Бесекерский, страница 12

Гели входная и выходная величшнв звена имеют одинаковую размерность, то коэффициенту передачи соответствует размерность (с В звеньЯх диффеРегщиРУхгиЛего типа линейной зависимостью хг = )г г1х!/г)Г свазаны в устацовнвнп моя режиме выходная величина и производная входной (рис. 4 2, в), откуда и произошло назнанис этого тина звеньев. Коэффициснт нронор~иональности )г является коэффициентом нсрсдачн звена. Если вх<ц!ная и выхоЛная величины имскзт одинаковую размерность, то коэф(!рициснту передачи в этом случае соответствует размерность (с ~.

Классификация звеньев, как уже отмечалось, производится но виду дифференциального уравнения нлн, что то жс самое, по виду передаточной функцнп звена. Предположим, !!о звено, изображенное на рис. 4.1, описывается лиффсрснциальным уравнением, представленным в стандартной форме: 12 ° +Т! х2 )г!~! +)гг +)гз.1(г). ..2 г) хг ~х2 ге! г(гг г)г ' ' г г(г При нулевых начальных условиях, т. с, в том случае, сели для с < 0 входная н выходная величины, а также их производные то'кдсственно равны нулю, и нрн о!'- сутствии внешнего возмущения (/(г) - 0) может быть найдена передаточная функция звена как отношение изображений но Лапласу выходной н входной величин; Хг(р) )г, +)ггр )г!(1+Т!!Р) Х!(Р) 1+1;р+Тг р 1+1;р+Тг р (4.1) !дс 1г, — коэффициент переда !и:!вена, Т, = )гг/я! — постоянная врсмсцн. Прн известной нсрсдаточной функции выходная величина (точнее, се изооражение но Ла!ьчасу) может находиться из вырзжения лг(Р) = иг(Р) Х!(Р).

50 Непрерывные линейные системы автоматического управления Лналогичным образом может быть найдена передаточная функция звена по возмущению, если положить при оулевых начальных условиях входное воздействие равным цулк> (х, = 0). Тогда искомая передаточная функция будет ранна отношению изображении выходной величины и внешнего возмущения: дз(р) яз )чг(Р) = р(р) 1+Т1 р+Тт р (4.2) В дальнейшем изложении для характеристики звена будет использоваться в основном передаточная функция, так как именно она дает связь между входной и выходной величинами, что необходимо знать прн использовании того или иного звена в автоматической системе.

В соответствии с этим в табл. 4.! приведены передаточные функции десяти разновидностей так называемых типовых динамических звеньев. Под типовым звеном понимается такое звено, ко~орое описывается дифференциальным уравнением пе выше второго порядка. Характеристики типовых звеньев рассматриваются более подробно ниже. В табл. 4.1 нс приводятся сведения о большой группе так называемых корректиру1оптих звеш1св, используемых для улучшения динамических качеств автоматических систем.

Эти звенья будут рассмотрены в главе 10. е 4.2. Временные характеристики Динамические свойства звена могут быль определены по его переходной функции и фунгции песа. Переходная функция, или переходная характеристики, п(г) описывает переходный процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его вход скачкообразного воздействия при величине скачка, равной единице (рис. 4.3). Такое входное воздействис называется вдиничной ступенчатой функцией и обозначается х,(г) = 1(г), что соответствуст х, = 0 при г < 0 и х, = 1 при г > О.

11редполагаез ся, что единица ил1еет ту же размерность, что и физическая величина на входе звена. Если входное воздействие представляет собой нседипичную ступенчатую функцию х, = У 1(г), выходная величина будет ранна ха = УЬ(г). Ступенчатая функция представляет собой распространенный вил входного воздействия в автоматических системах.

К такому виду сводятся мгновенное изменение нагрузки электрического генератора, мгновенное возрастание нагрузки па валу двигателя, мгновенный поворот командной оси следящей системы ит, и. Умноженис какой-либо функции времени х(г) на единичную ступенчатую функцию 1(Г) означает, что функция времени х(т) будет существовать только при г > О, при с < 0 она обращается в нуль. Это иллюстрируется рис. 4.4. Функция веса тв(г) представляет собой реакцию звена на еди- ничную импульсную функцию, поданную на его вход (рис.

4.5). Глааа 4. Дркщщеесхие зреиья и их харааеристики . 51 ь~ ! а К Б й С4 И О. о и о и о Р я с~ ~О о Х е е о и О й з й О И + 6~ + 4 ОР Ц еа О. Ю е $ К Д Р Н ~1 а. И 52 Непрерывные линейные системы автоматического управления Единичная импульсная функция или дельта-функция представляет собой производную отелини гной гтупснчатой функции: 5(г) - 1' (г). Дсльтафуикция тождественно равна нулго новсн>лу, кроме точки! = О, глс она стремится к бесконечности. Основное свойство дельта-функции заключастся в том, что ) 6(г)й= 1, (4.3) тв(г) = Лг 1л(г) — Ь(г — в)]. (4 4) Вулсм тснсрь увеличивать высоту имнульса Х, одновременно уменыная сто ширину в, но так, чтобы всс врсмя нлонгалгэ нмцульса рав)гялась слн!гнцс, т.

с. ЛГв = 1. Помножив и гн>лелнв правую чж:п равенства (4А) на е и перейдя к пределу, получим функцию веса Нвгй(г) — л(е — в)~ гул(г) к:(г) = 1гпв г — нг Е гуг Таким образом, функция веса люжет был ь получена дифференцированисм но врсмсни переходной функции. В случае, если на вход звена поступает неединичная нлснульсная функция х~ = С 6(г), на выхоле звена получится хз = С гв(г).

Импульсная функция также нрелставляст собой распространенный нил вхолного воздействия в автоматических системах. К такому виду, можно свести, например, (4.5) т. с. она имеет единичную плон!аль. Из нослслнсго нырахо ння слслует, что размерность лсльта-функции равна 1с ~ ). Иетрудно установить связь между нерехол~гой функписй и функцией веса. Рассмотрилг вхоЛное воздействие звсна в виде коночног о но высоте н нгнрипс имнульса с площалью Ле = 1, приюгалываемого нри г = О (рис.

4.6). Такой импульс может быть замснен двумя ступенчатыми функциями Лг 1(г) н -Лг 1(г — в), прикладываегиымн ко входу звона со слвигом во врслгсни в. Тогда выходная всличина будет равна Глава 4. Динамические звенья и их характеристики 53 кратковременный удар нагрузки ца валу двигателя, кратковременный ток короткого замыкания генератора, отключаемый цлавкими предохранителями, и т. и. В действительности реальные импульсные воздействия ца автои атическук~ систему всегда буЛут конечными по величине и продолжительности, Однако н случае если их продолжительность весьма мала цо сравнению с временем церсходпого цроцссса звена илц автоматической системы, то с болы ной степенью точности реальный импульс может быть заменен дельта-функцией с некоторым масштабирующим коэффициентом, что позволяет оценить переходный процесс цо виду функции веса.

Фу~ ~кция веса звена сааза нас его передаточной функцией цреобразовацисм Лапласа, а именно: церсдаточцая функция есть изооражецце функции асса и связана с ней интегральным цреобразоваиисм и'(р) = ) ю(г)е ~~й. е (4.6) В свою очередь переходная функция звена связана с сто передаточной функцией преобразованием Карсоца, т.

е. имеет место иптегральиос преобразование Иг(р) = р) л(г)е "~й. е (4.7) Для входного воздействия произвольного типа, при клады васмого в моысит г = О, переходный процесс ца выходе звена цри нулевых начальных условиях может быть определен на основании интеграла Дюамеля-Карсоца до церехолиой функции: хз(г) =х,(О)Ь(г)+~х,(т)Ь(г — т)г(т, е (4,8) или цо функции веса хз(г) = ~х,(т) ге(г-т)гй, (4,9) где т -- вспомогательное время интегрирования, изменяющееся в пределах от нуля до рассматриваемого текущего момента времени Г.

Более цолробцо методика нахождения переходного процесса при произвольном входном воздействии будет рассмотрена в главе 7. б 4 3. Частотная передаточная функция и частотные характеристики Важнейшей характеристикой динамического анена является сго частолгцая леРедаточная 4ункьця. Для получения ес рассмотрим динамическое звено (рис. 4.1) в слУчае, когда возмущение Г(г) " О, а оа входе имеется гармоническое воздействие х1 = Хгхг сов ы, где Х~м — амплитуда, ага — угловая частота этого воздействия.

54 Непрерывные линейные системы автоматического управления На выходе линейного звона в установившемся режиме будет также гармоническая функция той же частоты, но в общем случае сдвинутая по фазе относительно входной величины па угол ))т. Таким образом, для выхолпой величины можно записать х2 = Х2 и гх)з(гог + )))). Вос))ользуемся формулой Эйлера и представим вхолную и выходную величины в виде суммы зкспопспциальпых функций: х = — '~е) +е ' ~=х'+х', Х)м г 2 Х = — 2М ~ е)Г +т) +е т +Ю)1=х,'+х" 2 (4.10) х) =Х)ме )'ав х =Х е)1~ "). Х2 2М (4.11) Символичность этой сокращенной записи заключается в отбрасывании составляющих с множителем е ' Для нахождения соотноптепия между входной и выходной гармоническими величинами звена воспользуемся его дифференциальным уравнением в виде Т2 — +Т вЂ” +х =их +Й2 —.

2 г7 х2 Итз )тх) г722 ) с(г 2 ) ) (г ' Из выражсний (4.11) определим производные: 2 7~Х елж 2 7отХ е)<~т.ч) г) х2 ( .ш)2Х ~Лиг+в) Подставив значспия входной и выходной величин и нх производных в дифферен)!иальнос уравнение, получим: Т22Х ме ~~~ч~+Т)ушХ2ме ~~'~~+Хтмел~~"~ =Л Х)не'"~ +4 УаХ ме)~. После сокрашения па общий множитель е"и найдем; 2 2 )ч Я) +722Л~ йг(. Х) и 1+ 7) )го+ Т2 ()зю) (4. 12) ' Иногда уиотреблягот символивссьум запись ь!и и» е~'"'. В линейной системе на основании принципа суперпозиция можно рассмотреть отдельно прохожлспие составляющих х,' и х2".