Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь (1979), страница 10

« ° Следовательно, средний квадрат ошибки может быть записан как (3.38) Иарактеривтики компандирования. Любая характеристика квантования может быть получена с помощью последовательно включенных безынерционной нелинейности (компрессора с характеристикой о(х)) и устройства равномерного квантования, как это показано на рис. 3.10, На приемной стороне выходной сигнал устрой- Хеилр рвв Зрел и Ф Гл идеирррде- Влрд и . лель рад- Виирд иеиериме ри Рис.

3.!О. Структурная схема компандирования: Компр — компрессор; Эксп — экспандер ства квантования поступает на экспандер с характеристикой 6-ь(х). Компрессор н экспандер могут представлять собой непрерывные нелинейности, но тот же результат можно получить прн использовании преобразователей аналог/цифра и цифра/аналог с 4в' х;+, л хд+стд. (3.35) Средний квадрат ошибки для входных сигналов в 1-м интервале будет неравномерно расположенными уровнями квантования. Однако использование равномерного квантователя может быть более экономично.

Экспандер имеет обратную характеристику относительно функции о(х), следовательно, последовательное соединение устройств с характеристиками о(х) и о '(х) дает передаточную функцию с усилением, равным единице, т. е. о< '1 [о(х))=х. Предположим симметрию плотности вероятности входного сигнала и что У/2 положительных шагов квантования на входе и выходе имеют каждый величину 8=2У/Л', соответствуюшую прираше*иям сигнала на выходе компрессора. Определим крутизну характеристики компрессора как и(х)а с(о/г/х. Прирашения сигнала нз входе компрессора то~да Л/жб 1 = б/и. оо/ох Следовательно, средний квадрат ошибки (3.38) (3.39) ае = — Е (Л~~) = Е ~( — ) ~ = — ~( г р(х) с(х.

(3.40) рд !аг~ Лл-г Ухо лхад л/у к„ 2оа" оа:=- — ~ [и(х)) ' р(х) с(х б =-2У/й/ а при ограничиваюшем условии ~ и (х) г/х = У. о (3.41) (3.42) р.З. 49 Считаем входной сигнал симметричным, так что р(х) =р( — х), Тогда характеристика компрессии будет также симметричной, и достаточно будет показать только ее положительную ветвь, опуская отрицательную ветвь о( — х) = — о(х), как это дано на рис. 3.11. Далее найдем оптимальную характеристику компрессии. Минимизируем средний квадрат ошибки а', используя уравнение Эйлера' [9бе1 Выразим сначала о' по выражению (3.40) через и(х) Рис.

8.!1. Характеристика мгновеииаа комп- рессии в(х) Определим интеграл 7=ох+Ли= ~[ — р +Ли(х)~ г(х, (3.43) 1 12 их(х) о где Л вЂ” множитель Лагранжа. Уравнение Эйлера — это просто — = — р(х) +Л=О (3.44) ои 12 из (х) или оптимальная крутизна характеристики компрессии будет до/Ых= и(х) =- [3 Л р(х))из = Краз(х), (3.45) где постоянный коэффициент К выбирается из ограничивающего условия (3.42) о т. е.

К =-йх ) роз(х) Нх. ( о (3.46) (3.47) Следовательно, минимальное значение оз из выражений (3.41), (3.45) и (3.47) для оптимального компандирования з 2бхр 1 2 ах 1 о'= ~, з р(х)дх= — — ~риз(х)Ых 12,) Кх рз)з (х) 12 х'х о а и з — — ~р» (х)Ых З(и'х а (3.48) что для равномерного закона распределения р(х) приводит к результату о'= и'з(ЗЛ'з.

Отметим, что входные и выходные интервалы выбирались из условия и!+1 х;+1 х,. 1 5 с ~ гЬ = ~ ( — )дх= — ~ Криз(х)г(х, (3.49) и~ х~ х,. где о; ао(хз), и, следовательно, имеем одинаковые приращения площади под каждым сегментом кривой рпз(х) от х; до хань Следовательно, площадь под кривой рп'(х) между точками х; и хиы будет равна (3.50) "1+и ) Крмз(х)дх=бе х Таким образом, большие изменения в р('х) от одно~о сегмента к другому несколько сглаживаются из-за возведения в степень 1/3. ао 1 г/л Е[[х — у(х) ~') ( ~р" (х)/[х 2' (1+г) 3.51) где п=с/(1+г); т=1/(1+г); т+п=!, Пример.

Речевой сигнал, описываемый распределением Лапласа. Пусть плотность вероятности речевого сигнала представлена плотностью распределения Лапласа' р(х) = бекр ( — [х Пх ), (3Л2) где П в 1/2хо и х'=о' =2хоо — средний квадрат речевого сигнала. Используя выражения (3.43) и (3.47), можно записать оптимальную характеристику компрессии в виде о х о(») = ~о/о = — о/» — ~ /гР М о/» — ~/гП1/3 е х/зхоо(» 3'1 о/х/ о о о о 1 е — х/зхо Ю1/з Зхо е х/зхо !" = /(П1/з 3» (1 е™/зхо) У (3 33) е — у/Вхо Определим нормированный уровень перегрузки С, как отношение диапазона квантования к волюму речевого сигнала С=)//о . Для пренебрежимо малого эффекта перегрузки имеем С))1. Малая перегрузка соответствует большой величине С.

Изменение отношения сигнал/шум квантования в зависимости от волюма речи'. Образуем теперь семейство характеристик компрессии такой же общей формы, как оптимальная характеристика (3.53), но имеющих набор параметров, независимых от ом: п(х)/!'=(! — е "/ )/(1 — е "). (3.54) Для данного значения волюма речи озм некоторое значение т будет оптимальным. Теперь можно определить, как изменяется характеристика компандера в зависимости от о'„если компандироние было оптимизировано для определенного значения о'„.

Определим величину ч)о с 1/(СЩ=оз/оз (3. 55) ' Гамма-распределение р(х) = )С м/4п(х[ехр( — й[х[) является более сложно лучше соответствует речевому сигналу [343). Ивпомним, что уровни мощности речевых сигналов, усредненные за коротие промежутки времени, называются волюмими.

Волюмы распределены по заноя, б бо ом иу' близкому к гауссовскому, а измеряются специальным интегрирующим приРом (волюметром) со временем усреднения порядка 200 мс. (Прим. рвд.) 31 В более общем случае в [129] показано, что для входного сигнала х, который имеет плотность вероятности, постоянную на каждом интервале квантования, и абсолютно непрерывное распределение вероятностей, квантователь, оптимизированный так, чтобы минимизировать меру ошибки [х — у(х) [г, все еще выдает уг=(хг+ +хг 1)/2. Тогда среднее значение меры ошибки ограничено при больших значениях /т' величиной где по (3.40) имеем (3.56) 2 Уй Е 1 р (х) дх. '= 3 Чй 3 (ио!Ех)й о В соответствии с выражением (3.54) крутизна компрессии описывается как оо ! ,л — е й(х ! — е характеристики (3 57) Выражение (3.59) показывает чувствительность качества передачи к волюму речи, входящему в величину С=У!ой, Пример этой зависимости показан на рис.

3.12. Рассмотренный компандер имеет ограниченное значение для передачи речевых сигналов с ИКМ из-за ограниченности динамического диапазона, при котором С/Ш)30 дБ, хотя для частного значения )ровня сигнала имеется оптимум. При малых величинах С возникает перегрузка, а для больших — квантователь/компандер слишком грубый, Логаридймическое компандирование ()х-закон). Компандирование речевых сигналов при логарифмическом законе не является оптимальным по сравнению с компандированием по (3.57) для любого воЗ2 Подставляя (3.57) в (3.55), получим средний квадрат ошибки в зависимости от величины о'х=2к', для плотности вероятности, описываемой законом Лапласа (3.52): — тх!У вЂ” й — ': =-'( — ')) Г'"-""Г" ""'= о о 1 1 2 ( ! ОГ1атж! — !!/хй!! ! 2хо тй Фй 3 ! (2т/У) — (1)хй) Определим М а 1 — е- и С=У/ у'2хо, где С вЂ” нормированный динамический диапазон. Упрощая выражение (3.58), запишем ой ! Уй в!й ! + ойт Н /хе! хй ! Зх, тйЛ!й 2хй((2т/У) — (1!хй)] 1 УйМй ойт — !'й с 1 3 тй и (2т — У2 С) х~ 2у (=) (.И (3.59) 37йй тй 2т — У2 С дюма речи.

Однако оно обеспечивает улучшение отношения сигнал/шум по сравнению с равномерным квантованием для более широкого диапазона уровней волюма, нежели оптимальный компандер, и поэтому имеет важное практическое значение. При со- ,Ю вт /В Рис. В./2. Зависимость отношения сигнал шум (с/ш=!/УУ/а) от ореднеквадратической величины волюма входного речевого сигнала при /т'= 128=2' уровнях квантования, т. е. при а=7 символах на отсчет. По осв абсцисс отломано С у7о„ вЂ” отяошаняа днавааона квантования к волюму. Олтвмум соответствует абсцвсса С !3/ у 2!тл 42,4 0 а а)В /ВВ В=У/б» ответствующих величинах параметров логарифмическое компандирование может обеспечить высокое качество передачи речи с / разрядами или !28 уровнями яа отсчет, тогда как при равномерном квантовании требуется 11 разрядов на отсчет для получения такого же качества 1226в, 427~.