Wesseling - An Intro to Multigrid Methods (523193), страница 12
Текст из файла (страница 12)
ТЬгее-дииепвюпа1 в!еле]]в аге гергевеисед ая Го]]плюя. Биррове [А] Ьав сйе сЬгее-тИшепюдоиа! вечеп-ро]пс всгиспьге оГ Р[йпге 5.2.1. Тйеп ае сап гергевеш [А1 ю ав Го]]оьчв [А1ю = 0 А(ю', — ез) 0~, [А]юььь = ~0 А(|, е ) 0 А(ю', еь) [А1]гл = А(ю, — еь) А(ю, 0) А(ю', еь) А(ю', — ею) е,=(1,0,0), еь=(0,1,0), ез=(0,0,1) (5.2.5) Ехашр1е 5.2.1. СоивЫег Ею!пас]оп (3.3.1) ичсЬ а г» 1, дЬстед*е6 ассогдша со (3.3.4), ьчссЬ а $)йьсЫес Ьоппдагу сопьйсюп ас х= 0 аид а ]ь|ешпапп Ьоппдагу сопдйюп ас х= 1. ТЬЬ дЬсгесЬас1оп Ьав сйе Го!!оьч|па в!еле]1 ьч]сЬ ьчя = 0; пч = 1, ю = 1, 2, ... л — 1; и„ = 2; ею = 1, | = О, 1, ...,л — 1; е, = О.
Етспас|ои (5.2.6) иьеапв сЬа! А(ю, — 1) = — ьчю/!юв, А(1, 0) = 2/)юь, А(ю', 1) = — ею/)юь. ОКеп опе доев иос ьлаис со ехЬ]Ь|с сЬе Ьопиь$агу пютИйсадопв, апд яшр]у лют|сев И!еле!с по!аппп Гог геводсссоп орегасогв Еес К:и-ь О Ье а геппсдоп оретасот. ТЬеп, пвси8 в!еле|1 посадоп, Ки сап Ье гергевепсед Ьу Ехашр1е 5.2.2. СопвЫег чеПех-сел!гад 8птЬ (5.1.1) ик1 ав дер!счед ьп Рьаиге 5.1.1. Ьес К ьчссЬ юга=О; лю=1/4,! т»0; ею= Ц4,ю г» л/2; (5.2.8)): ягепсй пагайап Рга!апяа!/оп апя/ геагпсиап %е сап а1во ччг!се !К) = (1 2 Ц/4 аисс вс(ри!асс сЬас всепсг1 е1егпепся сЬас ге(ег со часиея о( и ас рогам ошяЫе б аге со Ье гер!асесс Ьу О. (5.2.17) Ехапгр!е 5.2.3. СопвЫег сей-сап!ген 8гЫв б, б Гог г/=2 ав Иейпесс Ьу (5.1.2) апд м Иерксед ш Р!8иге 5.1.2.
Еес К Ье дейпед Ьу = ~; ик 2; А(г,/г — г)сг=(и,А*и) Кгг' »7' Ки; = !ии-г,г/+ г + из — щк с + ии-г г/+ Зии- щ+ 2ии,г/+ 2игг — г г/ — г + Зигвг/- с + иик ~аг-1+ игсг/-г+ ии+ гг/-г)/16 (5.2.12) счйеге ча!иев о( и !и ро!пЬ оисвЫе б аге со Ье гер1асегс Ьу О. ТЬеп гче Ьаче (сй (5.2.8)) К(г ( — 2,1))=К(г,(-1,1))=И(г,( — 2,0))=И(г,(1, 1) = К(!, (О. — 2)) = И(!, (1, — 2)) = 1(16 К(г, (О, 0)) = К(г, ( — 1, — 1)) = 1/8 К(г',( — 1,0)) = К(/,(О, — 1)) = 3/16 (5.2.19) А*(/г, г) = А(/г+ г, — !) (5.2.13) ог $/г (И) =— 1 16 (5.2.14) (5,2.20) ' а = Е ик Х И(! /г — 2!)Ог=(и,К"и) квг~ ггг~ — 2 — 1 о ! / Рог соицг!есепевв сйе /г апсс,/г !пгйсея о(,/ ш К(й/) аге вйогчп сп (5.2.14). гч!сЬ И:(/-+ (/ дейпегс Ьу (И*й)к = 2г И(!,/г — 2!)сй гяг' (5.2.21) ТЬе ге!айоп Ьесячееп сйе всепсй о1 ап орепвсог аш$ сйас о1 Ив жЦо!пс Рог рго!опйасюп орегасогя, а шее ссейи!Иоп о( всепсй посаИоп Ь!ем оЬЫоы сЬап (ог геяспссюп орегасогв.
Ая а ргерагас1оп Гог сйе !псгогсисс!оп о(а вшс- аЫе ссейи!Иоп гче йгвс ИЬсим сЬе ге!аИоп Ьесчгееп сЬе ясепс!Ь о( ап орегасог апсс !Ся асс/о!иг. $)ейпе Иге тпет ргаг/ис/ оп У !и СЬе ивиа$ ячау: (5.2.22) (Рй)г = ~~ Р" (,/', г' — 2/)й/ А7~ (и, и) = ~„игес »7' (5.2.15) и Ьеге и апд а аге ссейпеИ со Ье гего оисяЫе б. Оейие сйе ггаиярояе А* о/ А:У. У сп СЬе ивиа1 счау Ьу и=1, Ь;=О, /~й (5.2.23) (Аи, и) =(и,А и), Ыи,ив У (5.2.16) 1 1 1 3 2 з ~] 1 0 — 1 — 2 Рейшпй А(/, /) = 0 сог г 6 б ог /'$(5» сче саи счг!Се (Аи,с)=~,~ А(!,/)и; /К=~~ А(!,/г — !)икса г/,7к ' смг (А"и)к= ~ А(!,к — г)ш= Х А(!+/г, -!)икн= 2, А*(/г,!)ак+г (5.2.18) »7' »7' Сяг' я Непсе, яче оЬсасп сЬе (ойосч!п8 ге1айоп Ьесеееи сйе ясепсг!в ог" А апсс А: 8$епсй посайоп 1ог ргосопйайоп орегасогв 1( К У вЂ” ° (/, сйеп К* (/- (/!я а рго!оийаИоп.
ТЬе всепсй о( К' и ой!шпек! !и випйаг (авЬюп м сйас о( А'. $)ейшп8 К(г,/) = О $ог /6 б ог /6 Бп, гче Ьаче (Ки, й) = 2~К К(г',/)иицйг= ~~ К(г,/г — 2/)икйг К/Вг' вКга ЕссиаИоп (5.2.21) вйосчя Ьояч со ссейпе Иге всепсП о( а рго!опйаИоп орегасог Р:й Непсе, а сопчеп!епс свау со дейпе Р !в Ьу врес!(у!ий Р*. ЕссиаИоп (5.2.22) Ь сйе всея!гесс всепсг1 посайоп $ог рго!опйаИоп орегасогя. Биррояе а пг!е Ьм Ьееп врес!йесс со ссесегш!пе Рй 1ог 8!чеп и, сйеп Р (/г, пг) сап Ье оЬСа(пес! ав Гойогчв.
СЬоове й = йк м Гойогчя Рго1олзатвзл алзс гев!т!с(1ол 1л!егро!айвз тталз~ег оретатотя Р*()г~1)=(Ро )2»»1, УтвС,!ВС. (5.2.24) (Рй)2зле, = т(йт+ и!+» ) (Рй)2! — Й! (РЙ)22+ е~ + »*+ о (Рй)и= йь (Рй)2!»! =с!(йт+ й!»!) (5.3.1) фт, Е (Р*)=з(1 2 1! (5.3.2) А Н т, с д о Ь е с А в И ТЬеп (5.2.22) х!Уев Р*(!т, ! — 21;) = (Рф»)ь сзт 1п ойег вогсЬ, [Р")» 1з ргеспе!у сЬе !шахе оГ о" вийе! Р. ТЬе изе$и!певв оГ зсепсз! посабоп в!!1 Ьесоше !псгеаз!пх!у с1еаг си вЬас Г011овв. Ехегсзве 5.2.1. Чеп(у сЬас (5.2.19) апсс (5.2.21) ипр!у йас, (Г А апд К аге гергевеисед Ьу и!а!пеев, А* апд К' Го!1ов Ггош А апсс К Ьу !исегсЬапхспй говв апд со1шипз.
(Кепзаг1с: $ог с!= 1 сЫз П еазу; сот с( > 1 сйз ехегс!ве !в а Ьзс сесЬшса1!и йе саве оГ К.) Ехегс$ве 5.2.2. ЯЬов йас!Г сЬе тпа(пх гергезепсабоп оГ А:У- У !в зуизизеспс, сЬеп Ьв »сепо!1 Ьав сЬе ргорегсу А(!т, !) = А(!г+ !', — !). 5.3. 1п(егро!айяд ГгапзГег орега(огз Ъ(те Ьепйп Ьу х!т!пх а пшпЬег оГ ехашр!ев оГ рви!пиза!!оп орегатогв, Ьазед оп зпсегро!асюп. Уегвех-сев!гесс рго1опаат!опв Еес г(= 1, апй 1ес С апсс С Ье чепех-сев!сед (сГ. Рсйиге 5.1.1).
Рейв!ай Р:(1- У Ьу!!пеаг спсегро1асюп, ве Ьаче Оз!пй (5.2.24) ве Гсвг сЬас сЬе зсепс!1 оГ Р" П д(хеп Ьу 1п Сво сс!шепз!оив, йлеаг!л!егро!айол !з ехаст Гог Гипс!!опв Г(хз,хз)= А 1, хз, хз, ап6 са)сез р1асе ш !папа!ез, сГ. Р(Ките 5.3.1. СЬооз!пх спап! ВР апд АСГ) Гог !псегро!абоп, опе оЬсапз ив =йл, и»=т(Й»+йв). я ев Р!вил» 5.3.1 !всегро!а6ои си гво сйшеияопв, тепех-сев!!яд зиса. (Соагзе згИ роси!в: сар!Са! 1ессетя; Йпе Вгй ро!псз: сарав! апсс!овег саве 1еиегз.) и, = 2 (йв + йо) есс. Ассегпабче!у, опе шау сьоове ст!апз1ев АВс апз) ВОс, вЫсЬ ша)сев по еззепба1 ййегепсе. Вйпеаг 1псегро1асюп В ехасс Гог сипсСюпз У(хз, кз) = 1, хь хз, хзхз, апд Са1»ез р!асе ш йе тес!ива!е АВСХ).
ТЬе ойу йГГетеисе вЬЬ Бпеы шсегро1ас!оп В йас пов и, = 2»(ив + ив + ис + ип). 1п осЬет войт: иг+е зо=з(йз+ й;„, + йз+о+й!»»л!) вгСЬ е! (1 О) ап6 ез=(0,1). А йзабчапсаае оГ 11пеаг !псегро!а6оп П сЬас, Ьесаиве оГ сЬе агЬзсгаппевз ш сЬооз!пх йе гйгес6оп оГ сЬе йайопа1в оГ сЬе 1псетро!а6оп ст!апасез, йеге шау Ье а 1озв оГ вупипесгу, сЬы П, Н йе ехасс зо!и6оп оГ а ргоЫепз Ьав а сепшп вуиипепу, 1с шау Ьарреп йат СЬе пшпепса1 восисюп доев пот герго6исе $$ив вупипесгу ехасс!у, Ьис оп1у в$сЬ сгипса6оп еггог ассигасу. В!11пеаг (ог сп1зпеат ш йгее 6!шеия!опв) шсегро1а6оп ргевегчев вуиипесгу ехасс!у, Ьис 1шеаг шсетро1абоп св сЬеарег, Ьесаиве оГ зтеасег врагвпу.
Моте десЫП оп сЫв вй Ье хсчеп 1атег. 1псегро!асогу рто!пиза!!оп 1и йгее д!шепяопв 1в всгащЬс(огватсс. Рог ехашр!е, ипсЬ сп!1певт шсегро!ас1оп (ехасс сот Г(хз, хя хз) = 1, хп хз, кз х,хз, хзхз, хзхз, хзхзхз) опе оЬсахп (РЙ)м+ е~+е~ = »(Йз+ Йс!»! + М!+»з+ Йт+ о+»!) з =-(тйз+ ~~ йт+»,+ й!»»+и+ й!»о+»~+ Йг+»з+», + йз+е,+о»»з) (5'3З) =! 1п 6иее д!шепа!опв, Впеаг спсегро!асюп са1тез р!асе ш сестаЬес1га.
Соив1»$ег сЬе сиЬе АВСРЕРОН (Р!хите 5.3.2) вЬозе ветс!сев аге соагве атй ро!исв. А яисаЫе йгпяоп 1и сесгаЬедга П: ОЕВР, ОВРН, ОВОН, ВАЕО, ВАСО, Раиля 5.3.3 СиЬе сопявппв ос сватье вгИ ро!пся. 69 тлгегро!огглз !голзуег орегагогз Рго!оляайол алй геигкйол (РЙЬг=йь (Рй)м+е,=т(Й4+мг+е) (Рм )м+ 4 4 44 = т (м! а м» 4 + 44) (Рй)М44>+ а+4, = т(Й4+ Мт+е, +а+а) (5.3.4) н г, (Рм)и-г = (Рй)м = й, (5.3.5) Тпйпеаг 1п1егро)айоп 8)чек (5.3.6) (Рй)4 =тв(9йл+ Зйв+ Зйс+ йо) (5.3.7) (Рй), =-,'(Зйа+ йв) (Рм)в = -'(2йи + йа + Йв) (5.3.10) (5.3.8) ТЬе Йепега1 (от 1а 1з чету з р!е (5.3.11) (РЙ)з4+е = 4 (2Й4+4 + О) ВОСО.
ТЬе еййея о( тйеве 1етгаЬейга Ьаче Ьееп ве)сетей висЬ 1Ьат 1Ье г со- огтйпатея сЬапйе ш гйе ваше йиесйоп (равиче ог пейат)че) а1опй тйеяе еййев. Ыпеаг гпгетро)атюп ш 1Ьеве теггаЬейга!еайз го, «агЬ б Ьалпй !пйех 24 оп гйе Йпеы 8тЫ, Сей-сеп1гей рго! опйайопа 1.ет й=1, апй 1ег б апй б Ье сеП-септгей (сГ.
Рщиге5.1.1). Оейп)пй Р:(3-4 У Ьу р!есе«)ве сопв1апг )птегро1айои 8)чев )4)от!се 1Ьат 1Ье соагве ЙгЫ сей «61Ь сеп1ге а1 г' Ь 1Ье ипюп о( 1«о Опе 8гЫ сейз тч)1Ь сеп1гея а1 24' — 1 апй 24'. Е!пеаг!п1егро!атюп 8!чез (РЙ)ггтяй+4й4(рм)мгй4ггй 1п ттчо гйпгепяопя тче Ьаче 1Ье сей сеп1ге апапйешепт от" Р!8ите 5.3.3 ВП- !пеаг!п!егро)а1юп 8!чея ТЬе ча)иез от" Рй тп Ь, С, й (ойотч Ьу вупипетгу.
Ыпеаг 1п1егро)айоп !и 1Ье гпап81ев АВ)3 апй АСР 8)чез (гщ А Ьаз 1пйех г, 1Ьеп а Ьы шйех 2!) (Рй)тг — 4(304+ йгяе,+44) (Рй)в4 . = $(2йг44„+ й;+ й»4,4,) (Рй)Ъ+, +, = 4 (йг + ЗМ» 4 + 4 ) 1и 1Ьгее й)шеы)опв тче Ьаче 1Ье сеП септге аггапйешеп1 о( Рщиге 5.3.4. С () с й а Ь А В Ртзмге 5.3.3 Сей-септгей вгЫ ройс савйвигаг!ои ш ича й!гоевз!апя. (Саагзе сей сешгез: А, В, С, )3. Р!ие сеП сеиггег: а, Ь, с, 4!.) С 0 э Ртхиге 5.3.4 сеп-сеиггей ягы разит соийяигаг!ои!и гьгее и!таевя!оив.
(саагве сеп сеиггея: А,В, ..., Н. Р!ве сей сеитгез: а, Ь, ...,Ь.) (РЙ)а =зг(27Й + 9йв+ 9йс+ 9йв+ Зйг+ Зйи+ Зйо+ йц) (5,3,9) ТЬе ча1иев от Рй )и Ь, с, ..., Ь (ойотч Ьу зупипеггу. Рог Ппеаг 1птегро1айоп гйе сиЬе Ь й!явес1ей 1п 1Ье загпе 1е1гаЬейга ы )и 1Ье ченех-сеп1гей саяе, ТЬе ге)атюп Ьетаееп соатзе апй Йпе сей 1птйсев В апа1ойоив го 1Ьат ш 1Ье Пчойипеизюпа) саяе гергезептей гп Р)8ите 5.1.2. ТЬе соагяе сеП г )я 1Ье шйоп от" тйе ещЫ Ппе сейв 24, 24 — е, 2! — е — ея (Й Ф а), 2! — ег — ез — ез СЬоов1п8 1Ье т' ахея ы )пгйсатег1 1п Рщше 5.3.4, тйеп 8 Ьы )пйех 24, !( б Ьаз )пйех г.
Ыпеаг )птегро)айоп 81чев, (ог ехаптр!е, ьете О= О;+й4+„4„+„, е=(0,0,0) ог е= е (а=1,2,3) ог е= е„+ ез (4,, Й = 1,2, 3, и ~ ф) от е = ег+ ез+ ез. ТЬе втепс!!в о( 1Ьезе сеП-септгей рто)опйайопя аге 8)чеп )и Ехегс!яе 5.3.3. Воипйагу птойзйсайопв 1п 1Ье сей-септгей саяе шогИсат)опв ате гойи)гей пеаг Ьоши!апея, вес тот ехыпр1е Ь)8иге 5.3.5. 1п гйе сые от" а МпсЫет Ьоипйагу сопйгйоп тЬе сог- гестюп 1о 1Ье йпе 8пй во1шюп В тета ат Пте Ьоипйагу, во 1Ьа1 тче оЬта!п 70 Ргасаазассаа аай гееспсдаа 71 /асеграяатз сгааяуег арегасагя 1 2 гяе соагве 8гЫ О Ье депо!ей Ьу (5.3.15) Соогяе Рсяиге 5.5.5 Иве авй соагяе Згш сеия.
Ки!е (ог всаИв8 о( К (5.3.16) Кев1псйопв К = аР* (5.3.12) (Ки)с = аии (5.3.17) (5.3.1 8) сир+ тя ) 2т (5.3.13) (5.3.14) (Рй) = г йс. Непсе, все оЬсаиз всепсИ (5.3.24) вч1Ь сч = О. ТЬе 8епега$ саяе Ь са)сеп $п1о ассоипс $п (5.3.24) 1о (5.3.28). %'ьеп ап е1егпеп1 $п сье яепс$1, «чсь ча1ие сч вау, гегегв со а гипсйов ча1ие ас а ро1пс оисвЫе 1Ье 8г(й О, сч = О $п 1Ье счЬо!е всепсс! а1 1Ьас ро)пс, оСЬегсччве се = 1; апс$ вйш!яг1у $ог е, и, з,у, г. 1п ргасйсе 1Ыв ск соипд со счог)с Ипе Еог осЬег !урез ог Ьоипдагу сопсИИоп ая счеИ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
