Zienkiewicz, Taylor - The Finite Element Method. v. 2. Solid Mechanics, страница 2

1п СЬаргег 2 нче ПевсНЬе чапоы рояПЫе тейо6в Гог во!ч(п8 поп-!гпеаг а18еЬгак ес!иабопв, ТЬгв 1в !оПоие6 1и СЬаргег 3 Ъу сопвгбегабоп оГ гпагепа1 поп-1шеаг ЬеЬач(опг ап6 йе Пече1ортепг оГ а 8епега! Гоппи1апоп Ггош мЫсЬ а ПпПе е1егиепг сошршабоп саи ргосее6. 'ч!ге гЬеп девсг)Ье гЬе во!ибоп оГр)аге ргоЫешв, сопвп(епп8 Пгв! гЬе ргоЫегп оГ гЫп р!агев (СЬаргег 4) ш нчЫсЬ оп!у ЬепоПп8 с1еГогшаг(опв аге 1пс!и6е6 апс1, весопс1, йе ргоЫеш !и вЫсЬ Ьой ЬепгПп8 ап6 вЬеапп8 6е(оппаг(опв аге ргевепг (СЬаргег 5). ТЬе ргоЫеш оГ вЬеП ЬеЬач)опг а66в !п-р!апе шешЬгапе ПеГопиа6опв ап6 спгче6 впгГасе тобеП)п8.

Неге и е вр!П гЬе ргоЫеш 1псо йгее верага!е рагпп ТЬе Пгвг, согпЫпев ятр1е Па! е1егпепгв нчЫсЬ )пс!и6е ЬепсИп8 ап6 шетЬгапе ЬеЬанюш го Гопи а Гасегеб арргохипагюп !о йе согнем вЬеП впгГасе (СЬар!ег 6). 1Чех! ие гпчо1че йе а6с66оп оГ вЬеаг)п8 ПеГогша6оп ап6 ые оГ сигче6 е!етепш Го во1че ахгвуппие!пс вЬеП ргоЫешв (СЬаргег 7). %е сопс!п6е йе ргевепга6оп оГ вЬеПв и!1Ь а Пепега! Гопп ияп8 сигче6 гворагашегис е1етеп! вЬарев и ЬкЬ 1пс!пде йе е(Гес!в оГ Ьепб)п8, вЬеаг!п8, апд гиетЬгапе ПеГогша6опв (СЬар!ег 8). Неге а чегу с1ове Ип!г чг(гЬ йе ГиП йгееяПшепяопа! апа1уяв оГ Чо!пте 1 илП Ье геаППу гесо8шгей !п СЬаргег 9 гче а66гевв а с!авв оГ ргоЫетв 1и вЬкЬ гЬе во!ибоп !и опе сооггИпа!е гИгесгюп гв ехргеввед ав а вепев, Гог ехашр1е а Еоипег вепев.

Неге, Гог Ипеаг шагепа1 ЬеЬач)ог, чегу е(Пс(епг во!обоих сап Ье асйече6 Гог шапу ргоЫегив. Вогие ехгепв(опв го поп-Ипеаг ЬеЬагбоиг аге а!во ргевеп!е6. !и йе 1авГ рагГ оГ йгв чо1пте чче а66гевв ГЬе 8епега1 ргоЫеш оГПшве Пе(огшабоп ав ч еП ав врес)аПхаПопв МпсЬ регппг 1аг8е гПвр!асешепгв Ьи! Ьаче япаП вгга(пв. 1п СЬаргег 10 гче ргевеп! а вшптагу Гог гЬе Пш!е ПеГогта6оп оГво)нЬ. Пав!с ге!абопв 1ог Пейи(п8 де(оппаг!оп аге ргевепгед ап6 пве6 го мтПе чапа!юпа1 Гогшв ге!аге6 го йе аиде(огше6 соп68пгабоп оГ йе Ьо6у ап6 а1во го йе ПеГогше6 соп68шагюп.

11 1в вЬогчи [Ьаг Ьу ге1абп8 гЬе Гогиш1абоп Го гЬе ПеГогше6 Ьоду а гевп!г !в оЫаш гчЫсЬ гв пеаг!у Ыеп6са! го гЬаг 1ог йе яиаП Пе(огшабоп ргоЫеиг нче сопв16еге6 ги Чо!шпе 1 ап6 жЫсЬ |че ехрап6 ирои Ы йе еаг1у сЬаргегв оГй(в чо1шпе. Еввеп6а) оП!Тегепсев апве оп!у 1п йе сопвбгп6че ег(иагюпв (вггевв-вгга)п !агчв) ап6 йе адгП6оп оГ а пегч яНГпевв сегш соиииоп1у саПес1 йе чеоигегггс ог 1пгг(аl ягевв вгПГпевв. Еог сопв6ги6че шо6еП)п8 чче вппипапге а!гегпабче Гоггив Гог е!авбс ап6 1пе!ав6с шасепа(в. 1п гЫв сЬаргег сопсасг ргоЫешв аге а1во 61всиввес1. !п СЬаргег 11 вче врес)аПге йе 8еогиегпс ЬеЬачюпг го йаг жЫсЬ гевп1гв 1п 1аг8е сПвр!асегпепгв Ьи! яиаП вггашв, ТЫв с1авв оГ ргоЫешв регпигв ые оГ аП йе соы6- ги6че ег!па!!опв оПвсыве6 Гог яиаП де(оппаиоп ргоЫешв апд сап а66гевв с1авяса! ргоЫегпв оГ 1пвгаЫИгу.

11 а1во регги(гв йе сопвггис6оп оГ поп-Ипеаг ехгепяопв го р1асе апд вЬеП ргоЫешв гИвсиввед 1и СЬаргегв 4 — 8 оГ гЫв чо1шие. 1и СЬарсег 12 нче еИвспвв врес1аИхаг(оп оГ йе Пшге ПеГогтабоп ргоЫет ю а66гевв вПиа6опв !и ~чЫсЬ а 1аг8е пшпЬег оГ япаП ЬосПев гпгегас! (ши11!рагг!с1е ог 8гаии1аг ЬогПев) ог !пгИчгбиа! раггв оГ йе ргоЫеш аге ггеаге6 ав г18!6 ЬогПев. 5шаИ Ие(огшаг)оп поп-!!пеаг во!Ы шесЬап!сь ргоЫешь 3 1.2 5гпаП деФоггпа11оп поп-11пеаг зо11Г1 гпесЬап1сз ргоЫепв 1.2.1 1п1год(!салоп апд по1абоп 1п гЬгь пепега! ьесеоп гче ьЬаИ Йьсиьь Ьош йе чапоив ег(иаг!опв мЫсЬ чче Ьаче г(ег!чег! Гог Ипеаг ргоЫешь !и Чо!ите 1 сап Ьесогпе поп-Ипеаг ипг(ег сегга(п с!гсишяапсеь. 1п раггки1аг йгв ю1! оссиг Гог ьггишига! ргоЫешв кЬеп поп-Ипеаг ьггеьв— вгга(п ге!апопьЫрь аге иьей Виг йе сЬаргег !и еььепсе гесаав Ьеге йе погаИоп апг! 1Ье шегЬог(о!оду вчЬ(сЬ вче вЬаИ аг(орг !ЬгоицЬоиг йа чо!ите.

ТЫь гереагв гпаяегь юЬ!сЬ ле Ьаче а1геас(у г(еа11 чг!1Ь !п ьоше г(егаИ. ТЬе геаг(ег ччИ1 посе Ьовч ягпр!у ГЬе ггапяеоп Ьегччееп Ипеаг апг) поп-Ипеаг ргоЫегпь оссигь. ТЬе ИеЫ ег(иаг!опв Гог ьоаг( шесЬапкь аге а!чеп Ьу ег(иИ!Ьг(иш (Ьа!апсе оГ гпошепгипг), вгга!и-Йьр!асешепг ге1апопь, сопьйипче ес!иапопь, Ьоипг(агу сопйИопь, апг( (п!г!а! сопйпопь.

1п йе ггеаггпепг а!чеп Ьеге и е илИ иве ггчо погаеопа) Гоппь. ТЬе Игвг гь а саггеь!ап гепьог (пйс!а! Гопп (е.д. ьее Аррепйх В, Чо!шпе 1) апг( йе весопг( гь а шагпх Гопп аь иьег1 ехгепяче!у (п Чо1ише !.' 1п депега!, чче ьЬаИ Ипд йаг Ьой аге ивера! го деьсг!Ье рагоси1аг раггв оГ Гогпш1агюпь. Ног ехашр!е, вчЬеп гче г(евсг(Ье !агре ьгга!и ргоЫешь гЬе г(ече!оршепг оГ гЬе во-сапег( 'аеошегг!с' ог '!пгаа! ьггеьь' ьг(йпевв гь гповг еая1у г(еьсг)Ьег( Ъу иапо ап (пгас!а! Гопп. Ноччечег, ш пшсЬ оГ йе геша!пг(ег, чче ьЬаИ Ипг( гЬаг Ь гв сопчешепг го иье йе шагг(х Гопп. 1п огг(ег со гпа!се яерь с1еаг ч е ьЬаИ Ьеге гечтв йе ециаг!опв Гог япаИ яга(п (п Ьой гЬе (пйаа1 апг! гЬе шагг(х Гоппь. ТЬе гесрпгегпепгь Гог ггапьГоппагюпь Ье!ччееп гЬе пчо ичИ а1во Ъе ааа!п (пйсасег(.

Рог йе япаИ яга!и арр!кагюпв апг! Ихег( саггеяап ьуьгешь гче депоге соогйпагеь аь х, у. - ог гп !пдех Гопп аь х,. х,, хь. Б!шааг!у, йе йьр!асегпепгь ичИ Ье г(епогег( аь и, гп и. ог ип иг, пи 'ч(гЬеге Ровь!Ые йе соогйпаГеь апг! гавР(асешепГь гчИ! Ье г!егго!ег( аь х, апг( и„геьреспче!у, юЬеге ГЬе гапоне оГ йе (пг(ех1 ив 1„2, 3 Гог йгее-Йшепяопа! аррИсаИопв (ог 1, 2 Гог гьчо-гашепь!опа! ргоЫешв). !п шагпх Гопп гче и пге йе соогйпагеь аь =Я апг( Йьр!асегпепгв аь ) (1.2) 1п 1Ье Ипа! сЬаргег вче Йьсиьв ехгепяопь го йе сошригег ргодгаш деьсг!Ьег( !п СЬарвег 20 оГ Чо!игпе 1 песеьвагу го ай(геьь 1Ье поп-Ипеаг пгасегга!, йе р!аге апг( ьЬеИ, апд 1Ье Ипае г(еГогшаг!оп ргоЫешь ргеьепгег( гп гЫь чо1шпе. Неге гЬе Йьсиьяоп гь Йгесгег( рг!шагау Го ГЬе шаппег !п ччЫсЬ поп-Ипеаг ргоЫегпь аге ьо1чей ЪЧе а!ьо Ъг!ейу Йьсиьь йе шаппег !п ччЫсЬ е!ешепгь аге г!ече(орег( го регппг апа1уяь оГ е(гЬег г(иаь(-ьгаг(с (по гпегпа е((есгь) ог ггапяепг арр!кагюпь.

4 Гаепега) ргоЫеша !п ьо1Ы шесЬап!сь апс( иоп-Ппеаг!Су 1.22 Феа(4 Еогп) Фог ец(1111Ьг1оп) — йпйе е!еп3еп1 йвсгебгабоп ТЬе ессшИЬг!шп есспас!опз (Ьа!апсе оГ Ппеаг п|ошепсшп) аге руеп |и !иг(ех Гопи аа оии + Ь, = Рйо ЬУ = 1, 2, 3 (1.3) чЬеге ои аге сошропепга оГ (СапсЬу) аггею, гг ыпа|а с)еиа!Су, Ь; аге Ьог)у Гогсе согпроиеисх ап|1 (') с)епосеа рагеа1 ййегеппасюп уу(сЬ геаресс со сппе. 1п |Ье аЬоуе, аиг) |и СЬе кесСие1, чге аМауа иае йе сопуепг!оп йаС гереагес) |псесеа |п а сепп аге хипипес) оуег йе гап8е оГ йе шг)ех.

1и а|ЫПюп, а рагеа1 с)епуас!уе чгссЬ гекресг Со йе сооггапа|е х, |а !псс!саге|) Ьу а сопипа, апс) а ьирегрохед с)ог г(епогеа рагеа1 сейегепс)ас!оп ч4|Ь геаресс со сппе. 8)пп1аг!у, шогпепс есСш1!Ьпцш (Ьа!апсе оГ ап8и(аг пюшепсшп) у!еЫк пупппесгу оГ ятей 8!уеп !пбес!аПу аа (1.4) гг„= гг„ Ес!пас!опх (1.3) апс) (1.4) Ьо!д ас аП ро!пса х, !и йе с)оша!и оГ йе ргоЫеш гг. Ясгеха Ьоипс)агу сопоППопь аге 8!уеп Ьу йе сгассюп сопсППои |,=гг|п =Г; (1.5) би,Рйгс)гг-|- [ беьо, г)гг — [ би,б,г1П вЂ” [ бигггг)Г! = 0 (1.6) 1п йе аЬоуе сагсеяап сепког Гопп, у!гсиа! зсга!иа аге ге!асег) со Ыгсиа1 |Пар!асешепса аа бе, = -' (би;, + биту) (1.

7) 1п сЬ)х Ъоо1| че суП1 оееп иве а сгапагоппасюи со шаспх Гопп суЬеге гагеааех аге рнеп 1и |Ье оЫег т [гг|| гг|2 г"3| г"и ||2| гг|| | т =, г".гг Ггту Гггг гггг Ггтг (1.8) ап|1 ягаша Ьу т ге|| е22 гзп т|2 г23 гз| (1. 9) = [е,» гг, е„г уо, у,г у,] суЬеге аушшесгу оГ йе сепаогз |а азхшпег! апд 'епрпеепид' ПЬеаг асса!иа аге !и!го|сисе|) ах* (1.10) уа = 2га со п|а1|е угг!с)п8 оГ аиЬаегспепс шаспх ге!асюпх 1п а сопяасепс п|аппег. ТЬе сгапхГоппаеоп со йе ях !пс)ерепдеис со|проиеиса оГ асгея аигс хсга|п )а реггоппег( Ъу па!п8 йе !пг(ех оп1ег фуеп |п ТаЫе 1.1.

ТЬ)а огс)еппц чпП арр!у со ' та|а гога| и ааоаяагу |о апов гпа |шагпа| вогх а|вауа |о ьа впиоп аа ога. Гог аП рошса суЫсЬ Пе оп |Ье рагс оГ йе Ьоипгсагу с)еиосед аь Гс А уапаеопа! (суеасг) Гопи оГ йе ес)иасюпыпау Ье суг!ссеп Ьу ияп8 йе ргосес(игеа г!еаспЬег) ш СЬарсег 3 оГ аго1ише 1 апс) у!е10 йе |Пгсиа! ууог)с ес!иасюпа 8!уеп Ьу'" ~ 5ва11 де(оппадоп поп-11пеаг хоОд весЬап)сх ргоЫева 5 Таве 1.! !паех ге1адоп Ьсгггееп гспхог апг( вагпх (оспы 1ппсх са1ггс рогв Магна 1 2 3 4 6 6 Тепаог (1. 2.

3) 11 22 ЗЗ 12 23 31 21 32 13 Тепхог (х. г. е) хх гг == ..г 3 = ет ге гг !папу авЬаег!пеп! дене!орвепга а1ао. ТЬе огдег га сЬоаеп !о репш! гедпс(гоп (о (Зхгойвепгдопа! арр!гсадопх Ьу веге1у де1едп8 (Ье 1аа! (хгго еп(г!ея апд 1геадп8 ГЬе (Ьггд еп!гу аа арргорпа(е Гог р1апе ог ах!Зупппе!г!с арр!гса!!опя. 1п пЗа!пх !опп, (Ье х!г(па! ххгог)с егр!а(гоп ра хргг!!еп аа (атее СЬар!ег 3 оГ Чо!шпе 1) бв~рвдГ)+ ~ бе~оде! — ~ бв'ЬдИ вЂ”.

~ бв~гдГ = О (1.11) ,1 ' -„1 и Зп )г! Зг, Г!ппе е!евеп! арргох!вапопк (о йкр!асегпепгь апд р!ггва! йяр1асевеп!6 аге г1епо!ед Ьу в(х,!) =)х)(х)в(!) апд бв(х) = Х(х)бв (1.12) ог !п гаорагагпе!пс Гогв аа в(г„!) = гх(с) О(!); бвД) = гх(г',) бй ъс!!Ь х(с,) = гх(Г) х (1.13) апд вау Ье ияед !о соврше гдг!ва! а(га!па ах ба = Кбв = (Ягх) бв = Вбв (!.!4) О О О )~ О О О Х ° ~! О О )х) 3 Уа О (1.15) В= 1п гЬе аЬоре, О депо(еа !ппе-дерепдеп! пода! д!ьр!асевеп! рагаве!ега апд бв гергеаеп!х агЬ!(гагу гдг(па1 йар!асевепс рагаве(его.

)х)о(!п8 (Ьа! (Ье гдг!ва! рагаве!ега бй аге агЬг!гагу хпе оЬ!а!и Гог !Ье д!ьсге!е ргоЫеп!" Мое+ Р(в) = ! (1.1б) пеЬеге М = ~ Ь('рЬ)дГ) Г= 1 )х)'ЬдГ)-р ~ Ь!'гдр 3п Зг, (1,17) (1.18) ' рог аппрвспу гге огпп вгесг еатргпх игаса 1еаг(х го вс гепп сй (хее с(!ар!ег 17, уо) пвс 1) !и хсЬ!сЬ ГЬе ГЬгее-йвепгдопа! 6!га!и-д!яр(асевеп( гпа!пх !6 8!реп Ьу (аее Ег). (б,! 1), Чо1шпе !) б беиега! ргоЫегия |и яо1И весЬапкя апт| поп-11пеаг|ту апт| Р(а) = ~ В~от(Г! (1.19) ТЬе тетш Р гя ойеп геГеггет1 то ая йе ггпу йчет8еисе ог ятгеяг Гогсе тетш. 1п йе саяе оГ 1|пеаг е|аяпсау йе ятгеяя |я |шшет||ате!у 8|чеп Ьу йе ятгеяя — я!гати ге|атюпя (яее СЬартег 2, Чо|шпе 1) ая (1.20) тчЬеп е|гестя оГ|п|т|а! ятгеяя апт| я|гати аге яет со лего.

1и йе аЬоче йе Р аге тЬе ияиа1 е!аякс тпойй ччт|ттеп !п шатпх Гоии. |Г а Йяр1асешепт тпетЬот! гя ияет1 йе ятгатпя аге оЬ|атпет| Гтопт йе т||яр1асешепт йе!с1 Ьу ияп8 (1.21) я = Ва Ее|па!|оп (1.19) Ьесошея Р( ) = () В РВ~Й)Г-КО (|.гг) ш тчЬ!сЬ Х |я |Ье |шеаг ят|(гпеяя шатт|х. |и шапу я|!па!|сия, Ьотчечег, Ь гя песеяяагу то пяе поп-1|пеаг ог йпе-т|ерепт!епт ятгеяя — ятгаш (сопятаипче) ге1апопя апт1 |и йеяе саяея чче яЬа11 Ьаче то т!ече!ор яо|ипоп ятгате8|ея т!|тест!у Ггоит Ет|. (1.19).

ТЫя тч|1! Ье сопяЫегет( Гпг|Ьет ш т|ета|1 |и 1атег сЬартегя. Ноъчечег, ат йтя ята8е тче яшр1у пеет( то поте йат а = о(я) (1,23) т!ште 8епега!1у апт| тЬат |Ье Гипстюпа| ге|аВопяйр сап Ье чету поп-|тпеаг апт1 оссаяопа|1у поп-опцие. РигтЬетшоге, тт чч!11 Ье песеяяагу то ияе а ш|хет! арргоасЬ |Г сопя!та|и!я, япсЬ ая пеаг !псошргеяя|Ъ|!|ту, аге еисоиисегей 'чЧе агЫгеяя тЬ|я 1ассег аярест ш Бес.

1.2.4; Ьочтечет, ЪеГоге т|о!п8 яо тче сопяЫег Вгят йе шаппег ччЬегеЬу яо1итюп ог йе тгапяепт ес|иат|опя тпау Ье сошритет( Ьу ия!и8 ятер-Ьу-ятер типе ште8гаВои шетЬот|я т(|ясияяет! ш СЬартег 18 оГ Чо!шие 1. 1.2.3 1!|оп-Ипеаг 1огп|ц!акоп оФ 1гапяеп1 апд йеаду-йа1е РГО'О|ЕПЬ й(г„.„,) = и„„, апт( иочч йе ет|ш!|Ьг|иш ес!па!|оп (1.|б) ат еасЬ йясгете типе т„ч ~ тиау Ье ччт|ттеп ти а теяиГтта! уотттт ая Ф„„~ = Г„,, — Мй„1 — Р„~~ = 0 (1.24) То оЬта|п а яес оГ а!8ебгатс едиаттпия Гог ттапя|еит ртоЫешя тче |и!тот|псе а тпястесе арргохииатюп |и типе. тЧе сопяЫег йе СтХ22 шетЬот| ог йе !ч(еччшаг|т ргосет(иге ая Ъетп8 аррйсаЪ|е то йе яесоит(-отт|ег ес(иат|опя (яее СЬартег 18, Чо|итпе 1).