Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961), страница 37

Потенциальная функция 286 Его общее решение есть С, ехр (х у — !+Св Х .в / 2р! У к/ Х ехр( — х ~~ — !. Подбирая произвольные постоянные ° / 2р! )' к/. так, чтобы удовлетворить условиям (26), (27), получаем ° / 2р1 в(Ь,,о) =р ехр [(Ь вЂ” х) !/ — !. при этом имеет вид, изображенный на рис. 11.2. Анали- тически ее можно записать ~ О при (х(<с, У(х) =- 1 о при 1х1) с. В этом случае имеется стационарное распределение (1 ( —, при )х( <с, тсе(х) = (11.35) О при 1х~ ) с. Внутри отрезка — с( < х < с вследствие отсутствия регулярной силы остается справедливым уравнение (32).

Однако произвольные постоянные в его общем решении С, ехр (х )т' ~к ) + +С,ехр( — х)/ у~) -с 0 с Рнс. 11.2. Потенциальная функция н примере 2. теперь следует выбрать другими. Вблизи отражающей стенки х=с поток вероятности равен нулю, т. е. обращается в нуль градиент до — (с, р) =О. (11.36) Используя, наряду с (28), это условие, получаем- Формула (29) теперь дает а(р) =тсе(Ь) ~à — 111[(с — Ь)фУ вЂ” ~. (11.37) В соответствии с формулой 4.81 указанного выше справочника находим где 9 (О, х) =2,~~с (11.38) П р имер 3.

Рассмотрим случай постоянной возвращающей силы Дх) = — 7о при х > Ь, (7о) О). (Г1.39) Такая зависимость имеет место, например, когда функция 1(х) определяется равенством (10.46), а стационарное распределение равно (10.48), В данном случае уравнение (24) записывается в форме доо 2уо до 2р— — + — ' — — — о=0. дхо ' К дх К (11.40) После подстановки в (29) будем иметь рК "" —" "'У+~У +2рк (11.41) Пользуясь формулой 2.39 из (ПЦ, получаем искомое число выбросов †», ! (», )» ' )( . (! !А!! ()20() Этими результатами можно пользоваться также, когда 1о(0, т. е.

когда сила удаляет траекторию от порогового уровня, В этом случае функция (42) не стремится к нулю при т- оо. Это означает, что некоторые из выбросов, начавшихся на интервале от 1о до 1о+М, вообще не закончатся, так как кривая х(1), превысив поро- 2ЗЫ х Из двух линейно независимых решений ехр ~ — — Х К Х ~Л+т»7оо-( 2РКД, ехР~ — — ",(7о — )» 7оо+2РК)~ этого уравнения условию (27) удовлетворяет первое. Используя к тому же (26), находим =!. о(',." У»,—,Я7ТЪк~!''» говый уровень, уйдет в бесконечность. Согласно (42) среднее число таких выбросов равно а (~) Ь™а (а)!.! О ~ ат (11.43) П р и м е р 4.

Особо следует рассмотреть случай линейной возвращающей силы 7(х) = — йх= — ~, коа' торая, как известно, приводит-к нормальному процессу Маркова с корреляционной функцией К (хх,) = 2й и со стационарным распределением (10.52). Уравнение (24), приобретающее теперь вид д!а 2х да 2 д д + аК д + „~(1 — ар)о=0 (11.44) l 2 путем замены переменной у=х "у —, преобразуется к виду д , + у †, + (1 — р) ь = 0. (11.45) ду! ду Сравнивая последнее уравнение с уравнением 7.355.3 справочника [1Ц, приходим к заключению, что «Я его линейно независимые решения суть е 4х«,«(у) и У* е 4 О,«( — у). Здесь В,«(а) — функции параболического цилиндра.

На бескойечности исчезает лишь первое из указанных решений. Поэтому искомое решение уравнения (45), удовлетворяющее условиям (26), (27), записывается в виде х! а«'(х г~ к1 о(х, р)=рехр~ ., 1, . (11.46) 2З а (Ь ~~в Если подставить последнее выражение в (30) и воспользоваться формулой 7.347.2 из (!1), то получим и (Р)= Р ф' 2 и!а (Ь). (11.47) РаК "«! ~ «' аК) в .,(ь)l — ) 18 зак. и1 289 а) Рассмотрим частный случай нулевого уровня Ь = О, когда п(т) записывается точно в элементарных функциях. При помощи формулы 7.341.2 из [1Ц легко получить 0-а(0) = г() е 'х'-'Ых=2~ г г (4) г (ч) (Кеюу) 0). (11А8) Полагая здесь д = ар и д = ар + 1 и подставляя в (47), будем иметь !ар 1Х вЂ” + — ) г (ар) и (р) = рта (Ь) 1У аК г (ар + В г Я) = —, е, (Ь) )У йКР г( —;Р +1) (11.49) Вследствие этого оригинал, соответствующий изображению (50), имеет вид 1 и( )=те,(0))/ — 1е — 1) гЬ=О).

(11.52) В частности, если подставчть (10.52), то Г 2. 1 2 п(т) = — 1е — 1/ (Ь =0). (11.53) г (х) г(у) или, если перейти к бета-функции В(х, у) = Г (х + у) 11х и учесть, что Г Ы =у'и, то п(Р)= 2 тео(Ь) )/ — РВ( 2 + 2, ~) (11.50) (Ь = 0). Используем формуаы 6.9 и 0.4 (1!1], которые дают 1 РВ(Р+ 2 2) Р~ е р'(е' — 1) г" (11.51) о 5) Большой практический интерес представляет противоположный случай высокого порогового уровня, когда — »1, т.

е. — )) 1. (11.54) В этом случае на координату, превзошедшую указанный уровень, действует большая возвращающая сила х Ь Т" (х) = — — ж — —, а а' приводящая к тому, что выбросы являются кратковре. менными, а степень превышения х(1) — Ь невелика: х(г) — Ь вЂ” —.

аК ь При таких превышениях над пороговым уровнем возх ь вращающая сила — — мало отличается от — — в силу а а указанного условия 154) Поэтому возвращающую силу 1(х) можно считать практически постоянной, как это было .в примере 3. При этом можно пользоваться выведенными там формулами, полагая (11.55) Так, для стационарного распределения (10.52) формула (42) дает среднюю плотность выбросов, длительность которых превышает т: и(т) = е 9« ~ — ег1с3/Т~ 2а 'г' хаК ~/хТ Ьм 1 Р Т— (11.56) 2а~К 4 ~з а Последний результат, конечно, можно вывести из формулы (47), однако этот путь более трудоемкий. Аналогйчно можно вычислить среднее число пз(т) интервалов между выбросами, превышающих т. Силу 19а )' = — ~)х можно считать постоянной для временных интервалов т, в течение которых х(г) мало успевает измениться по сравнению с о(х): ~ут) сь,о, т, е.

для т(( —. Ь ' Пользуясь формулой (42), в которой )о принимает уже отРицательные значениЯ (е = — Ь|а, полУчаем фоРмУлУ. 1 Ь(е п,(т) = —,нзе(Ь) — ~ + ет1с( — Ь' Т)~, (11.57) 2 е а~тУт Ь аа пригодную при Т (( —, так как при этом т (( —. Отсюда аа ара следует, что частота длинных интервалов — )) т)) —, (Т)) 1) равна а~а(Ь)Ь/а, что совпадает с частотой следования серий выбросов (10.56).

Вследствие (10.34) длинные интервалы имеют экспоненциальный закон распределения и поэтому а л(т)= — ' е(Ь)е ""', ( У вЂ” 'Ьв ). (1158) ь) — арщ-! будем иметь „— ч~( В а/ аК Ъз а1,-з н(т) = шо(Ь) Ьг — ~~, е а"1 0 У 2 йив( ар' т о а'а (1! .59) ( ю,~ Лсимптотические формулы типа (5б), (57), (58) могут быть выведены во всех случаях, когда применима теория серий выбросов, изложенная в равд. 2, э 10, т. е.

при выполнении условия (10.45). в) Если не использовать соотношения между Ь и а, то нужно непосредственно находить оригинал Карсена †Лапла, соответствующий выраткению (47). Используя то, что зто выражение представляет собой мероморфную функцию н ее можно представить разложением Здесь лм = — Хм — корни уравнения 29 =)9 =О. (11.60) 3. Ненормированная плотность распределения выбросов по длительности Анализируя полученные формулы, определяющие число выбросов с длительностью, большей фиксированной величины т, легка видеть, что полное число выбросов, получаемое путем приравнпвания т нулю, равно бесконечности Можно показать, что при достаточно малых т независимо от конкретного вида процесса справедлива форыула л (х) юз (Ь) чГ (11.61) Это выражение является точным при г(х) =О.

В других случаях, когда оно справедливо вриближенно, указанное выражение соответствует таким малым временным интервалам т, при которых Регулярнач скорость смешения еше мало сказывается Бесконсчное значение п(0) не позволяет воспользоваться формулой (!), определяющей нормированнузз плотность распределения ш(х). Однако, хотя л(0). и ю (х) нельзя брать в отдельности, нг произведение имеет вполне определенный смысл. Это произведение можно назвать ненормированной плотностью распределения. Выра>кение для нее получаем путем диффереицированпя равенства (!) г(п (х) п(0) ю (ч) =— о'т В различных частных случаях согласно (34), (42) и (53) мы имеем следуюшяе выражения для ненормированной плотности Распределения выбросов по длительности: — з (О) «) = —,(Ь) У вЂ”, (!1.63) при отсутствии регулярной скорости смещения )(х) =0 и (О) ю (х) = — юа (Ь) $/ —, х з е (11.64) В качестве аргумента функций параболического цилиндра в указанных равенствах берется Ьт 2/аК = Ь)а.

х— Рад (59) можно получить также, отыскивая решение юз(х, () или о(х, Г) уравнения Фоккера — Планка (9) или (20) с нулевым граничным условием в форме разложения (!0.29) при последующем интегрировгннл по х от Ь до оо. Корни ьм есть собственные значения уравненич (!0.30), а О 1 пропорциональны Хж (х). а зг Такое решение с использованием собственных функций и собетвенных значений уравнения (!0.30) может быть получено и при других видах функции г(х). Так, при релеевских флюктуациях в качестве Хм выступают вырожденные гипергеометрические функции. при постоянной,возврашающей силе и Ьз з л(0) ю(т) = — е Р (1 — е гб) (11.68) при линейной силе !(х) = — ]]х и нулевом уровне Ь=О. Ввиду отсутствия нормированной плотности распределения, распределенве по длительности не имеет обычной характеристической функции В (и) = (егп ), (11.66) и (0) ]В (и) — 1] = сл ~ егпсл (с) с(с = — и ( — !ь), (11.67) о В правой части здесь стоит изображение Карсона †Лапла (28] Как видно нз приведенного выше наложения, комбин сцсссо л(0)]6— — 1], ноторая служит обобшеннем характеристической функции, получить в некоторы.с случаях даже проне, чем выражение для плот.