Ю.С. Очан - Сборник задач по математическому анализу, страница 60

задачу 732). 736. Найдем срезку функции 1 (х) числом 1 ) 0: (О для х еО, [1(х)], = ~ й для х б Е, (1 ( й ( а), (для х сМ„, где ń— объединение смежных интервалов ранга й (очевидно, 2» ') тЕ» = ), и — целая часть числа 1, М„ — объединение 3» /' 2б[ всех смежных интервалов рангов больших чем п (мера множества М„равна Вычислим интеграл от срезки; ! л ) Д(хЦ!!(х = ~О !(х+) А дх+ Ь о А=! Е„ '~ "=х' '."+ 6) мл Ф=! Чтобы вычислить интеграл от 1(х), надо найти предел интеграла отсрезки при (-+ + оо. Заметим, чтоесли(-!- + со, то и а-!+ оо, Так как 1( — ) ((и+ 1) ( — ), а предел последнего выражения (,з) (,з) ' 12!л при и - + оо равен нулю, то 1 ( — ) — О при 1-!- + со. Следо(,з) вательно, ! ! " а 2» !! ~1(х)!(х = Йт ~ г1'(хЦ!!(х = 1пп ('хх,' х ~ + ! +ю и +ы В ~ ~2)л) й 2~ 1 (2)~ ! Сумма последнего ряда находится следующим образом: обозначим сумму более общего ряда ~~.", А .

д' ' через !р (д). Этот ряд являй=! ется степенным; следовательно, его можно почленно интегрировать иа любом отрезке, лежащем внутри интервала сходимости, в частности на отрезке !О, д3, где!д~ (!. Поэтому !р(!)) Ь(!) = ~~ ~!) Ь=! т. е. ч !г(4 М = —. 1 1 — д о Беря теперь производную от обеих частей равенства, получим: 1 т Ь ! 1 !р (д) = . Следовательно, э й (1 — ч)' (1 — ч)' Ф ! 2Ь2 В частности, Итак, окончательно: ! !у (2!»! 1 ~(х) !(х = ~ь'/г ° ( — ) = — ° 9 = 3, = з.см '~з) о »=! 737. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть ряд '~,й тЕ» расходится. Из определения множеств Е, следует, что ( ) (х)!(х ) й тЕ».

Е Поэтому для любого натурального числа й!' справедливы нера-венства ~ У(хЦ„!(х > ')' ~ ~ (х) дх » )~ й тЕ„. в »»и »! — ! Так как ~"„й . л! Š— + оо при 7»!- + оо,тона(хЦ,!(х-~ -1 оо »=о при й! — + со; следовательно, функция ) (х) не суммируема на множестве Е.

+ Достаточность. Пусть ряд ~~)' й тЕ» сходится. Тогда и + ряд ~ (й-1-1)тЕ» сходится, так как он может быть разбит на »=о + + два сходящихся ряда: ~ й тЕ» и ~~' тЕ». Отсюда, очевидно, »»а »=о следует, что функция д(х) = й -(- 1 при х с Е»(/г = О, 1, 2, ...) + суммируема на Е и ее интеграл равен ~(й-(-1)тЕ». Тогда из »=о неравенств 0(~(х) (д(х) при хсЕ вытекает, по свойству 5) интеграла Лебега от неограниченных функций (с. 85), что и ~(х) суммируема на Е. 738. Используя обозначения предыдущей задачи, легко убедиться в том, что для любого натурального числа й имеет место равенство Е» Е»()Е»-~-»()Е»-~-ъ()...

! откуда (так как Е,. П Е = Я при ! ~ 1) тЕ»= тЕ» -(- тЕ .~! -(- и!Е»ч.» -(- .,; 263 полагая здесь й = 1, 2, 3, ..., имеем: тЕ, = тЕ, + тЕЙ+ тЕ, + ... + тЕ„+ ..., тЕ, = тЕ, + тЕЙ+ ... + тЕ„+ ..., тЕЙ = тЕ,+ ...+тЕ„+ ..., Суммируя почленно эти равенства от первого до Ф-го, где У— какое-нибудь натуральное число, получим: ~' тЕ„= тЕ, -1- 2тЕ, -1-3аЕЙ-1- ... +У ° тЕм+ Й=! -1- )ч те„+, + !м' тем+ + ... = = '«~ й ° тЕЙ -1- ~' Л! ° тЕ„. Если ряд '~~~~ А аЕ„ сходится, то ~~)' !»! тЕ, ( ~)" и тЕЙ и Й=! Й=М+1 Й=М+1 мы получаем: М М '~' тЕ»(~А ° тЕ»+ т» й ° тЕ = ~й . тЕЙ, Й=! Й=! Й=М+1 Й=! т. е.

ряд ~ тЕ„сходится (как ряд с неотрицательными членами, Й=! частичные суммы которого ограничены постоянным числом). Обратна, если сходится ряд ~я~ тЕ„то »=1 М и М ~' lг. тЕ = ~~~ тń— ~ч', У тЕ ( "» тЕЙ(~ тЕ„, »=1 »=1 Й=М+! »=1 »=1 а значит, сходится и ряд ~~ й тЕ„. »=! Итак, сходимость ряда ~ тЕ, равносильна сходимости ряда Й=! ~ й тЕ». Но тогдаиз результатов предыдущей задачи вытекает, »=1 что для суммируемости неотрицательной функции Г' 1х) необходимо и достаточно, чтобы ряд ~ тЕ, сходился. Й 739. Пусть 1" (х) — о г р а ни ч е н н а я функция, причем 264 интеграла Лебега от неограниченных функций (с, 85), была бы 1 ь 1 11 ь1~ суммируема и функция — соз' — потому что ~ — соз' — ~ ( ~1к к! ~1 !! 2 ь 1 1 ( ~ — соз — ~, А так как соз — = 2созь — — 1 и, значит, 1х к~ к к ! к ! 1 2 = 2 — созк — — — сов —, то отсюда вытекала бы суммируемость к к к функции — на 10,11, что неверно (см. задачу 732).

! х ! 2 Полученное противоречие показывает, что функция — соз— ! к несуммируема на )0,1!. Но тогда и любая функция вида — соз— к к также несуммируема на „"О, 1!". 741. Пусть Х . (х), Хз (х), ..., Хв (х) — характеристические функции множеств Е„Е„..., Е„; рассмотрим интеграл 7 от суммы этих функций: ь Х = ) (Хв (х)+ Ха (х) + ... +Хи (х))ах а = ) Ха (х) ь(х + ... + ~ Ка (х) ь(х = тЕ, + ... +. тЕ„.

(1) л а Заметим теперь, что Х . (х) + Хн (х) + ... + Х . (х) ) д в любой и точке х ч(а, Ь) (это следует из того, что любая точка х ч(а, Ь] принадлежит по меньшей мере д из заданных множеств Е,; поэто- мУ по меньшей меРе д слагаемых сУммы Хв (х) + Хз (х)+ ... + + Ха (х) в точке х равны !). Поэтому и ь 7 >) Чь(х =д(Ь вЂ” а). (2) а Сравнивая (1) и (2), получаем: тЕ, + тЕ, + ...

+ тЕл ь д (Ь вЂ” а). (3) Если бы для всех ! было тЕ, < ~1, то мы бы имели ч', тЕ, < л г=! < Ч (Ь вЂ” а), что противоречит неравенству (3). Итак, хотя бы для одного из Е, имеет место тЕ > Ч(ь — л) л 742. Обозначим через Р! множествотехточекхиз Е, где! — 1 ( < ! !'(х)! <1(!' = 1, 2, ...). Тогда Е = Р, () Рь и....

Ясно, что фУнкциа 7 (х) сУммиРУема на множествах Гг Возьмвм какой-ни. будь ряд Ха,. с положительными членами и зададим функцию ~р (х) иа Е следующим образом'. при хсг"„если ~ !7" (7)(г(Г) О, Р! !р(х) = 1 при хСг"„если ~)~(7))6(( =О (! = 1, 2, ...). Тогда ч7 (х) — измеримая функция, принимающая положительные значения при всех х 8 Е, и ) !7 (х)~р(х)1г(х = ~' ) 17 (х) ~р(х)) дх(~ч'„а! < -1- лл; и 7=! ! 7=1 следовательно, функция !7 (х) ф (х)) суммируема на Е. Но тогда и функция ! (х) !р (х) суммируема на Е в силу свойства 4) интеграла Лебега от неограниченных функций (с. 85). 743. П р и и е р.

Пусть ~р (х) = — на Е =)О, 1( и ~„(х) ! = ~~р (хИл. Последовательность (7„(х)) сходится всюду на Е = ! = )О, 1!" к несуммируемой функции Ч7(х) = —. х 744. П р и м е р. Пусть Е = (О, Ц и низ~О,— 1, 0 на ~ —,1~. 7, (х) = 11п7 ) ! (х) 6(х = 1 ~ О, л-+ !а 0 745. П р и м е р. Пусть Е = (О, Ц и 0 в остальных точках отрезка (О,Ц. Тогда йю !'„(х) = 0 всюду на (0,1] и л + 1ип ) 7'„(х)дх = 1пп!п — = О. л+1 л + л 7а!! Однако не существует суммнруемой на [О, Ц функции 6 (х), которая превосходила бы все функции 7„(х) почти всюду на (О, 1).

Действительно, любая функция 0 (х), удовлетворяющая неравенству 0(х) ~ )!7„(х)(для всех и и почти всех х, будет удовлетворять 267 Тогда 1ю7п 7„(х) = 0 для всея х с )О, Ц. Однако предел интегралов л + отличен от нуля: н еравенству 6 (х)> — почти всюду на [О, Ц; а такая функция не сум- 1 к мируема на [О, Ц, так как — не суммируема (см. свойство 5 ин! теграла Лебега от неограниченных функций, с. 85).

746. Пример. Для и =2»+с', где й =0,1,2, ..., О< < с < 2», положим с+! й при — <х < —, су„(х) = 2» 2» 0 в остальных точках отрезка [0,1) (т е Чс„(х) =й с„(х), где 1„(х) — функции, построенные в ре- шении задачи 699). Так же, как в задаче 699, убеждаемся, что последовательность функций (с!с„(х)) сходится по мере на Е = [О, Ц к функции, тож! дественно равной нулю (так как тЕ (ср„> о) < — при любом о > 0), но не сходится к ней в обычном смысле ни в одной точке этого отрезка. Легко видеть, что » ср„(х) с(х = — „.

!а. О Так как из и-+ + ао следует А -с-+ со, то последовательность этих интегралов сходится к нулю при и — + со. Однако не суще- ствует суммируемой функции (и вообще конечиозначной функции) 6 (х) такой, что !1„(х)) < 6 (х) для всех и почти всюду на [О, Ц. 747. Пусть сначала функция ! (х) н е о т р и ц а т е л ь н а на [а, (с). Надо доказать, что ь ь 1ип ~ !' (х) с1х = (Е) ~ г (х) с(х, (1) с а+о, а т. е. что разность ь ь (ь) 1 ! (х) с(х — ) ! (х) с(х а может быть сделана сколь угодно малой по модулю при 1, достаточно близком к а.

Пусть а > 0 — произвольное положительное ь ь число, а су — такое число, что (Е) ) ! (х) с(х — (Е) ) [) (хИс(х< —. а а ьс 2 Преобразуем разность (2) следующим образом: ь ь ~ (Ц 1 !". (х) с(х — (Е) ~ ~ (х) с(х ~ = ~ (Е) ) !'(х) с(х ~ = а а с = ~ (ь) ) (с'(,к) — [с (хЦт) с(х + (Е) ) [1 (х 1)с с(х ~; (3) под знаком каждого из интегралов в последней части равенства стоит неотрицательная функция; поэтому здесь знаки модуля могут быть отброшены. Оценим теперь каждый интеграл в отдельности: (~)) (((х) — У(хЦ„)йх <(й) 1 (г(х) — У(хЦ )о(х = ь ь = (Е) ) ) (х) о(х — (Е) ) Ц (хЦя г(х < —; а О ! (Е) ) [)(хЦ ь(х(М(г — а), ь е е Но М(ь' — а) < — прн О < г — а< —.

Итак для всех г, удовле- 2 2_#_ е творяющих неравенству О < ( — а < —, имеем, согласно равен- 2ГО ству (3): ь ь ) (Е,) ) ) (х) дх — ) Г' (х) ох ( < е, откуда следует, что ь ь 11ш ) Г (х) бх = (Е) ) Г(х) г(х. ь о Если теперь суммируемая функция Г (х) принимает на [а, Ь1 значения р а з н ы х з н а к о в и непрерывна всюду на 1а, Ь1, то мы представляем ее в виде г (х) = г+ (х) — г (х), где ~.ь(х) = — ()Дх)~+Г(х)), Г (х) = — (1Г(х)) — ~(х)).