Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь (1979), страница 6

(В [256а) показано, что дискретизация с неравномерной скоростью не может быть осуществлена при средней частоте ниже 2В.) Дискретитированный сигнал з*(() — это просто произведение з(() г((). Периодическая .(г(скретизирующая функция с конечной длительностью импульсов с( (рис. 2.2) нчеш единичную амплитуду.

Отметим, что в каждом ингервале дис- и(() Рис. 2.2 Периодическая функция дискретизации конечной длительности с( с частотой [л ††=1(Т кретизации Функция и(() вырезает сегмент конечной ширины из исходного сигнала Если отношение с()Т=1, то выходной сигнал днскретизатора идентичен входномУ сигналу. Применительно к системам с квантованием отношение г((Т 'ыбирается близким к нулю (отсчеты нулевой ширины), поскольку только одно Разрядное кодовое слово должно быть сфорыироваио в течение этого одного интервала дискретизации Дискретизация сигналов при конечной длительности имп льс мпу"асов отсчета будет вновь рассматриваться в связи с многостанциониым к~стуком с разделением сигналов во времени (гл.

1О, 12 и 18). Днскреткзирующую функцию и(() можно выразить как сумму экспонент е (() = — Ч С е)""д Т й'.й' где С = з1 з)пиит((Т и з(пс мос((Тд; С =1 а (оде 2п)Т пи(((Т 27 Сигнал после дискретизации з*(!), преобразование Фурье 5*(мо) и энерге.тический спектр 6*,(в) этого сигнала определяются следующим образом: с! %! з * (!) Ь з (!) г (!), 5* (! в) Л вЂ” '~ ' С 5 (! в — ! вл ч), ч l г( 'та жч 5()а)ЛР(!а)М(!а) 6~(а)Л ~ — ) ~ С 6о(в — чад), ч где М(но) — преобразоза»пс Фурье сигнала т(!), а а=2л(; 5()а) — преооразонаипс Фурье сигнала после предыщ ажа~сгцей фпльтрац»п э(П; Грйо) — переда- пюя фу»кция предыскажающего фильтра. Энергетический спектр сигнала з(!) нлр' » ае с» через энергетически»! спектр злодиого с»гн»ла т(О: 6, (а) = ) Р (! в),з 6т (со) .

На рос. 2.3 прнзсде»ы типичные график» энергетических спектров сигналов до дпскрезпзацнн з(!) и после дискретизации зэ(!), зг(в) а) Зо !в) гвг)' о) Рис. 2ий Примеры энергетических спектров: а — спектр отфильтроианного сигнала з(!); б— спекто дпскретизирозанного сигнала з*(!) Обратим нниыание нз то, что после дискретизации энергетичеокий спектр с центральной частотой 2вд может оказаться з полосе частот исходного сигнала, если частота дискретизации вл недостаточно высока.

Ошибка е(!), сглаженный выходной сигнал т. „(г) и его преобоазоаание Мои*(но) связаны следующими выражениями: И е (!) = тзых (!) — т (! — т), Т М,,(.) = у((в) ~5 ( )+ — '! р((; )1. Т 28 Преобразование Фурье ошибки Е (! ю) = У (! ю) ~Бе (! ю) + — Х (! ю) ~ — — М (! ш) е т ! т 2.3. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРЕДЫСКАЖАЮЩЕГО И СГЛАЖИВАЮЩЕГО ФИЛЬТРОВ Выразим средний квадрат ошибки через передаточные функции предыскажающего г(!ю) и сглажнваюшего У(!ы) фильтров с тем, чтобы в дальнейшем оптимизировать характеристики этих фильтров.

Ошибка может быть представлена в виде совокупности ошибки нз-за искажений фильтрации, ошибки, вызванной шумом, п ошибки из.за перекрьпия спектров. Все эти явления некоррелированны друг с другом, следовательно, для получения среднего квадрата обшей ошибки можно суммировать средние квадраты отдельных составляюнтих. Энергетический спектр ошибки в целом можно записать в впдс трех слагаемых. — = 6ю (ю) ! У(1ш) Р(но) — е ыт!'г ( ~ У (,.ю) (а6п (ю)+ (б)Г)г искаитеиия фильтрации ошибка из-за шума с +(У (1ю) (г ~ Сг6 (се тюд) ~Р (1ю !Рыд) (г ° С 6а (ез тюд) (2. 1) сшибка из-за перекрытия спектраа Штрих после знака суммы означает, что не учитывается член этой суммы с т= =О.

Отметим, что энергетический спектр сигнала после дискретизации аа(!) за- писывается как 6, (ю) = ( †) 6, (ю) + ~ †) ~~)~ ~Сг 6а(ю — иод). ! У (!ю) Р(ты) — е'ыт!г = /1'(ю) Р (то) е! !в+В! — е ! "т(г (2.3) ' Н~ фильт ов, с ~низких ограничений не накладывается на эти передаточные функции держка т в ф Ров, связанных с их реализуемостью, поскольку предполагается, что зафильт а мож Р т выходного сглаженного сигнала некритична н любая характеристика ф " Ра может быть аппроксимирована с любой точностью при достаточной задержке во времени. Член (т))Т)з(у(!ю)('6 (ю) соответствует влиянию аддитивного шума, где 6м(ю) — энергетический спектр этого шума л(!). Далее выразим передаточные функции предыскажаюшего и сглаживающего фильтров через соответствующие частотные и фазовые характеристики': предыскажаюший фильтр Р (! ш) А Р (ю) е тр ! ); (2.

х) сглаживающий фильтр У (! ю) А )т (ю) е В !ш!. Оптимизируем фазовую характеристику 0(бз) сглаживающего фильтра в выРажении (2.1), чтобы минимизировать 1 16е(ю) сг = — ~ — с(ю. 2я,) (г))Т)Я В выражении 6,(бз) только члены, определяющие искажения фильтрации, содержат й. При любых частотных характеристиках У и Р средний квадрат ошибки будет минимальным, когда оба вектора в (2.3) будут иметь один и тот же фазовый угол, а именно <р(в)+6(о»)= — вт или 6(в)= — (вт+чр(в)). Теперь энергетический спектр ошибки (2.1) можно переписать в виде (б!Т)а 'с " ь;е =О [1 и — 1)а+Уз 0» + 11 С 0 (в — тв»<)1 Оптимальнан функции У(в) находится с помощью формулы Эйлера' [96*1: (2 А) д~е = 20»<Р(УР !)+21' [0»+ ~~) С Ое (в — то»д) = О. Решая это уравнение относительно У, найдем передаточную функцию оптимального сглаживающего фильтра в виде отношения ов(в) Р(а) а„« » « фа.«.»2'»1»,« —, (2.5) для У((а) р У(по)»»».

Перейдем теперь к задаче оптимизации предыскажаюшего фильтра с передаточной фун<кцией Г((а) с целью минимизации е'. Определим сначала второе слагаемое в выражении (2.7) » 1 ХЛ вЂ” 1 [О. (в)+О,"(а)1У (в) ба, — Ф Имеется в виду правило нахождения экстремума нвп<рерывной функции путем приравнивания нулю первой производной. (Приве ре<).) 30 О»< (в) Р (о») 0„(в) + ~ С~ О (в — твд) та (а — тв ) 0,(а) ! О, (в) (2. 6) О» (о») +аз (о») р (а) Ох (с») р (а) где 02 (в)»' 0*,(а)+0„(о»). Легко определить, что последовательное соединение фильтров У(!а)Р(но) является оптимальным сглаживающим фильтром для сигнала с энергетическим спектром 0,(в) н аддитивного шума с энергетическим спектром 0„(в).

Подста- вим выражение передаточной функции оптимального фильтра (2.6) в выражение энергетического спектра ошибии (2.4). Учитывая соотношение 0,(а) = =Р'(в) 0 (о»), получим (3(Т)а ~ ав ) а, Ра ' ' а, [ а, 0,1 Вюа, — — = а,„— — = а — Ов1, О, " О, где для упрощения записи опущена функциональная зависимость от частоты в. В результате интегрирования выражения энергетического спектра ошибки получаем — !'О (в) за=- — ~ <(а = ( (0»»(в) — [0» (в)+О, (в)|уз(в)7 <(а > 0 (2.7) 2п .) (<()Т)в 2п 7 ) !0е + ~д~~ С» 0т~ ~ 1 (1 е> ° » ) (2.

8) (2. 9) (2. 12) 31 ато можно записать, используя выражение (2.0), в следующем виде: 1 62 (в) Рз(в) да /=в 6„(в) + ~ Сг 0,„(в — »ад) Рз (в — »ад) Ф 1 (" У ( ) 0т (а) д о> Л Ра. — Ф Поскольку е' = Ра — У, Р— мощность сигнала, а У Р, то средний квадрат ашмбип минимален при максимуме величины мнтепрала У=Р— е'.

Если длительность дискретизирующих импульсов равна нулю, т. е. д/Т=0, то коэффициенты С =! для всех ю Положим, что шум — белый с двусторон- мим энергетическим спектром 6 (в) =й(е/2, где А)е — односторонняя спектраль- ная плотность шума. В этом случае знаменатель выражения (2.8) является пе- риодической функцией с периодом в =2п/Т, а интеграл У равен определенному интегралу от бесконечных сумм: а, Гг е' = ~чР бл ((е»(„) рз (о>,(„) е( а> = ()/е + ~да~ 0(а (О>»о>д) е ~ (О) — »О>д) аи/2 — а /2 а /г .еа 6 (в — »вл) 6» (в — »«>л) двЛ ) Я(в)дв, /Че + ~ 0> (в»вд) — ад/2 — а Гг где введенная в числитель сумма обеспечивает тот же результат, что и интеграл с бесконечными пределами.

Используя очевидное равенство 6„Р> 9 0,(в), мак- снмизируем отношение Я(в) для всех значений частоты в: '.~ О. (в — д) 0е (в — в ) А.9 (в) Я (в) —, (2. 10) Л;+~чР0,( — „) й/,+ч,0,( ) где для данного значения в через А обозначен вектор-строка компонент спектра входного сигнала гп(!) ( А = (6) (о>), 0е) (о> — о)д), ° ° ), а через.9 — вектор-строка компонент энергетического спектра сигнала после предыскажающего фильтра: 9 = (6, ((о), 6, (о> — вд),...), О» б 6, (в — »вд).

Лля произвольного значения частоты а величина я максимизируется при максимуме скалярного произведения введенных векторов А 9 при неизменной величине с чине суммы 20» (в) +А(з=С. Искомый максимум получается при максимальной величи некто а А, в~личине компоненты вектора 9, одноименной с максимальной компонентой Рассмот Ра А, как это иллюстрируется для двумерного случая на рис. 2.4, петрим сначала значение частоты в=в((вл/2. ПУсть энеРгетический спектр входного сигнала гл(!) монотонно убывает. Тогда 0а(в)) больше ( ).о (,— а),. (,( (( ' Напомним, предыскажающего виним, что обсуждаемые энергетические спектры сигнала до и после фильтра связаны соотношением 0,(в)=0 (в)е>(в).