Бесекерский, страница 13

Кроме того, можно легко показать, что лостаточ но рассмотреть прохождение только составля кн Пей х, ', которая н выходной величине лает составляющую х2'. Соотношение между составля)ощилти х," н х2" получается таким же, как межлу х)' н х2'. Поэтому в дальнейшем рассмотрении воспользуемся символической записью соз о)г- еыг, Тогда Глава 4.

Динамические звенья и их характеристики 55 Это выражение называется час>нагано>л нередаточлой функцией звена. Таким образом, частотная передаточная функция )г(Ло) представляет собой комплекс»ое число, модуль которого равен отношению амплитуды выходной величины к амнлитулс входной, а аргумент — сдвигу фаз выходной величины по отношению к вхолной: > ног( Иг( >то) =! И'( >то) )= х> агй Иг(уш) = >(>. (4.13) В более общсй формулировке лля вхолного сигнала лк>бого вида частотную нсрслаточную функцию можно представить как отношение изображений (частотных изображений) выходной и входной величин: 1И(уго) = ~го(г)е -' Й.

о (4,15) Частотная передаточная функция может быть прслставлсна в слелутощем внлс: И'(>те) = А(то) е>" = (7(о>) е у(>(о>), (4.16) глс А(о>) — молуль частотной псрслаточ ной функции, >у(о>) — аргуь>снт, (7(о>) и 1'(о>) —. вещественная и мнимая составляющие частотной передаточной функцин. Модуль частотной нерелаточной функции находится как отношение молулсй числителя и знамснатсля.

71.>я рассмотренного выше вь>ра>кения (4.12) Аргумснт или фаза частотной псрслаточной <1>ункции нахолится как разносг аргументов числителя и знаменателя. Для (4.12) имеем: lгзо> 7; о> >у(о>) = атство — — агой 1-7> о>' Для нахожлсния вещественной н мнимой частей частотной цсрецаточной функции нсобхолимо освобо>н>ться от мнимости в знаменателе путем умножения числн- что нсцосрслствснно вытекает из формулы (4,1) прн переходе от нзображснпя по Лалласу к изображсни>о Фурье; следовательно, частотная перелаточцая функция лепсо получается из обычной нерелаточ пой функции нолстановкой р = уон Частотная передаточная функция звена есть изображение Фурье его <1>ун>гиии веса, т. с. имеет место интегральное преобразование бб Непрерывные линейные системы автоматического управления толя и знаменателя на комнлскснук> величину, сопряженную знаменателю, и затем произвести разделение на вещсстнснную и мнимую части. Для (4,12) 'ггг(1- Т, о> ) + ><з!,<о ><го>(1 - Тг иь ) -)ь>То> 72 2)2+72 з ' (1 Та г)2 72 2 ' ( ° ) Для наглая>юп> прслсгавлецня частотных свойств <ьвсна используьотся так называемые частотпыс характеристики, Азгплитудгго-фаювая час>потная характериоиика (а.

ф, х.) строится на коыплсксной плоскости. Она прелставляст собой гсомегрнчсское место копцов век>и>ров (годограф), соответствующих частотной нерслаточной функции Иг(><о) - (7(о>) +)р(<о) при измен< ниц частоты от пуля до бссконеч ности (рис. 4.7). По оси абсцисс откладывается вещественная часть 1/(о>) - йе И'()<о) и по оси ординат — мнимая часть 'г(с>) 1ьл Иг(у<о).

Для каждой частоты на комплексной плоскости наносится точка, 1!олучснныс точки сосдиняготся загсм плавной кривой. Около на~сесиных точек можно написать соотвстствук>щис им частоты о>о юж <оз и т. л. /[лиь>а всктора, нровсленного нз начала коорлинат в точку а. ф. х., соответствующую какой-то выбранной частоте, равна модулю частотш>й псрслаточной функции, Угол между вектором и положительным направлением вещественной оси, отсчитываемый против часовой стрелки, равен аргументу илн фазс частотной цсредаточной функции.

Таким образом, а. ф. х. лает возмож>иють наглядно представить лля каждой частоты входного воздействия звена <отношение амплитуд выходной н входной величии и слвиг фаз между пил<и. Построеььььс а. ф. х. по вещественной и мнимой частям частотьюй нсредаточной функции, как >>разило, является трудоемкой работой, так как умножение частотной передаточной функции на комплсксцу>о величину сопряженную ее зпамснатсл>о, ш>- вышает в лва раза степень частопь в знаменателе.

Обычно гораздо проще строить а. ф. х., используя нолярныс координаты, т. е. вычисляя непосредственно молуль и фазу. Зььая молуль и фаз), можно легко цостроить соотвстствуюп<ую точку на комплексной плоскости. В случае необходимости нри известных модуле и фазе легко вычис:ьнть вещссзвеььнуго и мпимуго части умььожснием модуля иа пацравляьощий косинус между всктором и соотве>и твугощей ощ ю. Вместо а, ф, х можно ьп>строить отдельно итглиглудио-частотную характеристику (а. ч. х.) и фи.ьочагтотлуго карактерис>нику (ф, ч. х.). Лльплитудно-частотная характеристика показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты.

Оценка нронуска~ия лелается по отношепшо амплитуд выхоЛцой и входной величин. Фазочастотпая характеристика показывает фжьовыс сдвиги, вносимые звеном па различных частотах. Как следует из сказанного вьнпс, модуль чзстотной псрслаточно!ь фуш<цни представляет собой четную функци к> частоты, а фаза — почет>у>о функци го частоты.

Глава 4. Динамические звенья и их характеристики 57 9 4.4. Логарифмические частотные характеристики Логарифмические частотные характеристики ( л, ч. х.) включают в себя ш>строенные отдельно па олиой илоскогл и логарифмическую ам>иитуаиую характсрисгику (л. а. х.) и логарифмическую фазовую харшстсристику (л. ф, х.). Для построения л. а. х. находится величина !(с>) = 20 18 )И(18>) ~ = 2018 Л(а>) (4.

18) Эта величина выражается в деииоелах. Ьел ирслставляст собой логарифмическую ели липу, соотвстствующук> десятикра> лому увсличсии>о мо>цности. Олив Бел соответствует увеличен и к> мощности в 10 раз, 2 Бела — в 100 раз, 3 Бела — в 1000 раз и т. д. Депибсл равен олиой лссятой части Бела. Если бы Л(о>) было отиошсписм мощностей, то перел логарифмом в правой части (4.19) лолжеи был бы стоять хшожитель 10. Так как Л(с>) ирслставляет собой отношение ис мощиостсй, а выхолиой и входной вел>шип (псрсмещеиий, скоростей, напряжений, токов и т. и.), то увеличение это п> отиои>си ия в десять раз булет соотвс гствовать у вел и оспин> от»оп>опия мощностейй в сто раз, что соответствует двум Ьслам или Лваапати лс циоелам.

Поэтому в правой части (4.19) стоит множитель 20. Необходимость логарифмировать модуль частотной иерелаточиой фупкиии (4.18) приволит к тому, что, строго гов»ря, л. а. х. может быть построена только лля тех звеньев, у которых псрелаточиая фуикиия ирслставляет собой бсзразмериую ве- 58 Непрерывные линейные системы автоматического управления личину. Это возможно при одинаковых раамерцостях входной и выходной величин звена. В лальпсйшем изложении будет подразумеваться именно этот случай, Однако л, а.

х. может условно строиться и для тех звеньев, у которых ~ ~ерелаточпая функция имеет какую-.чибо размерность. В этом случае некоторая исходная величинаа, соответствуюгцая размерности передаточной функции, принимается за единицу (папримср, 1 с ', 1 рал и т. и.) и нол значением А(от) понилтается отношение модуля частотной перслаточцой функции к этой исходной елииицс. Это же замечание относится и к уг'говой частоте от, которая имеет размерность 1с '1 и которую приходится логарифмировать в соответствии с изложенным.

Для построения л. а. х. и л. ф. х. используется стандартная сетка (рис. 4.8). По оси абсцисс отклалывастся угловая частота в логарифмичсском масштабе, т. е. наносятся отметки, соответствующие 18 от, а около отметок пишется само значение частоты ю в рад/с. Для этой цели можст использоваться какая-сгибо шкала счетной лгггарифмической линейки. При ее отсутствии разметка производится с учетом того, что на логарифмической шкале расстояние между лвумя отметками ю = цт~ и ю = отт ) ю, 1=1 (18ота 18от ) =1 18юг/го (4.19) где уз — желаемая ллина одной лекалы, Например, если принять, что 1„- 60 мм и от, =- 10 с', то (рис.

4,9) отметка отз = 20 с .! -1 окажется иа расстоянии 60 182 = 18 мм, отметка ша - 30 с ' иа расстоянии 60 18 3 = 29 мы и т. л. По оги орлинат отклалывастся модуль в децибелах (лБ), Для втой цели на ней наносится равномерный масштаб. Ось абсцисс должна проходить через точку 0 лБ, что соответствует значению модуля А(ю) - 1, так как логарифм единицы равен нулю. Ось орлинат может нсрссскать ось абсцисс (ось частот) в произвольном месте. Следует учесть, что точка ш = 0 лежит па осн частот слева в бесконечности, так как 18 0 -- — . Пггатому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход л, а х Как будет показано ниже, для этой цели необходимо провести ось ординат левее самой малой сопрягающей частоты л.