Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь (1979), страница 9

(3,23) Полученные выше границы отношения сигнал/шум достижимы при заданной ширине полосы канала передачи (ч' и ширине спектра передаваемого сигнала В. Как показано на рис. 3.6, улучшить качество передачи без расширения полосы частот невозможно, т. е. необходимо, чтобы !)т/В)1. При увеличении В'/В выходное отношение сигнал/шум постепенно приближается к экспоненцн- 42 альной зависимости (3.19), так как (1+х/и)" стремится в ехр х прн и-+ о. Пример эффективного кодирования обсуждается в гл.

15 для скорости кода 1/2, когда два элемента после кодирования соответствуют каждому двоичному элементу передаваемой информации. Этот метод позволяет уменьшить на 5 дБ энергию сигнала на один элемент сообщения Ез = Рс//сз для данного значения спект- Я ральной плотности шума й/з при обеспечении заданного ка- а-м ! чества передачи (вероятности г ошибки 10 з).

Эта характери- м м' стика качества передачи близка к случаю ЯУ/В = 2 на .йг рис. З.б. Рис. З.б. Верхняя граница зависимости отношения сигиал/шум на выходе напала связи от отношения сигнал/шум на входе демодулятора нри раааых соотношениях полос частот / м дм Ег/В. Предполагается асоднрование с Рг/Ло агав оесконечной задержкой 3.4. ОПТИМАЛЬНОЕ КВАНТОВАНИЕ Выше были рассмотрены характеристики ИКМ с равномерным квантованием в присутствии канальных ошибок. Поскольку было принято, что распределение входного сигнала равномерно, то оптимальным оказалось устройство равномерного квантования. В этом параграфе предполагается, что статистическое распределение входного сигнала в общем неравномерно: допускаются неравномерные уровни квантования, выбранные так, чтобы оптимизировать качество передачи при заданных вероятностных свойствах сигнала.

Задачи данного параграфа следующие: определить оптимальную характеристику устройства квантования (нли компандера) для получения минимального среднего квадрата ошибки 1300, 499); показать, что различие между оптимальным и равномерным квантованием с точки зрения качества передачи невелико; исследовать значительное увеличение динамического диапазона при компандировании по логарифмическому закону 14271 по сравнению с оптимальным квантованием при заданной дисперсии входного сигнала; обсудить преимущества адаптивной ИКМ для нестационарных входных сигналов. В общем случае оптимальные устройства квантования практи~~ски не реализуются. Однако нх характеристики служат пределом качества, к которому можно приблизиться при большом отношении с енин сигнал/шум на выходе, т.

е. при осуществлении высококачественного квантования. 43 Определим сначала оптимальную характеристику квантования для заданной плотности вероятности входного сигнала р(х). Будем считать, что берутся независимые отсчеты стационарного «белого» процесса х('г), имеющего дифференциальную плотность вероятности р(х); при этом (р'(х) )( о. Минимизируем искажения Я, определив дифференцируемую метрику ошибки [('е) при ) Г(е) [ < оо. Метрика искажений может быть записана через выходные уровни у;: н х+ й л Е Ц(х — у)) ='~~~ ~ — ~ [х — у;(х)) р(х) с(х, (324) где х,= — оо, хи+~=оп и у; — сигнал на выходе, вызванный входным сигналом ха<х(хе+и как это показано на рис. З.7. Далее минимизируем йй ч путем дифференцирования =й хе Я по х; и уо что приводит к а~ следующей системе уравнений для оптимальных значений х; и уи Рис.

3.7. Характеристики кнантоаания: а — пример четырехуровневой равномерной характеристики квантонания; б — обобщенная харак- теристика "1+1 дЯ Г вЂ” 7' (х — уз) р (х) дх =- О, ду; а ° дЯ вЂ” =)'(хг — у;,) р(хг) — ~(ху — у;) р(х~) =О хз /=-2, ..., М (3.25) или [(хз — у~,) =- [(х; — уз), (3.26) что требуется для выполнения условий (3.25). Минимум среднего квадрата ошибки.

Выбрав критерий среднего квадрата ошибки (('е) =е', воспользуемся выражениями (3.25) и (3.26) для получения ограничивающих соотношений для х; и уь Выражение (3.26) приводит к (хт — ут г)е.=- (хт — ут)е; (х; — ут,) = =Е (хг — ут) (3,2 н хт = (у~+ ут,)/2. (3. 28) 44 Таким образом, точки х, должны выбираться посредине интервалов (уь уу (), чтобы удовлетворить равенству (3.26). Уравнение (3 25) требует, чтобы интеграл ку ) (Х вЂ” УР в) Р (Х) ((Х = О. Следовательно, оптимальное значение у;, является абсциссой центра тяжести (ЦТ) площади под кривои р(х) между точками х;, и хл т. е.

площадь от х;, до у;, и была равной площади от у;, до х; (см. Рис. 3.8). (3. 2 9) Рис. З.В. Соотношение между уровнями квантования х; входного сигнала и уровнями Ю квантованного сигнала. Значение к; должно соответствовать середине между р( г и ря а значение урони» яу з — абсцисса «центра тяжести» фигуры между р(хн осью абсцисс между ху и кз (на рисунае заштрихоааног хуг Ч~ кг х„ Абсг(сссс ((г р(к/ дрмрд -Ы д Ю ( у ( к, у кс дксд х,=- кссд и) д) Рис. 8.9. Пример оптимального квантовавия сигнала х(() с равномерно распределенными мгновенными значениями; а — общий случай при М уровнях квантования; б — двухуровневое квантование; р(х) — функция плотности вероятности значений входного сигнала х(() В качестве иллюстрации параметров н оптимальных требований рассмотрим сигнал с равномерным распределением и характеРистику квантования, показанные на рнс. 3,9.

Из-за сложности УР-ний (3.25) и (3.26) при неравномерном законе распределения вероятностей в общем случае необходимо использовать ЭВМ. Результаты расчетов для 4-, 16- и 32-уровневого оптимального квантования для входного гауссовского сигнала приведены в табл. 3.1. Здесь также приведены результаты для представления речевого сигнала с помощью гамма-распределения (3431. Отметим, что гамма-Распределение приводит к ббльщему значению среднего квадРата ощибки, чем в случае гауссовской или равномерной плотности вероятностей.

45 Таблица 3.1 Уровни квантования и средний квадрат ошибки (СКО) при равномерном и оптимальном безынерционном квантовании для различных уровней квантования /1/. Приведены результаты также для гамма-распределения 1 р(х) = — р'/с/и ехр [ — 2[х[[/ [х[, /с=0,866, п=1 2 Гауссовское распределение о=! Равномер- ное рас- пределение Гамма-рас- пределение Оптимальное квантова- ние' Равномерное квантование З-ин- (Н/21З ОКО ) СКО 1/№ тервал ско око 0,0 0,4528 0,9816 1,510 0,1125 0,0 0,1284 0,2582 0,3851 0,9957 1,9914 0,1188 0,0625 0,2326 9 1О 15 1б 1,844 2,064 2,401 2,733 9,5 1О 0,3352 2,6816 1 15 10-2 3 9 10-з 1,96 10 32! 17( 0,0 0,0659 0,132 0,1981 2 977 3 263 2 5 10-з 0 1881 3 0096 3 5 10-2 9 75 10 18 32 5,2 10 Ю =[к — У[ = ~[р(х))'/о+'ах .

(3,30) 2г(1 +г) З/г Оптимальная величина интервала равномерного квантовании, Поскольку оптимальный квантователь в обшем случае трудно реа- 46 ' Можно воспольаоаатьса приближением ОГ) = ОКО 2,2ит ! вбили Н>32. Обратим внимание, что для гауссовских сигналов средний квадрат ошибки 2,5 10-' при оптимальном 32-уровневом квантовании только немного меньше среднего квадрата ошибки 3,5.10-2 при равномерном квантовании с оптимальным шагом. В случае входных сигналов с равномерным распределением оптимальное квантование и равномерное квантование, конечно, идентичны. Как и ожидалось, характеристики для входных сигналов с равномерным распределением улучшаются по сравнению с характеристикой гауссовских сигналов.

Для оценки ошибки по критерию /(х — у)=[х — у(х)[г Пантер и Дите [346] показали, что близкий к оптимальному такой закон квантования, прн котором каждый из А/ интервалов квантования вносит равную долю в [х — у(х) [г. Аппроксимация метрики искажений при больших /)/ и гладкой плотности вероятности р(х) описывается как лизовать практически, то можно рассмотреть устройство равномерного квантования и оптимизировать интервал квантования. Результаты оценки такого устройства можно будет затем сопоставить с характеристиками оптимального квантования.

Пусть входной сигнал является симметричным р(х) =р( — х). Найдем метрику искажений при величине шага квантования 6 (а!/2) — ! ! а Я=2 ~~ ~ ~ ~х — ' ] р(х)((х+ !=! (!-!) а +2 ~ ~ ~х — ( )6] р(х)((х (()т/а) — П а для четного числа уровней квантования 6/, расположенных через интервалы 6. Тогда границы интервала квантования отстоят друг от друга на (/)/ — 1)6. Далее, минимизируем Я и найдем оптимальную величину 6, воспользовавшись уравнением Эйлера'.

()(!/2) — 1 !а — (2!' — 1) ~ /" [х — 6 ( )] /) (х) (1х— !=! (! — !) а Π— (26/ — 1) ~ ~' ~х — ~ ) 6] р (х) (Хх = О. (а) — !) а/а (3.32) Уравнение (3.32) может быть решено с помошью ЭВМ относительно оптимальной величины 6 для случая гауссовских входных сигналов. Эти результаты показаны в табл.

3.1 в колонке с названием еРавномерное квантование» и сравниваются с оптимальным квантованием. Отметим незначительное различие величины искажений при равномерном и оптимальном квантовании для любых значений Л/. В табл. 3.1 приведены также результаты для равномерного (оптимального) квантования входного сигнала с равномерным распределением, поскольку эти результаты являются нижней оценкой среднего квадрата ошибки.

Заь КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЙ КВАНТОВАТЕЛЬ (КОМПАНДЕР) ДЛЯ ВОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ Л Если при неравномерном квантовании используется большое число уРовней квантования, то квазиоптимальная характеристика может быть построена даже без использования ЭВМ 14271. Более того, часто можно практически реализовать такой квантоваПРедположим, что квантование достаточно точно, а плотность вероятности входного сигнала р(х) является сравнительно гладкой функцией, так что р (х/) ж /) (х/+!), (3. 33) ' Си ~". аРияечаяие ва етр. ЗО. т.

е. плотность вероятности между соседними уровнями квантования меняется незначительно. В этом случае оптимальное значение выходного уровня — это просто средняя точка между входными уровнями, а именно х + хд+ 2«д+ Ьд Уд= 2 = 2 (3.34) где «д+д /Д' '1 оде ж ~ (х — уд)я р(хд) в(х= р(хд) /зд — д~ 12 (3.36) «д Полный средний квадрат ошибки может быть записан на основе (3.36) д 12 4',д где вероятность того, что сигнал соответствует 1-му уровню, опре- деляется как «д 1 Рд ~ Р(хд)пд ) Р(х)в(х.