Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу, страница 58

Для доказательства последнего утверждения задачи доста((! ! точно показать, что / — ! сходится к — по мере. Так как и (х) ~ О Чп Ч почти всюду на Е, то тЕ ( (д(< !) -1- О при (-и. + О (см. свойство 14 из введения к главе П1). Зададим произвольное е >О и выберем ! > О такое, что тЕ (! д!< !) < е. При любом о > О и любом и справедливо включение Е(~-' — — ') > ) Е((~ — а.(> — ",*)()~()а~< ) и () Е () д — д„) > — ).

Действительно„если х не входит в правую часть этого включения, то из неравенств ) д(х) ) < ! ) д(х) — д„(х) ) ' и — следует, что(д„(х)() ! сР ) —; но тогда ~ г ! ! 1 ! (а(х) — яп(х)! 2 2' ~ д(х) Лп(х)~ ~ я(х)еп(х) '2 не входит и в левую часть. Из этого включения получаем: тЕ(~ — — — ) > о)(тЕ ~ !д — д„)> — )+тЕ((д — д„$> — ) -1- е, откуда следует, что !ип тЕ (! — — — ~ > о) < а при любом в > 0; значит, 1пптЕ (~ — — — ~ > о) = 0 Г!! 1 и ~ — ) сходится по мере к —. ял 69?.

Предположим, ? (х) > а на множестве положительной ме- ры. Тогда, в силу свойства 13 нз введения к главе ЧП, для некото- рого натурального и, будем иметь: 1 У ? (х) > а + — на некотором множестве Е положительной меры; и, пусть тЕ' = а >О. Но )„(к) (а, так что Е ((?' — ?„'! > — ) ~ :з Е'; следовательно, глЕ ( ! ? — ?„! > — ) ~~ сс > 0 "о/ при любом и, т. е. последовательность (?„(х)) не сходится по мере к ? (х). Получим противоречие. 698.

Если тЕ = +со, то теорема 1 (теорема Лебега),вообще говоря, неверна. П р и м е р. Пусть Е = [О, + со[ и ( 1 при х с[и, п + 1[, ) О при х ч [О, л [ () [и + 1, +со[. Последовательность (?„(х)) почти всюду на Е сходится к функции ср (х), тождественно равной нулю. Однако тЕ (! ф — Ц > — ~ =1 1~ 2? при любом п, т. е. (?„) не сходится к Ч~ по мере. Теорема 2 остается верной и при тЕ = +со. Докажем это. Пусть Е = Е [) У (О, й) (У (О, й) — шар радиуса й с центром в нача„-е координат). Если последовательность (?„) сходится по мере иа Е, то она сходится по мере и на Е,; но тогда из нее можно извлечь подпоследовательность (?,и), сходящуюся почти всюду на Е,.

Далее, так как последовательность (?„,) сходится по мере на Е, то она сходится по мере и на Е;, извлечем из нее сходящуюся почти всюду на Е, подпоследовательность (?„, ). Аналогично на- "0 ходим подпоследовательность (?, ), сходящуюся почти всюду на /у Ем и т. д. Выделяя теперь из таблицы диагональную последовательность 1„, 1„,., г„,, получим »Фу' подпоследовательность последовательности ()„), сходящуюся почти всюду на Е. 699. Заметим сначала, что любое натуральное число л может быть представлено, и притом единственным образом, в виде п = = 2ь + 1, где й = О, 1, 2, ..., О ( 1 < 2".

Зададим теперь на Е = = 10, Ц следующую последовательность функций (1„(х)): О в остальныхточкахотрезка 10, Ц, где 1 и й — числа, соотнесенные числу и указанным выше образом (рис. 48). Ясно„что зта последовательность сходится по мере к функции ~р (х), тождественно равной нулю, так как 0 при о'» 1, тЕ(~ ср — ~„( > о) = — при 0<о<1. 2~ С другой стороны, (1„(х)) не сходится к нулю ни в одной точке множества Е = 10, Ц. Ряс.

48 250 700. Подпоследовательность функций г'„г„г«, Д„Дт«, ... из последовательности (г„), построенной в решении задачи 699, сходится к функции «р (х) = О всюду на Е = [О, 1], кроме точки х = О. 701. Если мера множества Е конечна, то это утверждение верно; оно сразу следует из теоремы Егорова (с. 82), если учесть, что сходящаяся почти всюду на Е последовательность фуннций сходится на Е и по мере. Если же тЕ = +со, то данное утверждение неверно. П р их« м е р.

Последовательность функций 1, (х) = — сходится почти всюду (и даже всюду) на Е =- ] — со, + со[ к фуннции «р (х) = О. Однако ни для какого подмножества Е, с: Е бесконечной меры нельзя извлечь из (4 (х)) подпоследовательность, равномерно сходящуюся на Е,. 702. Всякая функция ограниченной вариации на [а, Ь] ограничена и имеет не более счетного множества точен разрыва на [а, Ь] (см. следствие из теоремы 1, с. 73); следовательно, мера множества точек разрыва равна нулю. Поэтому такая функция интегрируема по Риману на [а, Ь] (см, введение к настоящей главе, с. 82), 703. Нет. Если функция разрывна всюду на непустом открытом множестве 6 ~ [а, Ь], то множество ее точек разрыва имеет положительную меру.

Такая функция не может быть интегрируемой по Риману на отрезке [а, Ь] (см. введение к настоящей главе), 704. Функция — при х чьО, 1 ~(х) = х 0 при х=О не интегрируема по Риману на отрезке [О, 1] (в силу неограниченности), однако она интегрируема на любом отрезке [а, р], где О <а <(5 <1. 703. Так как функция интегрируема по Риману на любом отрезке [а, р] таком, что а < а < )) < Ь, то она, в частности, интес с1 Ь вЂ” а грируема на отрезках ~а+ —, Ь вЂ” — ~, где с = —, и = 1, 2, и л~ 3 3, ...; следовательно, на каждом таком отрезке множество точек разрыва имеет меру нуль. Обозначим через Е„множество точек с с1 разрыва функции на ~а+ —, Ь вЂ” — ~; тогда множество всех тол л~ чек разрыва на отрезке [а, Ь] равно объединению всех Е„„к ного- рому, может быть, добавлены точки а и Ь (или одна из них), Но так как тЕ„ = О при любом п, то и и ([) Е„) = О.

Добавление к множеству () Е„ одной или двух крайних точек отрезка [а, Ь] не изл менит меры этого множества. Итак, множество всех точек разрыва функции на отрезке [а, Ь] имеет меру нуль. Так как функция по условию ограничена на [а, Ь], то она интегрируема по Рнману яа [а, Ь]. 251 706.

Функция ~р (х) может оказаться неинтегрируемой по Римаиу (хотя Ч~ (х) всегда будет интегрируемой по Лебегу (см. свойство8 нас. 84). Пример. /1 при х = г„г„..., г„, '1 0 в остальных точках 1а, Ь) (здесь г,, г„... — все рациональные числа отрезка 1а, Ь), перенумерованные произвольным образом). Функция ~р (х) есть характеристическая функция множества рациональных чисел отрезка 1а, Ь). Она всюду разрывна и поэтому не интегрируема по Риману на (а, Ь).

707. Пусть функции ~р„(х) интегрируемы по Римаиу на отрезке Га, Ь) и последовательность (~р„(х)) равномерно сходится к 1 (х) на этом отрезке. Докажем, что 1(х) интегрируема на 1"а, Ь). а) Функция 1(х) ограничена. Действительно, если последовательность (р„(х) ) равномерно сходится к ) (х), то для любого е >О, и в частности для в = 1, найдется ЬГ такое, что для всех п > )у' имеет место У (х) — Ч„(х)~ < 1.

При п =У это неравенство принимает вид 11(х) — гьл (х)~ < 1, или ф„(х) — 1 < 1 (х) < ~ь„(х) + 1. Так как функции ~р (х)— — 1 и Ч~ (х)+ 1 ограничены на 1"а, Ь), то и 1(х) ограничена на [а, Ь). б) Множество точек разрыва функции 1(х) имеет меру нуль. Действительно, обозначим через Е„множество точек разрыва функции ~р„(х); тогда иЕ„= О, а значит, и и (() Е„) = О.

В каждой точке х„, принадлежащей множеству 1а, Ь) '~ () Е„, все функции ч~„(х) непрерывны; но тогда и функция 1(х), являющаяся их пределом, непрерывна в точке х, (в силу равномерной сходимости последовательности (Ч~„(х))). Значит, функция может быть разрывна только в точках множества Ц Е„, т. е. только на множестве меры нуль. Итак, функция 1 (х) ограничена на 1"а, Ь), и мера множества ее точек разрыва равна нулю.

Следовательно, 1 (х) интегрируема по Риману на 1а, Ь). ь ь Равенство ~ 7(х) г(х =-!(щ ~ гг„(х) г(х доказывается так же, как а а и аналогичное равенство для равномерно сходящихся последовательностей непрерывньи функций, т. е. исходя из того, что ь ь (гь„(х)йх — ( Г'(х) дх < е при ! <р„(х) — 1 (х) ! <— 708. Неверно.

Н а п р и м е р, если Š— множество рациональных чисел на [О, Ц, то гпЕ = О, однако Ха (х) не интегрируема на [О, Ц (множество точек разрыва этой функции совпадает со всем отрезком [О, Ц). 709. Неверно. П р и м е р. Пусть Š— совершенное нигде не 1 плотное множество меры —, расположенное на отрезке [О, Ц.

2 Тогда Ха (х) разрывна во всех точках множества Е, т. е. на множестве положительной меры; следовательно, функция Ха (х) не интегрируема по Риману на [О, Ц. 710. Неверно. П р и м е р. Пусть Š— совершенное нигде не пло- 1 тное множество меры — на отрезке[0, Ц и Š— множество концов 2 всех его смежных интервалов. Тогда Š— нигде не плотное множество меры нуль (так как Š— счетное множество). Однако характеристическая функция Хл (х) разрывна не только в точках множества Е, но и всюду на Е, т. е. на множестве положительной меры. Следовательно, она не интегрируема по Риману.

711. Интегрируема. Это следует из того, что все граничные точки замкнутого множества включаются в это множество. Следовательно, мера множества граничных тачек множества Е равна нулю. А характеристическая функция Ха (х) разрывна только в граничных точках множества Е. 712. Верно. В этом случае функция Х (х) разрывна во всех точках множества Е и непрерывна во всех точках дополнения [а, 51 ', Е. Следовательно, множество точек разрыва функции Х (х) имеет меру нуль. Так как эта функция, кроме того, ограничена на [а, Ь), то она интегрируема по Риману на этом отрезке. 713. Функции примеров 486, 488, 489, 502 интегрируемы поРи- ману на отрезке [О, Ц; они все ограничены; функция примера 489 при с„-~-О, кроме того, непрерывна; для функций из примеров 486, 488 и 489 при Вш с„~ 0 множество точек разрыва — кантол рово множество, т.

е. множество меры нуль; для функции примера 502 множество точек разрыва есть множество рациональных чисел, которое также имеет меру нуль. Функция примера 495 не интегрируема по Риману на [О, Ц; она ограничена, но множество ее точек разрыва — промежуток "10, Ц вЂ” имеет положительную меру. 714. Все эти функции ограничены и измеримы на отрезке [О, Ц и, следовательно, интегрируемы по Лебегу. Вычислим их интегралы: а) для вычисления интеграла от функции из примера 486 разобьем область интегрирования иа два непересекающихся множества: [О, Ц =17 [( С(У, где 77 — канторово множество, а СЕ1— дополнение к нему до всего отрезка [О, Ц. Используя аддитивность 253 интеграла Лебега, получим: 1 (~) ~ ! (х) с(х = (Ь) ) ~ (х) !(х + (Е) ) ~ (х) г(х, Ь о со Интеграл по множеству 0 равен нулю, так как т0 = О.