% олова и 40% меди. Исходный сплав содержад 55% олова и 45% меди, т. е. меди в нем было 32 0,45 кг. Так как масса меди в исходном и новом сплавах одна и та же, то получим уравнение 0,45 32=0,4(32+.т), Решив его, находим х=4, т. е. в сплав надо добавить 4 кг олова. ф цифр, то в частном получится 4 и в 'остатке 6. Какое число задумано? О Пусть цифра единиц есть х, тогда цифра десятков равна х — 2 (х>2), задуманное число имеет вид 10(х — 2)+х=1!х — 20. Сумма цифр числа х-2+х=2х — 2. Следовательно, разделив Пх — 20 на 2х — 2, получим в частном 4 и в остатке 6. Составляем уравнение: 11х — 20=4(2х — 2)+6, так как делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток. Решив это ураввение, получим х=б. Итак, было задумано число 46.

° 4. Равносильны ли следующие уравнения: 1) 4х+ 10 = 10 и 2х+ 3 = 5; 2) х — 5=5 — х и х — 5+2х=5 — х+2х; х — 2 Зх+2 3) — + — +6=0 и х — 4=0? б 2 5. Решите уравнения: 1) -5х=О; 2) -Зх+2=0; 3) 4х — 1=0; 4) Зх+5=3х — 1. 6. Решите уравнения: х+2 Зх — 2 х — ! 6 — 2х х+3 1) Зх — — + =1; 2) ! — — =х- —; 4 2 3 ' 3 2 х — 3 х+1 5 — Зх 6 — 2х х+3 3) х+ — + — =2х+ —; 4) 4 — +х=2х —. 8 4 2 ' 3 2 7. Решите уравнения; 2х 7 х+1 5 1) — -= — + —; х — 1 2 х — 1 2-2х' х+1 2х — 1 6 1 2),—,+ — + — =0; 2 2хх хх 1 х+1 2 — 2х 2х — 7 х+1 1 2 3) + 3 — — — — -0; 2х~-4х+2 хт — 2х+1 3-Зх х-1 5х — 3 х+1 2 3 4), —, — — +-=0; хх+Зх Зхз+9х х+3 х 2-бх Зх+4 х — 4 х+4 1бх 5) — — =3; 6) — +, =О, 3-х х — 3 ' х+4 х — 4, к~ † 8.

В бак вместимостью 1800 л накачивают бензин двумя насосами, первый из которых вливает за 1 мни на 20 л меньше, чем второй. За 15 мин бак наполняется на 75%. Сколько литров бензина . накачивает первый насос за 1 мин? 9. В сплаве меди и цинка содержится 82% меди. После добавления в сплав 18 кг цинка содержание меди в сплаве понизилось до 70%.

Сколько меди и цинка в отдельности стало содержаться в сплаве? 10. Какое количество 26%-ной серной кислоты следует смешать с 40 кг 68%-ной кислоты для получения кислоты 32%-ной концент- рации? 11. Разделите 850 на две части так, чтобы 8% первой части в сумме с 24% второй части составили 12% всего числа.. 12. В двузначном числе цифра десятков на 3 болыпе цифры его единиц.

Если к этому числу прибавить обращенное число, то получится 143. Найдите это число. 13. В равнобедренном треугольнике основание составляет з/з боковой стороны. Найдите основание треугольника, если его периметр равен 24 см. 8 2. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ а<Ь ь(> с а<Ь + с<А а+с<Ь+ь( а-ь!<Ь-с 28 1. Числовые множества. Множество (3 всех рациональных чисел н мнозсество 3 всех иррациональных чисел образуют множество В действительных (вещественных) чисел. Числовым множеством называется любая совокупность действительных чисел, например: )ь( — множество натуральных чисел, Š— множество целых чисел.

Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов; в противном случае оно называется бесконечным. Множество Е всех действительных чисел называют числовой прямой, а сами действительные числа — точками числовой прямой. Наиболее часто встречаются следующие числовые множества: замкнутый промежуток (или отрезок) с началом а и концом Ь: о<х<Ь или (а, Ь); число Ь вЂ” а называется длиной промевсутха с концами а и Ь, открытый промежуток (или интервал): а<х<Ь или (а, Ь); полуоткрьипмг промежутки: а<хьЬ; а<х<Ь; бесконечные промежутки (лучи, полупрямыс): а<хс+со; а<х<+оо! -со<х<а; — со<х<а; числовая прямая Е записывается неравенствами -оэ<.«<+со, Если а является элементом множества А (принадлежит А), то используется обозначение аыА. Например, запись )сьзЕ означает, что я — целое число или нуль.

Мноькество упорядоченных пар действительных чисел называют числовой плоскостью и обозначают Вз, а любую упорядоченную пару действительных чисел — точкой числовой плоскоспш. 2. Неравенепза н их свойства. Решением неравенства называется значение переменной, при котором неравенство истинно (обращается в верное числовое неравенство). Решить неравенство — значит найти множество его решений. Неравенства называются равпосияьными, если множества их решений равны. Прн решении неравенств применяются их основные свойства; !'. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то получшися неравенство, равносияьиое данному.

2'. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному. 3'. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства измеюопся на противоположный. 4', Транзитивностяс а<Ь и Ь<см асс. 5'. Правило сложения !'лычиьпания) неравенств: Л,;г, неравенства одного с.имела льожоо <ьладыоать, а противоположного вычитать. б' Правило у.шьожепи.ч неравенств: 0<а<Ь) ~~ас <ЬЕ 0<с<с)( Следствие; 0<а<Ь»»а" <Ь" (для любого п>0).

3, Линейные неравенства. Лиьмйны.и пераоеььсьпвом называется неравенстью вида ах+Ь>0 (или ах+Ь<0), гле а и Ь вЂ” действительные числа. Если а>0, то (а«+Ь>0)«ь(х> — Ь)а). Если а<0, то (ах+Ь>0)«:(а< -Ь)а). 14. Решить неравенства: 4-Зх 2х-! 5х-2 1) х+ 4 > 2 — Зх; 2) — <— 3 4, б 3) (х — 3) — 1! >(х+2)з. 4) (2«1)з 8х<(3 2«)з.