Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа, страница 7

Так)ю, что р(хл, х )-РО при и, л>-эоо. В каждом классе хл возьмем некоторую последовательность ( х(л'. х(л'..... х(л', ...). ) ' 2''''' А $ а1 пОполнение метРических пРОстРАнстп 37 Из (3), (4) и (б) следует. что при п, лг)~ив р(гхоч. х~'"11 < е, «г«г т.

е. что послеловательность (х1««') сходится в себе. Обозначим класс, солержаший последовательность (хоп), «"а) через х. Покажем, что х„->х. Имеем. очевидно, р(х„, х) =11шр1'х'"', х~«') (!1шр1'х'"'. х1«"')+ +1йпр(х(„", хо«1) < 1 11шр(х1«">, х1«1). (6) Так как последовательность (х'"1~ сходится в себе, то для заданного е ) б найлется па такое, что Х1Ю~ (— « / р ( еш) при а, р )~ле. Отсюда 11 ш р (х1«1, Р «« оч е (7) при и ) ие. При этом без ограничения общности можно пред- 1 е полагать, что — < —.

Из (6) и (7) следует. что при п)~па ао 2' р(х„. х) ( е, (х, х, ..., х, ...) с х, (у, у, ..., у .. ° ] с у то, очевидно, р(х, у) =р(х, у), т. е, что последовательность (х„) сходится к элементу х и полнота пространства Х доказана. Введем в рассмотрение стационарные последовательности, т. е. последовательности вида (х, х, ..., х, ...). которые.

очевидно, сходятся в себе и, следовательно. относятся каждая к некоторому классу — элементу из Х. Очевидно, что одному и тому же классу принадлежит лишь одна стационарная последовательность. Если теперь [гл. 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Покажем теперь, что Хе изометрично некоторому подмножеству Х' пространства Х, всюду плотному в Х. Отнесем к Х' все классы х, среди последовательностей которых имеется стационарная последовательность )х, х, ..., х, ...).

Между классами х Е Х' и элементами х, из которых составляется стационарная последовательность, входящая в х, имеется взаимно однозначное соответствие, причем если )х]Ех и 1у) Еу, то р(х, у)=р(х, у). Поэтому установленное взаимно однозначное соответствие между Хз и Х' есть пзометрия. Легко видеть, что Х' всюду плотно в Х, т. е. что для любого числа е > 0 и любого элемента х ~ Х найдется элемент х,~Х' такой, что ртх, х,)(е. В самом деле, пусть х есть класс, содержащий сходящуюся в себе последовательность [хп ха, ..., х„, ...).

Возьмем такое п, чтобы р(х„, хм) ( е для и.Р и. Построим стационарную последовательность (х„, х„, ..., х„, .. ) и обозначим через х, класс, содержащий эту последовательность. Очевидно, х, ~ Х'. Далее, Р(х, Хе)=ВШР(хм, Хи) (Е, и требуемое доказано. Покажем, что пополнение пространства Хо определяется однозначно с точностью до изометрии, т. е. что существует лишь одно, с точностью до изометрии, полное пространство Х, которое содержит всюду плотное подмножество, изометричное Хе. В самом деле, пусть г — другое полное пространство, в котором Хо лежит всюду плотно. Тогда каждая точка у ~ У есть предел некоторой последовательности )хп хм ..., х„, ...1 «Хе.

Так как эта последовательность сходится в себе, то она определяет некоторый элемент х ~ Х. Этот элемент х ставим в соответствие элементу у. Пусть, обратно, дан элемент ~; Е Х и ЯР Ем ..., Е„ ...) — некоторая фундаментальная последовательность из класса $. Так как эта фундаментальная последовательность лежит в полном пространстве )', то она определяет некоторый элемент т~ ~ 'г'.

Этот элемент ставим в соответствие элементу Е. Таким обра- эм ПОПОЛНЕНИЯ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 39 зом, мы получаем соответствие между элементами пространств Х и )с, причем это соответствие, очевидно, взаимно однозначно. Так как, кроме того, р (х. Э) =1! гп р (х„, $„) = р (у, Ч) *), л то соответствие нзометрично, и требуемое доиазано. Примеры 1. Возьмем иростраиство 1, состоящее из всевозлсожных упорядоченных систем [ал, ет, ..., Еа, О, О, О, ...[, где Ел — любые вещественные числа, «1 — любое натуральное число. Вели . =РР ~, ", ~,, О," [, «=[Он Ч, " Е ° О" ] и йс',ь. Аь то полагаем / а~ ар 1р Р(х, У)=~~[ел — Чс[Р-[- Х [ЧсЦ ' 1=1 С=А,~-1 1 — подпространство 1 и притом неполное, так каи, например р р последовательность х, (Ц, х»=~1,— ~, ..., х»=~1, —, ..., — ~, ...

сходится в себе: 1 л-1 р(х», х»с) = у — -+О при т, п-+со, сн( и, 21р) с= »с но в пространстве 1р не имеет предела. Обозначим пополнение пространства 1 через Х. Так как, с друр гой стороны, очевидно, что 1 лежит всюду плотно в полном пространстве 1р, то Х изометрично 1р. Таким образом пополнение пространства 1 приводит к пространству, изометричному 1р.

2. Пусть С» [О, Ц вЂ” пространство многочленов, определенных на отрезке [О, Ц. Пусть в атом пространстве введена чебышевская метрика р (р, я) = шах ~ р (1) — р (1) [. с ") Легко проверить, что если в метрическом пространстве х„ -+х и у„-+ у, то и р (хсл у„) -+ р (х, у). МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ.

! Пространство С» [О, Ц, очевидно, не полно. Так как С, [О, Ц лежит всюду плотно в полном пространстве С [О, Ц, то пополнение пространства С»[0, Ц приводит к пространству, изометричному С [О, Ц. 3. Пусть Е [О, Ц вЂ” совокупность всех непрерывных функций, Р определенных на отрезке [О, Ц, с метрикой 1 1 Р (х, у) = ] ]- (!) — у (Г) ]Р йг то й [О, Ц вЂ” неполное пространство, так как последовательность не- Р прерывиых функций, скодящихся в среднем со степенью р к разрывной функции, есть последовательность, фундаментальная в Е [О, Ц, но не имеющая в этом пространстве предела.

Пополняя Е'[О, Ц, мы получим пространство, изометричное бр[0, Ц. ф В. Теоремы о полных пространствах Имеет место следующая теорема, являющаяся аналогом леммы Кантора о стягивающейся системе отрезков: Теорема 1. ]Уусть дана в полном метрическом пространстве Х последовательность замкнутых шаров, вложенных друг в друга (т. е.

таких, что каждый последующий шар содержится внутри предыдущего), радиусы которых стремятся к нулю. Тогда существует одна и только одна точка, принадлежащая всем этим шарам. Пусть рассматриваемые шары будут 3(а[, Е,), 8(аг, Е,), ..., 8(аю Е„), ... По условию теоремы с[ ~ сг г -з с» -1 (Я„=о'(а„. е„)). Рассмотрим последовательность центров этих шаров ан а,,...,а„,...

Так как 5„+ 1= 8„, то а„+ ~8(аю е„). ПоэтомУ р(а„+, а») х. Е». Следовательно, р(а„+л' " ) ь 0 ай ТЕОРЕМЫ О ПОЛНЪ|Х ПРОСТРАНСТВАХ а1 прн п-«оо, т. е. последовательность центров шаров сходится в себе. Так как пространство Х полное, то эта последовательность сходится к некоторому пределу а ~ Х. Возьмем любой шар 8» (к — фиксиРованное число). Тогда аь, аь, Р .... а», „, ...

принадлежит этому шару. В силу замкнутости шаров 3» предел а последовательности а„, а», „ ..., а„, „, ... также принадлежит о»; таким образом, а=!Ппа„ л принадлежит всем шарам. Допустим, что существует точка Ь, принадлежащая всем шарам и отличная от точки а, так что р(а, Ь)=Ь > О. Так как точки а и ЬЕУю п=!. 2, ..., то мы должны иметь Ь=р(а, Ь) 4р(а, а„)+р(а,, Ь) <2е„, что, однако, невозможно.

так как е„— «О прн и — «оо. 3 а м е ч а н и е. Можно несколько обобщить доказанную теорему. Назовем диаметром ограниченного множества Р метрического пространства число д(Г)= знр р(х, у). л,вае Теорема 1'. Пусть дана в полном метрическом пространстве Х последовательность замкнутых множеств, вложенных друг в друга, диаметры которых стремятся к нулю. Тогда существует одна и только одна точка. принадлежащая всем этим множествам.

Доказательство, по существу. то же, что и для теоремы 1. Как известно, свойство числовой прямой, устанавливаемое леммой Кантора, можно принять за определение полноты или непрерывности множества вещественных чисел или числовой прямой. Аналогично теорема о вложенных шарах характеризует пплноту метрического пространства. Теорема 2.

Если в метрическом пространстве Х любая последовательность вложенных друг в друга 1гл. 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА аамкнутых шаров, диаметры которых стремятся к нулю, имеет нелустое пересечение, то нростринстео Х полное. Пусть дана фундаментальная последовательность [х„[. Выберем и» таким образом, чтобы 1 Р(хл»~-р х» ) < 1 для любого р > О. Пусть 5» — замкнутый шар радиуса —, с центром в точке х„. Имеем 5~„, щ У». В самом деле, "»' если х ~ 8»+Р то р(х, х„) < р(х, х„)+р(х„, х„) < 1 1 1 < — + — = 2» 2 2» т. е. хЕУ». Радиусы шаров 3» стремятся к нулю. Следовательно, по предположению существует точка хе, принадлежащая всем шарам о».

Покажем. что точка хе является пределом последовательности [х„[. Подпоследовательность [х» ) сходится к хе, так как х„„, хе~5» н, следовательно, 1 р(х„., хз) < — „, -РО. Но тогда и вся последовательность [х»[ сходится к х, потому что р(х», хе) <р(хю х„)+р(х„, хе), и оба слагаемых можно сделать сколь угодно малыми, если выбрать и. и» достаточно большими. Теорема доказана. Множество М называется множеством 1-й категории, если оно может быть представлено в виде суммы не более чем счетного числа нигде не плотных множеств. Множество, не являющееся множеством 1-й категории, называется мноекеством 2-й категории.

Например, множество рациональных точек прямой, очевидно, есть множество 1-й категории; множество всех иррациональных точек — множество 2-й категории, что легко вытекает из следующей теоремы. ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИИ Теорема 3. Полное пространство есть. множество 2-а категории. Предположим противное и допустим, что полное про- СО странство Х = Ц М„, где М„, и = 1. 2, ..., нигде не п=1 плотны. Возьмем шар 5 (а, 1) с центром в произвольной точке а и радиусом, равным единице. Так как М, нигде не плотно, то внутри шара 5(а, 1) найдется шар 5(ап гг) 1 радиуса г, —, не содержащий точек множества Ми Так как 2' множество Мг нигде не плотно, то внутри шара 5(а1, г,) 1 найдется шар 5(аг, гг) радиуса гг с. —... не содержащий точек множества Мг, и т.

д. Получим последовательность замкнутых шаров 5(аи г,), 5(а,, г,), ..., 5(а„, г„), ..., каждый из которых вложен в предыдущий и радиусы которых стремятся к нулю. При этом шар 5(ат г„) не содержит точек множества МР Мг, ..., М„. По теореме 1 существует точка аецХ, принадлежащая всем шарам. С другой стороны, эта точка аз не принадлежит ни одному из множеств М„; поэтому а ЕХ=ЦМт Мы получили противоречие, которое и доказывает теорему.