Zienkiewicz, Taylor - The Finite Element Method. v. 2. Solid Mechanics, страница 12

Сопчег8епсе оГ йе Опбе е!етепг ег!иаг!опя тау иос а1вауя оссиг !Г тоге гЬап опе Чиадгагпге ро!пг сЬап8ея Ггоги е1аяг1с го р!аябс ог Ггот р!ая6с го е!аябс !и яиЪяег!иеиг Ьегагюпя. !5о1горк р1ахт(с!ту щодеа б! Вааед оп ГЬеае сопппепга Ь В енЫепг ГЬа! по шычегаа! гпегЬог1 ех!525 ГЬа! сап Ье ыасд хч!ГЬ ГЬе шапу а1!егпадче5 хчЬ!сЬ сап оссиг ш ргасдсе. 1п ГЛе пехг 5ечега! 5есдоп5 иге !11иатгаГе 5опге Гогпш!азиопа ъчЬ|сЬ егпр1оу ГЬе а!гегпадчеа хче Ьаче йасы55ед аЬоче. 3.5 1зо1гор1с р!ай1сйу вос1е!в 'нче сопаЫег Ьеге 5огпе яшр!е сааеа Гог гаоггорк р!аадсдудуре гиос1е15 ги хч(дсЬ ЪоГЬ а уГЕЫ ГЫПСГ!ОП аид а ЙОиг Ги1Е аГЕ и5Ед. ЕОГ аи !5ОГГОр!С ШаГЕПа1 1ШЕат Е1ахи!С геаропае шау Ье ехргеааед Ьу шоди!! деггпед ипТЬ !гни рагашеГег5.

Неге хне 5Ьа11 ааашпе ГЬеае го Ье ГЬе ЬиПГ апд 5Ьеаг шоди11, а5 ыаед ргейои51у !и ГЬе чгасое!аадс 5есдоп (Вес. 3.2). Ассогд!па!У, йе 5ггеаа а1 апУ йасгеге гппе Г„ег В согпРшед Ггот е!аяк 51гаша !и шаГГ!х Гопп а5 о е, = ра „, па+ 5 ~, = Кщщс,'.

г г + 26(1 — —,' пиит) е'~, = 13(е. г г — а,"„,) (3.93) чгЬеге йе е!аадс шоди1ыа ша!пх Гог ап гаоггор!с гпагепа1 га и!чеп !и ГЬе ягир!е Гопп Р = Кщщт+ 26(1 2щщт) (3.94) апд 1 !5 ГЬе 9 х 9 !депг!Гу шагпх апд щ 25 йе шпе-сошропепг шагпх их=(1 1 1 О О О О О О)~ 1)5!пд Ее!5 (3,42) апд (3.43) ипшейаге1у гег(исе5 йе аЬоче го 13 = Кщщт + 2б(1о — -' щщт) (3.95) ТЬе аЬоче ге!а!гоп уге1да ГЬе ягеаа аг ГЬе сиггеш дгие рголдед иге !гпогч ГЬе сиггеп! Го!а! 5!гаги апд йе сиггепГ р!аадс 5!Га!п ча!ие5. ТЬе Го!а! 5!гаги !5 ача!1аЫе Ггош ГЬе Ггп!Ге е!ешепГ ег!иаг!оп5 и5!па ГЬе сглтепГ ча! ие оГ пода1 йар!асегпеп!5, апд !Ье р1аадс ягагп !5 аааиихсд го Ье сощригед ипТЬ ыаЕ ОГ опе оГ ГЬе а(аог!ГЬш5 Сдчеп аЬоче. 1п ГЬе йасиаяоп го Го!1охч хне сопядег ге!адопа Гог чапоыа с!ааяса1 у!е!д 5ЫГЙГСЕЯ 3.5.1 !ю1гор1с у1е1д ьиг~асеь ТЬе аепега! ргоседыге5 ои!1!пед !и ГЬе ргечоыа 5есдоп а!1оиг дегегпшзаг!оп оГ йе гапаепг гпагпсе5 Гог а1шоаг апу угеЫ 5игГасе арр1!саЫе !и ргасдсе, рог ап гаоггорк гпагепа! а1! Гипсдопа сап Ье гергеаепГед !и !егш5 оГ ГЬе йгее 52ге55 !пчапап!5 12=ггп=щ о т т ~ ~2 (3.96) 3.12 = агу хгг ха, = деГ э игЬеге гче сап оЬ5егче !Ьаг дейпд!оп оГ а11 ГЬе !пчапапга В шо5! еая!у реггогшед !и гпйсга! погаГюп.

' Аррепях А ргехспгх а хппппагу ог гпнаггапп апа 2!ге~с асина пнех. !5о1горк р1ахт(с!ту щодеа б! Вааед оп ГЬеае сопппепга Ь В енЫепг ГЬа! по шычегаа! гпегЬог1 ех!525 ГЬа! сап Ье ыасд хч!ГЬ ГЬе шапу а1!егпадче5 хчЬ!сЬ сап оссиг ш ргасдсе.

1п ГЛе пехг 5ечега! 5есдоп5 иге !11иатгаГе 5опге Гогпш!азиопа ъчЬ|сЬ егпр1оу ГЬе а!гегпадчеа хче Ьаче йасы55ед аЬоче. 3.5 1зо1гор1с р!ай1сйу вос1е!в 'нче сопаЫег Ьеге 5огпе яшр!е сааеа Гог гаоггорк р!аадсдудуре гиос1е15 ги хч(дсЬ ЪоГЬ а уГЕЫ ГЫПСГ!ОП аид а ЙОиг Ги1Е аГЕ и5Ед. ЕОГ аи !5ОГГОр!С ШаГЕПа1 1ШЕат Е1ахи!С геаропае шау Ье ехргеааед Ьу шоди!! деггпед ипТЬ !гни рагашеГег5. Неге хне 5Ьа11 ааашпе ГЬеае го Ье ГЬе ЬиПГ апд 5Ьеаг шоди11, а5 ыаед ргейои51у !и ГЬе чгасое!аадс 5есдоп (Вес.

3.2). Ассогд!па!У, йе 5ггеаа а1 апУ йасгеге гппе Г„ег В согпРшед Ггот е!аяк 51гаша !и шаГГ!х Гопп а5 о е, = ра „, па+ 5 ~, = Кщщс,'. г г + 26(1 — —,' пиит) е'~, = 13(е. г г — а,"„,) (3.93) чгЬеге йе е!аадс шоди1ыа ша!пх Гог ап гаоггор!с гпагепа1 га и!чеп !и ГЬе ягир!е Гопп Р = Кщщт+ 26(1 2щщт) (3.94) апд 1 !5 ГЬе 9 х 9 !депг!Гу шагпх апд щ 25 йе шпе-сошропепг шагпх их=(1 1 1 О О О О О О)~ 1)5!пд Ее!5 (3,42) апд (3.43) ипшейаге1у гег(исе5 йе аЬоче го 13 = Кщщт + 2б(1о — -' щщт) (3.95) ТЬе аЬоче ге!а!гоп уге1да ГЬе ягеаа аг ГЬе сиггеш дгие рголдед иге !гпогч ГЬе сиггеп! Го!а! 5!гаги апд йе сиггепГ р!аадс 5!Га!п ча!ие5.

ТЬе Го!а! 5!гаги !5 ача!1аЫе Ггош ГЬе Ггп!Ге е!ешепГ ег!иаг!оп5 и5!па ГЬе сглтепГ ча! ие оГ пода1 йар!асегпеп!5, апд !Ье р1аадс ягагп !5 аааиихсд го Ье сощригед ипТЬ ыаЕ ОГ опе оГ ГЬе а(аог!ГЬш5 Сдчеп аЬоче. 1п ГЬе йасиаяоп го Го!1охч хне сопядег ге!адопа Гог чапоыа с!ааяса1 у!е!д 5ЫГЙГСЕЯ 3.5.1 !ю1гор1с у1е1д ьиг~асеь ТЬе аепега! ргоседыге5 ои!1!пед !и ГЬе ргечоыа 5есдоп а!1оиг дегегпшзаг!оп оГ йе гапаепг гпагпсе5 Гог а1шоаг апу угеЫ 5игГасе арр1!саЫе !и ргасдсе, рог ап гаоггорк гпагепа! а1! Гипсдопа сап Ье гергеаепГед !и !егш5 оГ ГЬе йгее 52ге55 !пчапап!5 12=ггп=щ о т т ~ ~2 (3.96) 3.12 = агу хгг ха, = деГ э игЬеге гче сап оЬ5егче !Ьаг дейпд!оп оГ а11 ГЬе !пчапапга В шо5! еая!у реггогшед !и гпйсга! погаГюп.

' Аррепях А ргехспгх а хппппагу ог ~пнаггапгх апа 2!ге~с асина пнех. 62 1пе)аз|!с апд поп-6пеаг гпа1ег!а)а Опе иаеГи! Гогш оГ 1Ьезе 1пчат1апга Гог идее тп у1е1д Гипсдопь 1а 81чеп Ьу4З Зтт„, = Г, (3.97) 3 чтЗт ~ тт тт ъчтГЬ вЂ” - «В<- 6 6 1За1п8 ГЬеье дейшдопа гЬе тигГасе Гог почета! с1аьяса! у1е1д сопйдопз сап Ье 8!чеп ая 1. Тгеьса: Р = 20 со~  — 'т'(к) = 0 (3.98) 2. НиЬег — чоп Мгаея 2 Г2 Р = чт2дт — ъ1- 1'(к) = ~а~ — ~(- У(к) = 0 ЧЗ 3 (3.99) Во1Ь сопйдопз 1 апд 2 аге ъче!1 чег1Гтед ш шега! р1ая)с)гу. Рог вот1я сопсге1е апд оГЬег Тпсдопар шагег1а1ь гЬе МоЬг-Сои!ошЬ ог ГЗгис!гег — Рга8ег ьигГасез га ГгегГиепг1у иеедгп 3. МоЬг — Сои1отпЬ: 1 Р = о а1п ф+ дт соа — — яп фяп  — с соя ф = 0 (3.100) АЗ Г = 3 а'(к) ст„, + д — К(к) = 0 (3.101) ъчЬеге 2 япф о 6 соаф чтЗ(3 — яп ф) чтЗ(3 — яп ф) апд а8а!и с апд ф сап дерепд оп а ягатп Ьагдеп1пд рагашегег.

ТЬеае Гогшь 1еад Го а сопчеп1епъ дейп111оп оГ ГЬе 8гайепъь Г о ог Д „1ггеьреспче оГ ъчЬегЬег ГЬе аигГасе га иьед аз а уте1д сопйдоп ог а йоъч рогепда1. ТЬие ъче сап а1ъчауь ъчг1ге Рс ~. +Гта +~т дгт,„, дд дВ (3.102) — до ' до ' аде апд ироп подп8 ГЬаг ддт дд да дУ~ дтт 1 дУ2 до 2ътут де дЛ дВ дУ~ Г! дуг 1 дат) =+ — — = гап ЗВ ~ —.те — — —.тт — ~ до доз до' 19 ' до' 6 до~ (3.103) ъчЬеге с(к) апд ф(к) аге ГЬе соЬеяоп апд ГЬе апд1е оГ ГпсИоп, гезресдъе1у, чтйсЬ сап дерепд оп ап 1аоггоргс ягатп Ьагдеп1п8 рагатпегег к. 4. ГЗгис1ъег-Рга8ег: !зо1гор!с р)аз1к)1у тог)е)з 63 Тайе 3.1 1псагип! Оеггеаг!Сез Гог Саг!Опз угсИ сопеааопз Ч!е!О сопсапоп Р„„чг~2РП чг35!пО СО5 ЗО О 2созО(1-1-гапО!ПпЗО) Тгсаса ча 1 Г, 1 -созО!1 =- !5ПО5!ПЗО, — япф(ГапЗΠ— 5ППО)) 'ЧЗ 1 О ЧЗ55ОО.5 згпосозО НОЬСГ- СОП М15С5 О МоЬг Соп1огпЬ ЯПФ 2созЗО О Гхгпс!гег — Ргаасг А)!егпа!!че!у, Зче сап а!вауз вг!1е: дога дУ2, дг 3 Ге=Та — '"+Г,,— +Г,,— — '"' до '- 'до '' да (3.104) вЫсЬ сап Ье рог тго а !пагг!х Гопп аз зЬовп !п Аррепйх А.

ТЬе ча!иез оГ ГЬе (Ьгее г(еггчаг!чез в!!Ь гезрес! !о ГЬе !пчапап!з аге ОЬовп !и ТаЫе 3.1 Гог 1Ье чапопз уге10 зпгГасез теп(!Опес). ТЬе Гопп оГ 1Ье чапопз у(е!д зпгГасез а!чеп аЬоче гз зЬовп ипгЬ гезрес! 1о !Ье рппс!ра1 3!гезз зрасе )п Бд. 3.8, !Ьоп8Ь тапу пюге е!аЬога!е опез Ьаче Ьееп г)ече!орес), раг!!сп1аг!у !ог зо!! (8еотесЬап)сз) ргоЫетз.зз Мопс — Соп(ОСПЬ ф > О ГЗгпсаег-Ргацег ф > О =оз г=оз ')Зс 5)Зс с (Ь) (а) Р!9. 3.8 1ю!гор!с уге!О зог(асез го рппс!ра! 51гезз !расе: (а) 0гпс1ег-Ргацег апс) чоп мкзез; (Ы моьг-соп!Огпь апг) Тгеха.

3.5.2 4 гподе1 )))Г1й ьо1гор1с ап(1 Ыпегпабс 13аг(1еп1пд (Ргапй1-йеим ециа6опь) Аз по!ес) !и ТаЫе 3.1 а рагпсп!аг!у 55гпр!е Гопп гезп1!з !Г ве аззпте (Ье у!е1<1 Гппсгюп (пчо1чез оп!у ГЬе зесопг) гпчаггап! оГГЬе с(еч!агог!с ыгеззез Л. Неге ве ргезепг а тоге г)е1а!)ег( йзспзззоп оГ гезу!гз ОЫагпес) Ьу пз!п8 ап аззос!агес) Гопп апг) 1Ье гегпгп тар а!аог!(Ьт. 8!псе 1Ье у!еЫ Гппс!юп )пчо!чез с)еч)агог!с г)пап!!1)ез оп(у ве сап !пЬ!аНу та)ге а11(Ье са1сйаеопз !и !еппз оГ (Ьезе. Ассогйп8!у, ГЬе е!азес с(ечга1ог!с 3!гезз — згга)п ге1аооп гз 82чеп аз а = 2 бе' = 26(е — е") (3.105) б4 спе(ахС(с апс( поп-11пеаг гпаСепа1а Сопгюиит гаГе фогт Ве(ого сопьсгисбп8 сЬе гешгп шар ьо1иВоп сче Гггхс сопяссег сЬе Гопп оГ йе р1ахбспу ес(иас(опх (п гасе Гопп Гог йга йпр!е тпог(е1. ТЬе р!ааВс с(еч|асог(с агаси гасеа аге с(ег(исегс Ггот .дЕ еР=Л вЂ” =ЛГ де (3.106) !пс!игс(п8 йе ейесса оГ гаосгор(с апс( спеша!(с Ьаггсеп|п8 |Ье НиЬег — ноп М|хех у(е10 Гипсбоп спау Ье ехргеххес( аа г" = |а — к~ — ° 7'а !'(ге) = 0 (3.107) ш снЬ(сЬ к аге Ьассс ьсгеьаех Ггош Ыпетпас(с Ьап1ешп8 апг( к са ап гаосгор(с Ьагг(еп(п8 рагагпесег.

%е аьяппе (шеаг Во!горио Ьагг(епш8 8гчеп Ьу* У(к) = !'о+ Н,к (3,108) Неге а га|е оГ к 14 сошригег( Ггош а попп оГ СЬе р!аабс агга(па, Ъу иа(п8 Ег(. (3.53), аз к = .„/-Л (3.109) |п ъчЬ|сЬ йе Гассог нг2/3 (х (псгогсисег( со спассЬ ошах|а! ЬеЬач(оиг 8(неп Ьу Ес!. (3.108). Оп сс(ГГегепс(а!|оп оГ гч |с сч(11 Ье Гоипгс сЬас дР дà — = — — = и снЬеге да дк я — к и= |а — к) (3. 110) (3яп8 сЬе аЬоче, йе р!аьВс яга(пь аге 8(чеп Ьу ее=Ли (3.1 1 !) апй ннЬеп хиЬас(си!ее( шсо а гаСе-оГ-асгехх ге1абоп, у(е!0 а = 26 '(е — Лп| (3.112) А гасе Гопп Гог йе (сшеспаЬс Ьагг(еп(п8 (а са1еп аь к = !Нсдап (3.113) ТЬе гасе оГ йе усе!0 Гипсбоп Ьесогпеа Р' = п~(а — к) — ! Н Л (3.114) т Л= — „и е 6" (3.115) ' Могс Хепсга| |оппа оГ Ьагг|егепа гпау Ье арргохггоа|ее Ьу ра:оспа|с |гпеаг аеапгепга, сапа гпа|апа сбе ргеаеп! Гоппп|аиоп егпсе сапега! апг! чгЬеп согпЬ|пег( нч|сЬ сЬе осЬег гасе ег(иас(опа 8(чеь йе ехргеыоп 1ог йе р!ахйс сопяагепсу рагапсе|ег аа (побп8 СЬа| сн(СЬ СЬе п(пе-сопсропепг Гопп и "и = 1) 1яа!торге р1ая1!с!Гу гпог!е1я 67 согпропеп!я, Ьонненег, гЬеге аге йне согпропеп!я, я„, я,, я, я„, апг! я„.