Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (Н.В. Богомолов - Практические занятия по математике (2003)), страница 4

Граннпей относительной погрешности е„приближенного значения а называется отношение границы абсолютной погрешности Аа к модулю числа а: 21. В результате измерений получили, что длина карандаша равна 16 см, а длина комнаты равна 730 см. Что можно сказать о качестве этих двух измерений? О Будем считать границу абсолютной погрешности измерений равной ж0,5 см. Найдем относительные погрешности этих измерений: с=0,5/16=0,0312 3,1% (при измерении длины карандаша); с=0,5/730=0,000685=0,0754 (прн измерении длины комнаты). Следовательно, качество измерения длины комнаты значительно выше, чем качество измерения длины карандаша. ° 22. Найти относительную погрешность числа 6,8, если обе цифры его верны в строгом смысле. О По условию, Ьа=005; поэтому с,=005/68=000735=07И.

° 23. Какие цифры числа 4,86 (0,358) являются верными? О По формуле (1.2) находим ба=4,86 0003=00146<002; а=4,8бх002. Верными являются первые две цифры: 4 и 8. ° 24. При вычислении некоторой величины Х стало известно, что 6<Х<7. Сколько верных цифр нужно взять, чтобы приближенное значение а имело относительную погрешность не больше 0,35в? О Чтобы значение а было наибольшим, примем а=6,99.

По формуле (1.2) получим ба=699 0003 =0 021. Следовательно, нужно взять две верные цифры. ш 25. Вычислите относительную погрешность числа паз 3,14, считая и вз 3,1416. 26. Округлите точные числа: 1) 286; 2) 45,8; 3) 7,19 — до двух значащих цифр с недостатком и с избытком. Найдите относительную погрешность каждого округления. 27. При решении задачи сумма углов треугольника оказалась равной 179" 30'. Найдите относительную погрешность полученного приближенного значения.

28. Найдите относительную погрешность числа 2,6, если обе его цифры верные. 29. Какие цифры числа 1,28 (0,486) являются верными? Глава 2 ДЕЙСТВИЯ НАД ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ ЧИСЕЛ 8 1. СЛОЖЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЧИСЕЛ Граница абсолютной погрешности суммы приближенных значений чисел равна сумме границ абсолютных погрешностей этих чисел: Ь (с+ Ь) = Ь с+ Ь Ь, (2.1) 14 .

ле а и — пр — иближенные значения чисел; Ьа и — — Р— г аницы абсолютных ' ог шностей соответствующих приближений. то м ле " погрешности суммы вычисляется по ормул Граница относительнон петре Ь(а+Ь) аю+ь= а+Ь (2.2) Г и а абсолютной погрешности разности двух р п иближенных значераница тных пог шностей: нн чисе й л равна сумме границ их абсолютн ре — (2. 3) Ь(л-Ь)=Ьа+ЬЬ. Граница относительно ой погрешности разности вычисляется по формуле Ьа+ЬЬ (2.4) а — Ь б, Вычислить разность двух приближен енных значений чисел а=5,863~00005 и Ь=2,746+0,0005. Найти Ь(а — Ь) и а,, О По формуле (2.3) вмчнсляем границу абсолютной погрешности ности а — Ь: раз Ь (а — Ь) = О 0005+ О 0005 = О 001.

азности циф а в разряде тысячных не может раближе»нем значении рю»~~~ р быть ве ной, так как Ь(а — Ь)>0,0005. Итак, а-Ь=З,! ж, ыть вер 0,001. В иближенном числе 3,12 все цифры верные. пшрепшосгь р э~~~и,, пр» По формуле (2.4) находим относительную погреши а,, = 0,001/3,12 = 0,00032 ге 0,03'А. ° 7. Вычислите разность чисел 8 72 и 2 6532 р , г аницы абсолютной погрешности которых соответственно р о авны 0,005 и 0,00005.

15 1. Найти сумму при Б ближенных значений чисел 6,8+0,05; 4,3~0,05 и 3,575+0,0005. О Имеем 5=68+43+3,575=14 675; ЬБ=О 05+0 05+ О 0005=01005. абсолютной погрешности заключе на в п делах Граница а олю ве ными являются лишь ,1005 <0,5. В приближенном значении суммы вер 0,05<0, <, . н ). Полученный результат округлим две цифры (в разрядах десятков и единиц . до единиц; 8=14,675м15.

° 2. Найдите сумму приближенных значений чи сел 6,54+0,005; 16,022+0,0005 и 1,9646+0„00005. 3. Вычислите сумму а= =,/5+ ч/гГ1, взяв приближенные значения корней с точностью до 0,001. Найдите а, Ьа и а,. ~3+ /5+ /7 с четырьмя значашими 4. Вычислите сумму а= ~ + епь состоит из трех последовательно соедиНайдите а, Ьа и а,. пенных проводников с сопротивлениями г, =, и г =7,725+0,0005 (Ом). Вычислите общее , сопротивление цепи по формуле Л=г,+гд+гз. Найдите, я. 8 2. ВЫЧИТАНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЧИСЕЛ Таблица П О Находим: Х= — = =0.844; а 7.2 Ь+с 3,46+5,09 17 16 2 — 3162 8. Вычислите разность а= /ГЗ вЂ” 7г5 с четырьмя значащими цифрами.

Найдите Аа и а,. 8 3. УМНОЖЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЧИСЕЛ Формулы для оценки границ абсолютной' погрешности произведения (частного) сложны, позтому на практике сначала находят относительную погре1пиость произведения (частного), я затем границу абсолютной погрешности произведения (частного). Формулы дла границ абсолютной н относительной погрешностей некоторых функций приведены в табл. П. 9.

Найти верные цифры произведения приближенных значений чисел а=0,3862 и Ь=0,8. О Имеем 0,3862.0,8=0,30896. Границы абсолютной погрешности сомножителей равны 0.00005 и 0,05. По формуле (2.5) находим относительную погрешность произведения: 0,00005 0,05 =0,063. 0,3862 0,8 По формуле (1.2) находим границу абсолютной погрешности произведения; А(аЬ)=0,30896 0063=00195; 0005<00!95<005. Полученный результат означает, что а произведении одна верная цифра (в разряде десятых): 0,30896ж0,3, йЗ 10. Вычислить объем цилиндра Р= яЯ'Н, если )? = 45,8 см, Н=78,6 см.

Указать верные цифры ответа. О Имеем Р=я 458х 78,6=5!7000 (см'). Используя формулы (26) н (2.8) и полагая я-3,14, находим относительную погрешностяс Ах 2АЛ АН 0,005 2 0,05 0,05 я Я Н 314 458 786 — + ' + ' =0,0044. По формуле (1.2) находим границу абсолютной погрешности А и= и. к„=5!7 000 0,0044=2270 (см ). Верными цифрами являются 5 и 1.

ш 11. Найдите произведение чисел 0,456+0,0005 и 3,35+0,005 и относительную погрешность произведения. 12. Диаметр окружности равен 12,5+0,05 (см). Полагая я=, =3,!4, вычислите длину окружности и найдите границу абсолютной погрешности. 13. Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда по формуле Еи аЬЬ, если а=7,8, Ь=4,6 и Ь=9,3. Сколько. верных значащих цифр получится в ответе? 8 4.

ДЕЛЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЧИСЕЛ 14. Найти границу абсолютной погрешности частного приближенных значений чисел а=8,36+0,005 и Ь=3,72+0,004. О Имеем 8,36:3,72=2,25. По формуле (2.12) находим относительную погрешность частного: а„ь= + — = Ь =0 002=0 2'А. Ае АЬ 0 005 О 004 а Ь 8,36 3,72 По формуле (1.2) находим границу абсолютной погрешности частного; А (а/Ь) = 2,25 . 0,002 = 0,0045. Полученный результат означает, что в частном все трн цифры верные. й! 15. Вычислить А'= —, если известно, что а —, д =7,2+0,05, Ь+с Ь=3,46+0,03, с= 5,0910„04.

ЬХ Ьа ЬЬ+Ьс 0,05 0,03+0,04 ах + + Х а Ь+с 7,2 8,55 ЬХ=Х ах=0,844 0015=00127; Х=0844к00127 нлн Хге084+001. ° 16. Н 6. Найдите относительную погрешность частного приближенных значений чисел а=!9,8+0,05 и Ь=48,4к0,03. 17. Найдите верные цифры частного приближенных значений чисел а=68,4+0,02 и Ь=72„8+0,04. а+ 6 18. Вычислите Х= —, если а=8,!5, Ь=7,65 и с=6,29. с 8 5. ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЧИСЕЛ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ ИЗ НИХ КОРНЯ 19.

Вычислить относительную погрешность, допущенную при вычислении площади квадрата, если приближенное значение стороны квадрата равно 68+0,5. О По формуле (2.8) получим е,,=2 0,5/68=0,015=1,5%, й! 20. Вычислить относительную погрешность, допущенн щенную при извлечении квадратного корня из числа 76,8+0„05. О По формуле (2.10) получим е„— ма=005)(2 76,8)=00003=003%. ° 21.

Вычислить границу абсолютной погрешности при нахождении гипотенузы прямоугольного треугольника, катеты которого равны а=56,8 см и Ь=44,6 см. О Имеем с= lах+Ь'=,/56,8'+44,6'=72,21 (см). По формулам (2.10) зй н ( .8) находим границу абсолютной погрешности: Ь(а +Ь ) Ь(а )+Ь(Ьг) 2а Ьа+2Ь.ЬЬ а.йа+Ь ЬЬ 2 /а +Ь 2,/а~+Ь~ 2 'ахьЬг хгга +Ьг 56,8 0,05+44,6 0,05 =0,07ге0,1 (см). Таким образом, с=?2,2~0,1 (см). Верными являются и цифры 7 я 2.

° ютс первые две значащие 22. Н к ба, . Найдите относительную погрешность при вычислении объ о ъема ку а, если приближенное значение длины ребра куба равно 3,8+0,05. 23. Вычислите относительную погрешность хзгГ26,4. 8 6, ВЫЧИСЛЕНИЯ С НАПЕРЕД ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ В предыдуших параграфах рассматривалясь прямые задачи, когда требовалось оценить погрешность полученного результата по данным действиям над приближенными чнсламн н по данным границам нх по. щ осте".

н й. ратной задаче требуется установить, каковы должны быть погрешности данных приближенных чисел, чтобы в результате вычислений была получена наперед заданная допустимая граннца погрешности. 18 24. С какой точностью надо взмернть длину стороны квадрата, чтобы при вычислении его площади граница абсолютной погрешности не превышала 1 смз? Грубое приближенное значение стороньг квадрата равно 9 см.