Wesseling - An Intro to Multigrid Methods, страница 13

!г" $ысеай ог" а соггесйоп ап арргохипайоп со 1Ье во!шюп Ь со Ье рго!оп8асей (ав Ьаррепв!п пеясей Иегайоп, 1о Ье сИясиыед 1асег), 1Ьеп 1Ье Ьоши1агу ча$иев Ьаче со Ье са$сеп иио ассоипс, счЫсЬ Ь пос й(йси11 Со с)о. Начдп8 ргевепСей а гасЬег ехЬаивс(че 1пчепсогу ог" рго!оп8асюпв Ьавед оп Ипеаг $псегро(асюп, сче сап Ье Ьг)е! аЬоШ гевспсйопз. Опе свау кипр!у са)се ис$1Ь сг а вшсаЫе вса(сп8 гассог. ТЬе всаИп8 ос К, !.е, 1Ье ча!ие ос Ес К(с,5), Ь ипрогсапс. !г Кв Ь со Ье а соагяе 8гЫ арргохипайоп ос и (1ЬЬ ясиайоп оссигв 1п поп-1спеаг пис11$8гЫ шесЬодя, всЫсЬ счсИ Ье дЬсиыес1 ш СЬарсег 8), 1Ьеп опе ЯЬоиЫ оЬчдоик1У Ьаче ЕуК($„У) = 1.

1г" Ьосчече, К !з овей Со 1гапз(ег 1Ье гевЫиа1 г со Иге соагве 8гЫ, 1Ьеп 1Ье сопес1 ча1ие ос Е5К($,,/) дерепйв оп сЬе жаИп8 о( сЬе соагзе апй Ипе 8гЫ ргоЫешз. ТЬе ги!е Ь 1Ьас 1Ье соагве 8гЫ ргоЫегп вЬои1с$ Ье сопявсеп1 сч!1Ь сЬе й)Иегепйа1 ргоЫесп 1п 1Ье язяпе всау ы 1Ье Ипе 8пй ргоЫепг. ТЫв пгеапв 1Ье $оИовчп8.

(.ес 1Ье й$$(егепйа$ ессиайоп 1о Ье во1чед Ье депосед ав апд 1Ье сИзсгесе арргохипаИоп оп 1Ье Ипе 8гЫ Ьу Яиррояе сьас (5.3. $4) !я вса!ед вись сьас (с $я сопя!всепс вс(сь )г (.и = )с"я сччсь )с а шеыиге ос сЬе шевЬ-яле ог" О. Р(п!се чо1шпе сИвсгейлайоп 1еасЬ па1игаИу со сг = с! вс$1Ь а' 1Ье пшпЬег ог" дипепяопв; ойеп (5.3.14) Ь вса1ед ш огдег со 8е1 гЫ оГ й)ч(в(опв Ьу )с. $.ес 1Ье сИзсгесе арргохипа1юп ог (5.3.13) оп 1Ье апд 1ес А арргохипасе )с 7.. ТЬеп КЬ вЬои!д арргохипасе )г"я. 8!псе Ь арргохипасев )с я, все Ипй а всаИп8 ги1е, аз гоИосчв.

%е ешрЬмяе сЬас Иия ги1е аррИев оп1у !г" К Ь со Ье аррИед со п8Ы-Ьапд вЫев апй(ог гевЫиаЬ. $)ерепд!п8 оп 1Ье всау 1Ье Ьоипдагу сопд(йоы аге ипр!ешеыей, а1 1Ье Ьоипйапек в пгау Ье й$(сегеп1 аргоса 1Ье $п1ег!ог. Непсе 1Ье ясаИп8 о( К вЬои!д Ье й$(гегепс а1 1Ье Ьоипйагу. Апо1Ьег гемоп счЬу ЕсК((,,р) псау сопке ои1 й$(гегепс аС 1Ье Ьоипдагу $в 1ЬаС ые Ь ~паде ог 1Ье касс 1Ьас с$ие со 1Ье Ьоипйагу сопсИсюпв 1Ье геядиа1 со Ье геяпссес$ $в $сповсп 1о Ье лего сп сегса$п роси!в. Ап ехаигр(е $к К = Р* вИЬ Р* 8Ьеп Ьу (5.3.24), (5.3.25), (5.3.26), (5.3.27) ог (5.3.28). А гея(пссюп 1Ьа1 саппо1 Ье оЫшпей Ьу (5.3.12) чд1Ь апу ос 1Ье рго!оп8аСюпв 1Лас Ьаче Ьееп сИвсиввей $з свуесс(ов ш 1Ье чегсех-сепсгей саве: Ассигасу сопй)йоп гог !гааз(ег орега(огя ТЬе ргооЬ ос шеяЬ-вЬе $пйерепйепс гасе ос сопчег8епсе ос МО ывшпе 1Ьас Р апд К вадзгу сегса(п сопсИсюы (ВгапсИ 1977а, Нас)сЬивсЬ 1985).

ТЬе 1авс аисЬог (р. 149) 8!чек 1Ье (оИоэсп8 яигр1е сопсИСюп: ТЬе песевясу ог" (5.3.18) Ьаз Ьееп вЬовп Ьу Неш$сег (1990). Неге огдегя тр, тя о! Р апд К аге с1ейпей м 1Ье Ь(КЬезс с$е8гее р1ы опе ог ро1упопиа!в Ига! аге 1псегро1асей ехасс1у Ьу Р ог яК*, гезресйче1у, в(сЬ я а ясаИп8 сассог 1ЬаС сап Ье сЬояеп $гее1у, апй 2си Ь 1Ье огдег ог" 1Ье рап(а$ сИИегеппа! ессиайоп со Ье яо!чес1. Рог ехашр!е, (5.3.5) Ьм тр = 1, (5.3.6) Ьая тр = 2. Ргасйса$ ехрепепсе (вее е.8. %(севке!ш8 1987) сопйппк сЬас (5.3.18) !з песезыгу. ТЫв «с(И Ье гИиягасей Ьу а шипепса1 ехашр!е 1п Бесйоп 6.6.

Ехегс!зе 5.3.1. ссегсех-сепсгес$ рго!оп8асюп. Та!се с(=2, апс1 йейпе Р Ьу 72 Ргогогоагшл алд гчвггвсаол Орегагог-Йерелделг ггалаег орегазогв [Р]=— 1 4 0 0 е е~ О 2 2+с е „2+ 2 О~ и зч 0 0 [Р]= — 1 2 1 (5.3.26) (5.3.19) (5.3.27а) [Р*] = — 2 4 2 (5.3.20) 0 (5.3.28а) 0 0 з,<зз '" ' ' с о 0 0 0 2 2 зч 2+из 2 зч зч 0 О О 0 0 О 0 О 0 и зч 0 О и зч 0 0 [р*]<-'з =- 4 [р*]'-о =- 4 .з! о' 0 О е е О 2 2+е е О 2 2 0 0 0 0 0 [Рч] <зз 4 [рч] <аз 4 (5.3.21) (5.3.28Ь) апд сЬас 1[пеаг зпсегро!асюп 8$чев (5.3.22) [Р*] =][зч 2в- зч 2+ е е] (5.3.24) [А] < — — [А(з', — 1) А(з, О) А(з', 1)] (5,4.1) пи (2+ п)зч (2+ в)зч (5.3.25) (Рй)а = й (5,4.2) 1<пеаг шсегро1адоп. $)впщ (5.2.24), вЬозч $)ейпе Р Ьу Ьзйпеаг спсегро1адоп, апд вЬозч Ехегс$ве 5.3.2. Чегзех-сепзгед рго!опйадоп. 1,$$<е Ехегс!ве 5.3.1, Ьпз сот д = 3.

Яюзч сйас спйпеаг зпсегро!асюп гдчев [Р*]<-'з= [Р*]о'=-'~2 4 2 1 2 1 2 4 2 [Р ]<вз= — 4 8 4 2 4 2 [О О 01 о [Р*]' о=,'[1 ! О~, [Р"]Я~=-' ! 1 1 О 1 1 0 О 1 1 [Р ]<'з= — 0 1 1 0 0 0 Ехегс!зе 5.3.3. Сей-сепсгед рго]опаасзоп. с)з[п8 (5.2.24), вЬои< <Ьас (5.3.5), (5.3.6), (5.3.7), (5.3.8), (5.3.9) апд (5.3. 11) 1еад со <Ье всепсйв 8$чеп Ье1озч Ьу (5.3.23), (5.3.24), (5.3.25), (5.3.26), (5.3.27) апд (5.3.28) геврессзче1у, зчЬеге зч = е = и = в=У= т = 1, пп!евв опе (ог <поте) о( сьеве <рзапсзиев ге(егв со 8пд рози< ча1пев опсзЫе сйе 8гЫ, [п зчЫсЬ сазе И !з гер1асед Ьу гего.

[Р*] = [1 1] (5.3.23) п(2+ зч) п(2+ е) пе (2+ пН2+ зч) (2+ пН2+ е) (2+ п)е (2+ зН2+ зч) (2+ вН2+ е) (2+ з)е в(2 + и ) з(2 + е) ве [р*]< зз = з [рч] ь, зч[СЬ [Р*]зо 8[чеп Ьу (5.3.25); 64 [р*]<-и 2+ т [р*], [р*]яз = + ~ [р']зо, [Р*] "з = — [Р*]зо 64 ' 64 (5.3.27Ь) 5.4. Орегасог-дереадеас Сгаа81ег орега1огз 11 СЬе соейс[епгв а„з 1п (3.2.1) аге йвсопдппопв асговв сегзаш [пзег(асев Ьези<ееп впЬдопза$пв ог дссуегепз рЬуяса$ ргорегС]ев, СЬеп иФС'(О), апд Ипеаг [псегро!асюп асговв йзсопдпшссев сп и,„1в ]пасспгасе. (Бее Бесс[оп 3.3 Гог а <$есайед апа1ув!в ог (3.2.1) сп опе йзпепяоп.) 1пвсеад о( $псегро!асюп, оретагог-дерзи<(епг рто!олгаз(оп Ьав со Ье пвед.

БпсЬ рго!опаадопв ып со арргохнпасе сае соггесс !шпр соп<ИИоп Ьу пяп8 саго<шаг]оп $гош сЬе д[зсгесе орегасог. Орегасог-дерепдепс рго!опаасюпв Ьаче Ьееп ргоровед Ьу А[сои!се ег ай (1981), Кесс!ег апд Ме[]егсп)< (1981), $)епду (1982) апд Кея!ег (1982). ТЬеу аге ге<со!сед оп1у ш чегсех-сепсгед шп1<$8гсд, Ьпс пос зп сеП- сепзгед шп]<$8гсд. Опе-дсшепзсопас ехашр1е Еес <Ье яепс$! о( а чегсех-сепсгед йвсгесиаооп ог (3.3. 1) Ье 8]чеп Ьу Ьес О апд д Ье сйе чегсех-сепсгед 8пдз оз Рщпге 5.1.1.

Ч<ге дейпе, аз папа!: Рео1оляоиол ола гее<псиол (5,4.4) (5.4.11) (Ри)г! = й< е!ип — = 1ип— ди . Ии к!к Их к<к Их (5.4.6) л--! (5.4.12) »= -! (5.4,7) Сои!(пш<у 81«ея й; + а»/2 = й<е ! + ЗЬ»/2 (5.4.8) ТЬе 1шпр сопйИои (5.4.6) 8!чев еа — » (5.4.9) (Рй)г<+ ! Ь де»пе<С ЬУ (АРй)г<+ ! = О, вЫсЬ 81«ев (Р™)г<е ! = (А(2<+ 1, — 1)(Рй)и+ А(2<+ 1, 1)(Рй)г ег)/А(2<+ 1, О) (5 4 3) Весаиве А Ь !пчо!чей ш сЬе <Сейи!Иоп о( Р, ве сай Иив орегагог-<(орел<(елг ог таге(х-<)ерел<(елг рто1олйайол. СоыЫег СЬе ехмпр1е о( Бес!!оп 3.3. (.ег а(х) Ье 81чеп Ьу (3.3.6) в(СЬ х*= хг<+»/2 сЬе!осас!оп о( сЬе <ИвсопИпшсу.

ТЬеп (ог сйе йвсгеспас!оп РЗчеп Ьу (3.3.23) ап<1 (3.3.24) «е Ьаче (А]г<«! = (- ви в!<+ вг<е! — <чг<+,)/» «И<Ь вг< = 2е/(1+ е), «и+! = 1. Б<)иас!опв (5.4.2) со (5.4.4) 8!че: (Рй)г<+! =(вг<й<+ ви+<йее!)/(жг<+ вг<е!) и + й, (5 4 5) 2е 1+с 1+Зе 1+Зе %е в!П пов сошраге (5.4.5) в!<Ь рсесевЬе Ипеаг 1псегро!айоп, са)Ии8 <Ье )шпр сопйИоп (3.2.8) !псо ассоипс. 1п сйе ргевепс сме сйе Зшпр сопйИоп Ьесо шея Р!соева Ипеаг !псегро!аИоп Ьесвееп и!<= й< ап<1 ии+г = й<е! 8Ьев, «ИсЬ 8 = х — хг!.' иЮ=й<+а(, О<(<»/2 и(с) = ™ее ! +»(2» — Е). »/2 < 8 < 2» Е<РгаИоив (5.4.8) ап<1 (5.4.9) гехи!С !п Ь»=2е(й! — йе+!)/(1+Зе).

М<<!СЬ иг<е! = й< ! +»» ве оЬ<ап (Ри)ге«! м 8!чеп Ьу (5.4.5). ТЫв дешопвсгасев сЬас 1и сЬЬ ехагпр!е орегасог-<)ереп<!еп< рго1опйаИоп сева!<в !п сйе сопесс р!есевЬе Ипеаг спсегро!а<1оп. Мосе сЬас сог е 8геаИу И!Йегепс !гош 1 (1агйе И!Ипв!оп сое<Ийеис) всгш8Ь<- Когвагд Ипеаг 1шегро1аИоп 8!чез а ча1«е (ог (Рй)гг+! вЬ!сЬ ййегв арргейаЫу сгош (5.4.5). ТЬЬ ехр!а!ия вЬу пшЫрЫ в!1Ь гпсегро1аИи8 !гааз(ег Орего<ог-есерелегелг <галя)ее орска<сея 75 орегасогя доев пос сопчегйе вей вЬеп шсегро1аИоп са1<ея р1асе асгояя ап !псег(асс вЬеге <Ье ййпвюп спей<с!епся а„з 1и (3.2.1) аге всгоп81у <!!веси!списав Т«о дипепвсопа) саве 1.ес сйе всепсй о( а чепех-оси!ге<1 <Изсге<1гаИоп о( (3.2.1) Ье рчеп Ьу ! А(г, — ег+ ег) А(1, ег) А(1, ег+ ег)~! (А)<= ~ А(!', — е!) А(1,0) А(!',е!) (5.4.10) А(!', — е! — и) А(<, — ег) А(!', е! — ег) Ьес б апИ О Ье сЬе чегсех-сепсгед 8гЫв о! Р!8«ге 5.1.2.

Фе <Сейпе, ая авиа! ()пй)се сйе опе-И!шем!опа! саве, И Ь пос розг!Ые со (псегро!асе й ш сЬе гешшшп8 ройив оГ О Ьу шеапв о( Аи. А !з, сЬеге!оге, )шпре<С !иго опе- йшепв!опас орегасогя Ьу вшппип8 говв ог соЬиппв !и (5.4.10). ТЬив ве оЬ<агп СЬе !шпрее! орега<огя А, дейпеИ Ьу ! Аг(! (/ьО)) = 2«е А(<,,1), 1! = — 1,0, 1 ! Аг(<, (0,,1г)) = 2 А(<,,1), /г = — 1, О, 1 ТЬеве орегасогв сап Ье мед со <Сейие (Рй)и„.

1и сйе вапе вау ав си сйе опе д!шем!опа1 саве: (А РйЬ<„.=0, а=1,2 (по яшп очег а). 1<)ехс, (Рй)г<ее,ее, !в дегегш!по<! ЬУ (АРй)!<ее,+е, = О. ТЫв 8!чев! (Рй) = — ~ ~~~ А (2! + е, 1)(Рй)иве ефА«(21 й е«0) (1«о (5.4.13) (рй) . < = — ~ ~' А(21+(и,<3),/)(Рй)г<е<«,дег~~А(21+(аеЙ.О) <.<, о и = + 1,<З = + 1. (5.4.!4) ТЬе геяи1Ип8 Р" Ь РЗчеи !и Вхегс!ве 5.4.2. ТЫв сап Ье йепегайгей со сЬгее йшепз!опз пв!п8 <Ье яви!с риис!р1ев. ТЬе дега!в аге 1е(С Со СЬе геа<)ег.

1п июге И!шем!опя шаспх-дерепдепс рго!опйас1оп саппос Ье зо шее!у )ив<16ед (ог !исег(асе ргоЫешя ая 1и опе дииепйои, ап<! шивс Ье гейаг<сед м а Ьеипзс1с ргосе<!пге. 11 Ьм Ьееп (оип<1 Ига! ш сегсшп смея (5.4.13) апд Орегатог-Йерелйелт Ггалаег орегасогз Рго/олвааол алд геагушюл С(/,,/) = А(з',,/),,/ Ф 0 Б =1(А+ А*), Т = А — Б (5.4.17) сЬас К (сЕ (5.2.19)) (5.4.18) 8(/./) = з (А(з,./) + А(з'+./. —./)) Хехс, опе впсев Гог Ьгезйсу ! /3 /в /9~1 )Т)з= /4 /5 гб гз /2 гз ВВ Вз~! Я!= 54 В5 Вб ВЗ Вз ВЗ (5.4.19) апй йейпев (5.4.20) (5.4,16) 1.ес з'= 2/с+ (1,0). ТЬеп зче йеПпе Соагве Ппй арргохипайоп (5.4.14) ссо пос вот!с, Ьис сЬас шее сопчег8епсе 15 оЬсгйпей !( А зв гер!асей Ьу С йейпей Ьу — ~4 А(з,/) !С! 24 А(/,/)/2а А(/,/)~ <1О л (5.4.15) А(з, 0) осЬегв!ве ! ТЬеге и по ехр!апайоп ача!1аЫе вЬу (5.4.15) Ь тес)и!гей.