Бесекерский (950612), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В последу>он>их главах разделов П и ЕП будут использоваться лиисаризованиыс уравнения динамических звеньев. Однако лля унрощсния записи значок Ь псрсЛ переменными х,(г), хт(г) и т. д. будет опускаться в предположении, что эти перемени ыс представляют собой малые отклонения от некоторого установившегося состояния и линеаризацня уравнений уже проделана.
5 3.2. О записи линеаризованных уравнений звеньев В тес>рии автоматического управления в настоя>цсс время принято записывать дифференциальные уравнения звеньев в двух стацлартных формах. Первая форма записи. Диффереш>иаг>ьцые уравнения зацисыва>отея так, чтобы выходная величина и сс производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены — в правой части.!(роме того, принято, чтобы сама выходная величина входила в уравнение с коэффициентом единица, Чтобы привести линеаризов>нн>ое уравнение (3.5) к такому виду, введем обозначения: (3.8) =( — ";)' (%)' "'=~ — ";)' ~ —"..)' ,,»,,р Т:, = — );~ — ); )(г)=е>(/',.г)->р(/',0).
=(ах,3 '~ах.,! ' Глава 3. Лннеаризацня дифференциальных уравнений 45 Тогда уравнение (3.5) примет вид Тз Дтз + Тг дхз + Т< Дез + Дг з = «» Дг< + «г дхг + «ад! г + еД (г). (39) В случае, сели нелинейная функция Тпс содержит велич ивы ха, а содержит только ее производные, т, с. сели и =о, !'ВР'! !'аГ'1 в формулах (3.8) необходимо заменить — на — В результате получится урав~дх,3 ' ~ах.,! пение ТгЫз -Т, д'з+д'з=~»д < -~,,дтг+~зд',г+~»иг), (3.10) где 7'<= —,: — "; Т Уравнения (3.9) и (3.10) удобнее записывать в символической форме, введя алгебрапзироваппый оператор дифференцирования Р = фЫ< . Тогда уравнение (3.9) примет вид (ТззРз +7ггрг».Т»Р+1)Дтз =7<<Дг +(й»7)зР)дхг»-(г»У',(г), (311) а уравнение (3.10)— (Тг р +7»В+1)рдхз =!<»Дт» +(г<г+г<зр)дхг +<<»7<(г).
(3.12) Эти записи надо рассматривать только как сокращенную форму более полных записей (3.9) и (3.10). Стандартные формы записи уравнений звеньев автоматических систем (3.9) и (3.10) или их сокращенные виды (3.11) и (3.12) можно использовать как для размерных отклонений реальных величин на входе и выходе звена, так и для л<обь<х безразмерных относительных отклонений, специально пи<»где вводимых для упро<цеция вида уравнений и удобства пх исследования.! !Ри записи уравнений в стаидаРтпой фоРмс козффициепты lгп I<г, 7<з, 7<» пазыва<от<Я к<гз<)»фи<»<»е«та,чи пеРедачи, а Т„Тг, Т» — постолииыжи еРег»сии данного звена.
В случае звеньев, у которых выходная и входная величины писки одинакову<о Размерность, лля к<юффициептов передачи используются также следующие термины: 1) к<га<Р<(»и<»ие«т усилеиия — для звена, представляющего собой усилитель или имеющего в своем составе усилитель; 2) передаточпое числа — лля редукторов, делителей напряжения, масштабируюших устройств и т, л. 46 Непрерывные линейные системы автоматического управления Термин козффициснт передачи» можно пояснить слс; лукицим образом. Если подать на вход звена только постоянное значение Ьх1 (рис. З.З, 6) и найти установившееся значение выходной величины /1кз (рис.
3.3, е), то из (3.9) получим Лхзс = /г,лт~. Таким образом, козффициснт й, показывает отношение выходной величины звена к вхопной в установившемся режиме. Следовательно, коэффициент перелачи определяет собой наклон (с учетом масштабов цо осям) линейной статической характерцстики звена (рис. 3.3, а). Заметим, что нслинейну2о характсристику звена часто называют характет р истикой с переменной по входной величине коэффициентом псрелачи. Из (3.9) очевидно, что размсрность выходной величины ссгз разл1срн<ють л1— размерность входной величины Лт! В размерность коэффициента передачи может входить также время а Так, из уравнения (3.9) следует, что размерность глез х размерность г размерность /тз размерность Лт2 а нз уравнения (3.10) слслует, что для такого звена размерность Л:сз размерность й,— /лх; х разлтерность/. размерность Ат, х размерность г ~ я+ли~,ю лять 1+ТР+/2Р2+Тзрз 1+Т1Рч-Т2'Р'+Тззрз 1+Т1Р-ьТ,'Р'+Т;"Рз Выражения К~(Р) = /й 1+ Т Р + Т2 Р2 + 7 тз Р (3.1л) /22 +/гзр 1+Т,реТ22ра+Тз Р (3.15) й» ~у(Р) = 1-~- Т~ Р + Т2 /2 + /з Р (3.16) Постоянные времени Тп Т2 и Тз, как следует из уравнений (3 9) и (3.
10), имеют размер~ость времени. Вторая форма записи. Считая условно оператор дифференцирования Р = г//г/г алгебраической величиной, решим уравнение (3.! 1) относительно выхолной величины; Глава 3. Лииеаризвция дифференциальных уравнений 47 называются в теории автоматического управления первдатг>чяьсии функциями. Ураннение (3.13) можно представить в виде Ахз(г) " иг (>>) Ах>(г) + из(р) А з(г) + и>7(р) Г>(г). (3.17) Выражения (3.13) и (3.17) представляют собой символическую запись дифференциального уравнения (3.9). Передаточные функции, формулы лля которых устанавливаются выражениями (3.14) — (3.16), вводятся для сокращения записи дифферепииальны х уравнений и также представляют собой символическую запись дифференциальных уравнений. Более строго передаточная функция опрсделяется через изображения Лапласа (см.
главу 7). Если ввести изображения по Лапласу входных и выходных величин звена: ЬХ, (з) - цдх> (гН; АХз(з) - г-(дхз(г)1; дХз(х) Цдхз(>Н' ГЗ (з) = Ц.Г> (г)1 где з с 4)с> — комплексная величина,то перелаточную функцию(3.14) можносгрого определить как отношение изображений выхолной и входной величин звсна: И> ( ) АХЗ(з) ~1 И',(з) = >>Х>(з) 1+Т>х ч Тзз + Г> 5 при нулевых начальных условиях и равных нулю остальных воздействиях на звени>; АХ> (з) - О и Р> (з) - О . Аналогичным образом можно определить цередаточные функции (3,15) и (3.16). Позтому вмссто дифференциального уравнения (3.17), куда входят функции времени Ах>(г), Ьхз(г), Ахз(г) и Г>(г) можно написать при пулевых >ючальны х условиях уравнение лля изображений в виде, со в нада>о>пом цо форме с (3. 17): ЛХ>(з) = И>>(з) »Х>(з) + Игз(з) АХ>(з) ь И~7(х) Г>(з), (339) или в развернутом виде: оХ, >>>»Хг(з) Й2+~зз)~~Х2(4) з >( 1+7>хч.Тз 5 +Та 5' 1+Т>з+Тз 5 +Т> 5 1+Т>з+7з 5,+Тз 5' В лвух последних выражениях фигурируют не функции времени, а их изображс>п>Я: АХ>(з), ЬХз(з), АХ>(з) и Г>(з), глс з - с ь)с> — комплекснаЯ величина.
В изображениях Лапласа комплексная величина часто обозначается той же буквой р, что и оператор дифференцирования, причем р = с >.)с> . В атом случае уравнение (3.19) будет иметь вид АХз(р) = И',(р) АХ>(р) + Игз(р) ЬХз(р) + И/(р) Г,(р). (3,21) Здесь, как и в уравнении (3.19), фигурируют изооражен>гя функций АХ~()>), АХг(Р), АХз(Р) и с>(Р). В дальнейшем будет употребляться символ дифференцирования р - г)/г7г для символической записи дифференциальных уравнений, куда входят функнии времени цх>(г), Ьхз(г) и т. л., комплексная величина р = с + )с> для записи уравнений с изображениями функций времени по Лапласу АХ>(р), АХ (р) и т.
д. Запись передаточных фУнкций звена и в том и в дРУгом слУчае совпадают: И>>(Р), И>з(Р) и т. д, Однако в передаточных функциях буква р будет означать символ диффсрснци рован ия 48 Непрерывные линейные системы автоматического управления р= <у/<й или комплексную величину р -.-с усо в зависимости от того, рассматриваются ли фупкппи врсмсци или их изображения. Попятис перслаточиой фупкции весьма утшопо прп анализе так называемых структурных схем. Так, папример, звено, пзображешюе ца рис. 3.1, после липсаризации, которая была пролслаиа в прсдыдуп<ем параграфе, можно представить в виде структурной схемы, показаннойй ца рис. 34.
Передаточные фупкци и звеньевв илп отдельшях участков схемы позволяют легко получить обш«. уравпспие всей сис<см<л в впдс (3,13) или (3.20), а в лальпсйшсм в случае цсобхолцмости псрсйтп к исходному дифференциал ьпому уравпению вила (3.9). Г!одобп ым же образом могут быть и<и<учены передаточные фупкции и структурные схемы и для лругпх дпффс1юпциальпых уравнений звеш св, например для рассьтотрс<итого вьппс урав<к.ция (3.10).
Подробисс этот вопрос изложен в В 5,3. Глава 4 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 5 4.1. Общие понятия Как уже было сказано, для расчета различных систем автоматического управлепия <пш обычно разбива«ггся па динамические звенья. Под динамическим звеном понимают устройство любой физической природы и конструктивного оформления, по описываемое опрсделец пым дпффсреициальп ым уравнением.
Классифш<ацпя звеньев производится имешп1 по ви <у лиффсрсцциальиого урависция. Одним и гсм жс уравнением могут описываться весьма разпообразиыс устройства (к<схаиичсс«ие, гидравлпчсскис, электрические и т. д.). Для теории автоматического управлсция это будет один и тот жс тип звена. Копкрстиыс же элсмспты автоматических систем, их теория, конструкция и расчеты излагаются в соответствующих учебниках и руководствах. Обозпачим входную величину звсца через ко а вы ходкую через тз (риг.
4.1). Возмуп<епис, дсйствуюгцсс ца звено, в соответствии с пзложеипым вышс обозначим у(т). Статическая характеристика любого звспа может быть изображена прямой линией Григ. 4.2), так как пока будут рассматриваться лицейиыс или, точпее, л«~<еарпзоваппыс сцст<'мы. В звеньях позиционного, или сп<атическоэо, типа липейпой зависпмосп <о сга - Йх, связаиы выходная и входная ве:шчииы в Глава 4. Динамические звенья и их характеристики 49 установившемся режиме (рис.
4.2, и). Коэффициент пропорциональности 1! между выходной и входной величинами нрелставляст собой козффнциснт нсрслачи звена. В звсньЯх иитегРиРУви1его тина линейной зависимостью г)хг/Й = )гх, свЯзаны производная выходной величины и входная вслнчи!и в установившемся режиме (рнс. Л 2, б). В этом случас для установившегося режима будет снравсллнвьгм равенство хг - )г )х! г)г, откуда и произошло названис этого типа звеньев. Коэффициент ироцорциональности 1! в этом случае такжс является коэффициентом передачи звена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
