Л.А. Люстерник, В.И. Соболев - Элементы функционального анализа, страница 6

Если в метрическом пространстве Х каждая сходящаяся в себе последовательность сходится к некоторому пределу, являющемуся элементом того же пространства. то пространство Х называется полным. Отметим, что замкнутое множество полного пространства есть само полное пространство. Установим полноту некоторых конкретных метрических пространств. Полнота пространства Е„.

Для случая Е„ — евклидова и-мерного пространства в полнота следует из критерия Коши существования предела последовательности точек этого пространства. Полнота пространства С[О, 1]. Пусть дана последовательность [х„(1)), где х„(1) ~ С [О, 1], и = 1, 2, ....

и пус:ь р(х„,х) О при и, т — ьсо. Это означает, что для последовательности [х„(Г)) выполняется условие Коши равномерной сходимости на [О. 1]. Пусть ха(Г) — предел последовательности [х„®]. Как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций эта функция также непрерывна на [О,!]. Таким образом, ха(1)~С[О, 1] и р(х„, хе)-+О. Следова-. тельно, пространство С[О, 1] полно. ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Полнота пространства пг.

Пусть 1х„) — последовательность элементов из и, сходящаяся в себе. Пусть х„= д1" 11. 1Ю1 Так как х„~т, то ~$~~"1!«(К„для 1=1, 2, ... Так как, далее, 1х„) сходится в себе, то для любого числа е ) 0 найдется номер пе(е) такой, что р(х,, х ) ( е при и, л) и (е), или, что то же. знр(~~~ю — $1~"'!(е при и, л)~не(е). Отсюда следует, что ~ $~П1 В1 1~ «е при и, й ~~л,(е) равномерно по 1. фиксируем 1. Тогда последовательность чисел 1В) ~, с) ~, ... 1) 2) ..., В), ...) в силу (!) есть последовательность, удовлетворяющая условию Коши существования предела, и, следовательно, сходится к некоторому числу $1.

Получаем, таким образом, последовательность чисел (я1 яз ..., ь„° ° ) ° Возьмем неравенство (1) и заставим л стремиться к бесконечности. Тогда в пределе получим неравенство ~ $1"~ — С11««е (2) для л)~ па(е) и для всех Ю. Отсюда $ 1 ~ «( ~ 1 1 1 ~ « ь 1 ~ + ~ еь 1 1 ~ ~ ~ ~ е + К причем неравенство имеет место для всех 8. Но это означает. что 1Ц вЂ” огРаниченнаЯ последовательность, т. е.

хе — — 1Ц Е гл. Из (2) получаем зцр~ цю — $1~ ~(е для и)~ аэ(е), т. е. р(х„. х) «(е для п)~ не(е). Так как е ) 0 произвольно. то отсюда следует, что х„-ьх при п-+СО. Полнота про- странства лг доказана. Полнота пространства с. Покажем, что пространство с, рассматриваемое как подмножество пространства и, вамкнуто в т.

Отсюда в силу замечания на стр. 21 будет следовать. полнота с, МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1 Пусть (х„), где хе= [с(1"), с(2"), ..., Е((л), ...), есть по- СЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ ЭЛЕМЕНТОВ ИЗ С И Хп -+ Х, ГдЕ ХО = =($<0) й(0), е(0', ...1. покажем, что [е(0') — сходящаяся 1' 2' (ь) последовательность. В самом деле, ~ $(0) еп(0) / ( ~ е(0) Цп) ) + ) Цл) еп(Р) ~ .+ ~ е(л) еь(0) ~, ( 2о (х, хо) + ~ ~(п) ~(л) Пусть задано произвольное число е ) О.

Выберем сперва и настолько большим, чтобы р(хп, хе) ( 4, и зафиксируем такое а. Так как (Цл)) — сходящаяся последовательность, найдетса номер ла такой, что при 1, / )~ лэ ~ еь(л) (п)~, Но тогда (ьь(О) 2(О) ~ ~ Е при [, у)~пе, т. е. (Е(10)~ — сходящаяся последовательность. Итак, хэ~ с и требуемое доказано.

Полнота пространства М 10, Ц. Пуста [х„] — последовательность элементов пространства М (О, 1), сходящаяся в себе. Тогда для любого е ) 0 при п, гл) ЕО(е) имеем [п1 ( эцр 1 хл(Г) — х„(Г)! ) ( е. Е, шелл=010[О, 11'~,Е Следовательно, найдется множество Е„Р п)ез Е = 0 такое, что ОЦР ~Хп(Г) — Х (Г)!(Е, т, П)~ПО(Е), (Е [О, и ', Ел т. е. почти всюду на (О, !] [х„(1) — х (Г)~(е при л, т) ЕО(е). Отсюда легко получаем (см. стр. 23), что последовательность [хл (Г)) ограниченных измеримых функций сходится равномерно почти всюду на (0,1). Поэтому существует ограниченная измеримая функция хе(т), являющаяся пределом почти всюду для этой последовательности. Но тогда легко видеть, что р(хп, хэ) — ь О и полнота пространства М (О, 1! доказана. Полнота пространства 1.

10, 1) и 1. В курсах теории функций вещественной переменной (см. (21)) доказывается, л 5! ПОПОЛНЕНИЕ МЕТРНЧЕСК»»Х ПРОСТРАНСТВ за что Ц[0, ! ! и 1т — полные пространства. Аналогичными мстолами может быть доказана полнота 1р[0, !! и 1р. Мы не будем проводить здесь этого доказательства и получим утвержление о полноте 1. [О, [[ и 1 как следствие одной общей теоремы функционального аналйза (см. Ни»ке, стр. !98). ф б.

Пополнение метрических пространств Известно, какую большую роль в математическом анализе играет свойство полноты числовой прямой. Только построение полной совокупности вещественных чисел позволило строго, в известных пределах, обосновать математический анализ. Большую роль играет свойство полноты метрических пространств и в функциональном анализе. Поэтому мы рассмотрим сейчас процесс пополнения произвольного неполного метрического пространства, аналогичный процессу пополнения множества рациональных чисел множеством всех иррациональных чисел. Предварительно. однако, введем одно понятие.

которое нам понадобится и в дальнейшем. Пусть даны два метрических пространства Х и У. Пусть расстояние между элементами х, и х, пространства Х будет рх(х,, ха), а расстояние между элементами у, и ут пространства У будет р» (ун уа). Если между элементами пространств Х и У можно установить взаимно однозначное соответствие и притом таким образом, чтобы расстояние между элементами одного пространства равнялось расстоянию между соответствующими элементами другого пространства, то пространства Х и У называются изомеи»ричнами.

Легко понять, что с точки зрения тех вопросов. которые связаны лишь с расстоянием между элементами, например с точки зрения вопросов сходимости, полноты и т. д., два изометричных пространства можно считать идентичными. Можно говорить не только об изометричности пространств Х и У, но и об изометричности множеств, расположенных в этих пространствах, и в вопросах, связанных лишь с метрикой, результат, полученный для некоторого множества метрического пространства, верен для всех изометричных ему множеств. Пусть дано метрическое пространство Хе. Предположим, что оно неполное; т.

е. что в этом пространстве имеется МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [гл. 3 последовательность, сходящаяся в себе. но не имеющая предела в Хз. Покажем, что в этом случае существует другое метрическое пространство Х вЂ” полное и такое, что в нем сушествует подмножество Х'. лежащее всюду плотно в Х и изометричное пространству Хз. Пространство Х называется пополнением пространства Хз.

Рассмотрим всевозможные последовательности (х.1 Ы (л.) "" составленные из элементов пространства Хз и сходящиеся в себе. Отнесем к одному классу любые две последовательности (х„) и (х„'~. сходящиеся в себе и такие, что р(х„, х„')-«О при л — «со. Зтн классы х примем за элементы нового пространства Х. Возьмем два элемента х и уСХ, В каждом из классов х и у возьмем по одной последовательности (х„1 и (у„).

Покажем, что существует предел 1ппр(х„. у„). В самом деле, имеем р(х„, у„) (р(х„, х )+р(х, у )+р(у, у„). Отсюда р(х„, у„) — р(х„. у„)~(р(х„, х )+р(у„. у ). (1) Меняя ролями значки гв и п. найдем р(х, у ) — р(х,, у„)~(р(х„, х )+р(у„, у ). (2) Иа (1) и (2) получаем ~р(х~, у ) — р(х„, ув)! <р(х„, х )+р(у„, у ).

Правая часть этого неравенства стремится к нулю при л, гн — «со. Поэтому числовая последовательность (р(х„, у„)) удовлетворяет условию Коши и, следовательно, существует предел 1ппр(х„, у„). л Введем теперь расстояние в Х по формуле .р(х, у)=!Нпр(х„, у„). вз! ПОПОЛНЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ Зб Покажем, что так определенное расстояние не зависит от выбора последовательностей (х„) и [у„) в соответствующих классах. Возьмем две другие последовательности (х„') и (у') в тех же классах х и у.

Тогда р(хл ул) ~Р(Хл х„)+Р(х„у„)+Р(у„уи) Отсюда !!юр(хл уи) ~4!!юр(хи у„') л и Аналогично получаем, что и, обратно, Вар(х„', у„') ~(1!щр(х„, у ), л л Следовательно, В щ р (хи, у ) = !пп р (х ', у '). Проверим выполнение аксиом метрики. 1. Так как р(хл, ул) )~ О, то и р(х, у) =1!вр(хл, ул))~ О. л Далее, равенство р(х, у)=1!гпр(хл, ул)=О и означает по условию, что последовательности хл и у, принадлежат одному классу. Так как (х„) — любая последовательность класса х, а (у„) — любая последовательность класса у, то х = у.

2. р(х, у) =р(у, х) очевидно. 3. Если (хи) ~х, (у„) П у, (яи) П л, то, очевидно, р(х. г)=1!щр(хл, гл) ( и ~(Вар(хл, у„)+!!щр(уи, л)= и л =р(х. У)+р(у, х). Докажем, что Л' — полное пространство. Возьмем последовательность (хн х, ..., хл, ...) элементов пРостРанства Х, МЕТРИЧЕСРИЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. 1 Так как эта последовательность сходится в себе, то можно выбрать такое (г„, что Р (Х(л). Х(ел') ( — ДЛЯ Р > (л. Рассмотрим теперь последовательность х(", хсо ..., х(л>...

1 и покажем, что она сходится в себе. Имеем р (х(л) х(т)1 ( р гх(л) х(л)т+ р (х(л) х(м)Т+ р гх( л) .(щ) (3) Пусть задано произвольное е > О. Так как р(х„х,„) — «О при и, гл — лОО, то найдется номер лв такой, что при л, >и > ле р(х„, х,„)=11)пр(х(л), х(л'>) ( —,—. Р Поэтому при и, т )~ ар и достаточно больших р будем иметь р (х(л) хвл)) ( Р' Р 2' (4) 1 л При этом мы можем считать л, таким, что — ( —. Фнксилл 4' ровав л и т, удовлетворяюшие условию п, >л)~ле, будем считать р настолько большим, что р > й„, и р > (г„. Тогда в силу выбора члсел й„и >1 р(х' >, х' >) ( — ( — р(х( ' х( >) — ( — (о) сходяшуюся в себе, т. е.