Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа, страница 11

Таким образом, [ совокупность чисто мнимых элементов у совпадает с сово- купностью элементов вида [х, где х — вещественный элемент. Всякий элемент х~Е представляется однозначно в виде х= и+ [о, где и и о — вещественные элементы. ч) Если в Е определено понятие сходимостн последовательности элементов, то вводится дополнительное требование: 4) из х„ -ь х следует хе -+х. ЛИНЕИНЫЕ ПРОСТРАНСТВА э н Х+Х Х Х В самом деле, положим и = —,, о= —,. 2 Тогда х = и+ Со, причем и = 2 (х + х) = 2 (х + х) = — (х + х) = и ! = ! — = 1 2 — ! — 1 — = ! о = — —. (х — х) = — — (х — х) = — (х — х) = о. 2С 21 2С т.

е, и и о — вещественные элементы. Представление элемента х~Е в виде х=и+Со однозначно, т. е. если х = и+ Со = С + Са, (3) то и=1, о=а В самом деле, из (3) следует, что и — 1=1(а — о). где и, О. 1, г — вещественные элементы. Далее и — 1=и — С=и — 1, С (г — и) = С (э — о) = — С (г — о). Поэтому и — С = — С(э — о), т. е.

С(з — о)= 1(8 — о), и, значит, з — О=О, а=о. Отсюда следует, что и — С=О и и=С. Тем самым мы доказали, что пространство Е есть прямая сумма двух вещественных линейных пространств. Поэтому во многих задачах исследование комплексных пространств сводится к рассмотрению вещественных пространэтв. Заметим, что л-мерное комплексное пространство есть 2л-мерное вещественное пространство. В дальнейшем, если говорится о линейных пространствах оез специальных оговорок, то имеются в виду вещественные линейные пространства. линеиные нОРмиРОВАнные пРОстРАнстВА 1гл. и $2.

Линейные нормированные пространства Определения. Если линейное пространство является в то же время метрическим пространством, то оно называется линейным метрическим пространством, Важным классом линейных метрических пространств являются про- странства типа В (Банаха). Множество Е называется линейным нормированным про- странством, если: 1. Š— линейное пространство с умножением на веще- ственные (комплексные) числа.

2. Каждому элементу х линейного пространства Е ста- вится в соответствие вещественное число, которое назы- вается нормой этого элемента и обозначается ()х~), причем предполагается, что норма элемента удовлетворяет следую- щим условиям (аксиомам нормы): 1) )~х)()~0, причем )(х))=0, лишь если х= О, 2) ~(х+уа~()(ха+яуя, 3) (~Лх а = ~ Л 1з х ч.

В линейном нормированном пространстве можно ввести метрику посредством равенства р(х. у) =((х — у(!. Легко проверить, что введенное расстояние удовлетворяет всем аксиомам метрики. После введения метрики определяется сходимость последовательности элементов (х„~ к х, а именно х =1нп х„ или хя-«х, если ))х„— х((-«О при и — «со. Определенная таким образом сходимость в линейном нормированном пространстве называется сходимостью по норме. Если линейное нормированное пространство является полным в смысле сходимости по норме, то оно называется прост рапством Банаха, или пространством типа В.

П р н и е р ы. 1. и-мерное векторное пространство может быть сделано пространством типа В. В самом деле, определяя, как обычно, сумму элементов н произведение элемента на число и норму с помощью равенства 1 л 1х1= ~~ Вг 1~! 4 21 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 69 получим, что Е„ есть пространство типа В, причем метрика в этом пространстве совпадает с ранее введенной в Е„ метрикой. 2.

С [О, Ц есть пространство типа В. Сложение функций и умножение функции на вещественное число определяем обычным образом. Далее, полагаем [[х[1 !пах [х(!) П Метрика полученного пространства совпадает с метрикой, ранее введенной в С [О, Ц. 3. 1р есть пространство типа В.

В самом деле, определив сложение влементов и умножение элемента на вещественное число, как указано выше (стр. 58), и полагая ! [[х[[ ~~ [$! [и (г=! получим пространство типа В, метрика которого совпадает с прежней метрикой. 4. Ар[0, Ц есть пространство типа В. Здесь для х(Г) Сэр[0, Ц положим ! / ! 1[х[[= ~ ~ [х(Г) [и г(Г) о Метрика в полученном пространстве совпадает с прежней метрикой В АР[0, Ц. 5. т — йространство типа В. Действительно, полагая длях = [с!), [[х~! лир[[![, получим пространство типа В, метрика в котором совпадает с метрикой в т, введенной ранее. б. М [О, Ц вЂ” пространство типа В.

Для ограниченной измеримой на [О, Ц функции х (т) полагаем [[х[[ = тга! шах [х (Г) [. .7. Рассмотрим пространство функций х(Г), определенных на [О, Ц, непрерывнык на этом отрезке и имеющих на нем непрерывные производные до Л-го порядка включительно. Введем в пространстве таких функций норму, полагая [[х[[ = шал [шах [х(г)[, шал [х'(!)[, ..., шах [А!~!(т)[). Получим пространство типа В, которое обозначается С" [О, Ц.

Это пространство широко используется в варнационном исчислении. Отметим, что из соотношений [[(х„+ у„) — (х + у) [[ ([[х„— х [[+ [[у„— )2[[. [[Х„хл — Хх [[ ( [),[ [[х„— х [[ + [)ьэ — Х[ [[х [[ уо линейные ноРмиРСЕАнные ЙРостРАнствА (Гл. и следует, что при х„— ьх, у„— ьу, А„-ьХ имеем х„+у„— ьх+у. Х„х„-ь).х. Палее, 'йхй = 'йу+(х — у)й < 'йуй+ й'х — уй, 'йхй' — йуй < 'й'х — уй.

или Меняя местами х и у, получим 'й'уй — 'йх'й < 'йх — уй и, следовательно, 1'йхй — 'й'у(~ ! ( й'х — у~!. Отсюда следует, что если х„— > х, то (~х„'й -ь 'й'хй', и, в частности, что )'йх„)() есть ограниченная числовая последовательность. Так как линейное нормированное пространство есть метрическое пространство, то для такого пространства имеют смысл все понятия, введенные в метрических пространствах (щар.

ограниченное множество, сепарабельность и т. д.), а также имеют место все теоремы. доказанные для таких пространств. Для пространств типа В будет справедливым все, что было ранее установлено для полных метрических пространств. Множество элементов линейного пространства Е, имеющих вид у = Гх, х Е Е, х Ф О, — оо < ~ < + оо называется прямой, определяемой данным элементом х. а множество элементов вида у=(1 — ~)х,+Схз, хп х ~Е, О <~ <1, называется отрезком, соединяющим точки х, и хз.

Множество К пространства Е называется выпуклым, если отрезок, соединяющий две любые точки множества К, целиком содержится в этои множестве. Пусть Л) — некоторое множество точек линейного пространства Е. Множество элементов вида х+а, где хЕ М и а — фиксированный элемент пространства Е, называется аз! линниныв ноимииовлнныв пиостглнствл 7! сдвигом множества М и обозначается М+ а. Нетрудно проверить, что если К вЂ” выпуклое множество, то его сдвиг— также выпуклое множество. Легко видеть, что в линейном нормированном пространстве шар (аамкнутый шар) есть выпуклое множество. В самом деле, пусть хн ха~8(а, г), т.

е. (!х,— а!! <г, !!х — а)~ (г. Возьмем любой элемент вида у=(1 — Г)х,+гх,, О<7< 1, имеем !!у — а,'! = !!(1 — 7) х, + !ха — а !! = = (!( ! — 7) х, + !хт — (1 — 7) а — га ~~ ~< ( ~!(! — 7)(х,— а)/(+ /!г(х,— а)!! = =(1 — г))!х,— а~(+г!!хз — а!! < ((1 — Ф)г+ г' = г. Итак, !!у — а!! < г.

Следовательно, у~5(а, г). Отметим два очевидных свойства шара в банаховом пространстве: для любой точки х Ф О шар с центром в начале координат и радиусом г ) ))х(! содержит эту точку, а шар с центром в начале координат и радиусом г'( ((х)~ не содержит данной точки. Так как линейное нормированное пространство Е есть частный случай линейного пространства, то для Е имеют смысл все понятия, введенные в линейных пространствах. как, например, линейная аавнсимость и независимость элементов, линейное многообразие, разложение Е в прямую сумму и т.

д. Пусть Š— линейное многообразие линейного нормированного пространства Е. Если Ь является, кроме того, замкнутым множеством, то Е называют подпространством. Если А — конечномерное линейное многообразие линейного нормированного пространства, то, как мы увидим ниже, Для бесконечномерных линейных многообразий это равенство может не иметь места. 72 линаиныв ИОРМНРОВАнныв пРОстРАнстВА !Гл. н Пусть, например, Е = С [О, ! [ и Š— линейное многообразие, порождаемое элементами х,=1, х, =Е ..., х„=г", ... Тогда Š— множество всех многочленов, а Х=С [О, 1[+ 1.. Пусть даны два линейных нормированных пространства Е! и Е. Мы будем в дальнейшем называть эти пространства изоморфныльи, если существует взаимно однозначное и взаимно непрерывное изоморфное отображение Е, на Ег.

Имеет место следующая важная теорема: Теорема. Все конечно.верные линейные нормированные пространства данного числа измерений и изоморфны евклидову и-мерному пространству Е„и, следовательно, изоморфны друг другу. Пусть Е есть и-мерное линейное нормированное пространство и хп хг, ..., х„ — базис этого пространства. Тогда любой элемент х ~ Е однозначно представим в виде « = С!«!+ ьгхг+ ... + $пхп.

Поставим элементу х ЕЕ в соответствие элемент х й! $г... 1п[ЕЕ. Очевидно, что таким образом установленное соответствие между элементами х и х является взаимно однозначным. Кроме того. Вто соответствие есть изоморфизм линейных пространств Е и Е„. Покажеи. что оно взаимно непрерывно. Для любого х ЕЕ имеем и и [[х!! = 2~ $ьхь .ъ Х [Ьь[![хь![ ( ! ! <(хь гг) (хь!) =и !.

ьо В частности, (2) [[х — у )[ ( р )[х — у ~[~, где [) не зависит от х и у. Установим теперь неравенство противоположного знака. % 21 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМНРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 73 На поверхности 8 единичного шара ~ Я=1 простран- 1 1 ства Е„рассмотрим функцию у (х) У(еп $2' ' ' ' ьл) !!х!! !!ь1х1+ь2х2+ '''+ ьлхл!!' Так как на 8 все С1 не могут одновременно обращаться в нуль, то в силу линейной независимости хп хг...., х„ инеем Уа!, $2, ....

1„))О. Неравенство !~Я1, Е„..., ~„) — У'(2)1, 112, .... 21„)! = ! !!х!! — !!У!! ! ( (!!х — у!1 ~(р!!х — у,'! показывает, что 7 Я1, $2...., $,) — непрерывная функция. По теореме Вейерштрасса зта функция достигает на Я своего минимума а. Легко видеть, что а,Р О. Следовательно. для х~8 у'(х) = !! х 1! > а, откуда для любого х ~ Е„ находим 7'(х)= !!х!! = !!х!! ) а!!х!!.

(3) Из (1) и (3) следует взаимная непрерывность отображения Е на Е„. Из гомеоморфизма Е и Е„следует, что в конечномерном банаховом пространстве скодимость по норме сводится к по- координатной скодимости и потому такое пространство всегда полное. Для подпространства линейного нормированного пространства инеет место следующее важное предложение, установленное ф. Риссом: Лемма.

Пусть Š— подпростринство линейного норльировинного простринства Е, не совпадаюи(ее с Е. уогда для любого заданного ЕЛО найдется в Е тиной 74 линейные нояиивовлнныв поостолнствл 1гл. и влехент у е нормой, равной единице, что ))х — у)! > 1 — е для всех х Е 7.. В самом деле, пусть уе — любой элемент из Е, не принадлежащий 7., и й=1п1 )~у — х)(.