Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis, страница 93

/ /' Пер!ас(п8 ш (Ь)в ееау (Ье Ь," !п (8.8.6), (8.8.7) вув(егпаПсаПу Ьу р," ап(Г (Г(г), опе оЬ(а!пв: (8.8.15) ТЬе А!Пег!Лип оГ Випеп>ап. Аввитрг(опс Соле((/ег йе вувгет оГ едиаиопв (8.8.2), >е!й (7 = 2'+ ' — 1. (0) Гп(Г(а!!гас(оп: Риг р(о>, 0 с)(о>, Ь/ ! 1 2 с/о '= (Г. (1) Рогг=О, 1,...,Гс — 1: Рог/'= 1, 2, ..., (7,~):=2! ' — 1: Сотриге йе во!ииоп и о7' йе вувгет о7' ес/иаг(опв А'и = Ра/ ! + Ра/,,! — (/г/ (г) (г) ( ) Ьу теалв оГ йе Гаегог(гаг!оп оГ ТГ>еогет (8.8.8) аа! риг р"+ '):= ро) — и, (Г'+ '):= (Г(') + (Г(" — 2р"+ ". > 2/ / ' 2/ — ! 2/е! (2) 0егегт(пе йе во!иВои и оГ Яе вувгет оГ ес/иаг(олв Аши = 9(а), и=9! ал(Г риг га' = г(а):= р"' + и.

! ! (3) Рог г = !с — 1, !с — 2, ..., О: (а) Рш в(а/):=г/(ге "аког/ = 1, 2, ..., (Г,~! (Ь) Рог Г = 1, 3, 5, ..., (7, (Гегегт(ле йе воГипоп и оГ йе вувгет оГ е(Гиа(Гола А "и = ф) — в(Г) — ф, ал(Г риг г(Г), р(Г) (4) Риг г:=г(~>. ТЬВ шейо(! Ь (сегу еГПс!епг: Ап орегаВоп соил( вЬотв ГЬа! Гог (Ье во1иВоп оГ йе шо(Ге! ргоЫе>п (8.4.1) (а = Ь = 1, р = (Г = Х = 2"+ ' — 1), (е!ГЬ >(в М~ ип!(поегпв, опе гес!шгев арргохипа(е1у 3)(М' = ЗАГ' 1о8, М шиЬ!рПса(!опв апс! аЬои( йе вап>е пшпЬег оГ а(!й(!опв. Ап апа!угПв оГ ГЬе пшпепса! в(аЪПЬу оГ йе гпейо(Г сап Ье Гоип(Г )п Видео, Сго!иЬ, ап(Г Х!еЬоп (1970).

622 8 Иегвичо Ме|оос|в Гог ||се Во!оиоп оГ |.асье Вув|ооа ог Йоеаг Ес|оаг!сов !п йе (опп с)евспЬес$, йе п|е|Ьос) вегчев |о во1че йе сИвсгег!вес) ЕИпсЫе| Ьоипс)агу-ча!ие ргоЫеш Гог йе РоЬвоп ес(иасюп оп а гес|ап8«1аг с)оша)п. ТЬеге аге чапап|в оГ |Ье шегЬос( Гог йе во1и|юп оГ апа!о8оив Ьоипс)агуча1ие ргоЫегпв Гог йе Не!шЬо)гг ес(иа|юп ог йе Ьйаппопк еср|а6оп оп гес|ап8и!аг с)оша(пв. Хе|чег гес(исг!оп шегЬос)в |ч!|Ь ечеп Ъепег в|аЬ|И|у ргорегбев Гог |Ье во)игюп оГ висЬ ргоЫешв аге 8(чеп, апс( ехгепв!че!у вгисИес), Ьу ВсЬгбс)ег, ТгопепЬег8, апс( ВеигегвЬег8 (!976). ТЬеге аге, |и ас(сИ|!оп, гпоге сошрИса|ес) чегяопв оГ йеве шейосЬ Гог йе геврес6че сИвсге|Ьес1 Ьоипс(агуча)ие ргоЫеп|в оп попгес|апВЫаг с)оша)пв Гвее ВихЬее апд Рогг (1974); ВихЬее, Рогг, Оеог8е, апс! Оо!иЬ (1971); Ргов)сигосчв)с! апс( "чч)с()шк$ (1976); О'1.еагу апс) %Ы!ипс) (1979Ц.

%Ы!е йе ше|Ьодв 6!всиввес) аге сИгес| апс) поп)гегаг)че, сошре66че Иега6че ше|ЬосЬ сч!|Ь виЬяап6аПу ппргочес) сопчег8епсе ргорегбев Ьаче гесепбу Ьееп с)ече(орос). Ехашр!ев аге |Ье оси(гГдг!с( шейосЬ апс( пюс)егп с(оп|а!а |Гесоо|роыг(ои ше|Ьос)ь, счЬ|сЬ аге гарЫ!у Ье|п8 с)ече1орес). ТЬе рппс!р!ев оГши!68пс) шегЬос(в |ч(П Ье Ъпейу ехр1а!пес) |п |Ье пех| вес|юп. %!|Ь геврес| |о 6оша!и с)есошроя6оп ше|Ьос(в, «е геГег |Ье геас)ег |о |Ье врос!а! Игегагиге, Гог шв|апсе, СЬап, О)осч(пв)с(, Репаих, апс) 9%с)1ипс) (1989); О!осч(пв)су, Оо1иЪ, Меигап|, апс) Репаих (1988); апс) Кеуев апс) Огорр (1987). 8.9 М(11Г(дГЫ МЕГ11Од8 Ми!68гЫ п|е|ЬосЬ Ье1оп8 |о |Ье пюв| ейк!епг ше|Ьос)в Гог |Ье во!«6оп оГ йове Ипеаг ес)иа6опв |Ьа| гевиИ Ггош |Ье сИвсгебга6оп оГ с)!ГГегеп6а1 ес)иа6опв.

Ав йеве ше|ЬосЬ аге чегу Пех!Ые, |Ьеге аге шапу чапап|в оГ |Ьеп|. Неге, |че чг)вЫо ехр!аш оп1у йе Ьаяс к1еав ЬеЬ!пс) |Ьеве ро|чег(и! ше|ЬосЬ, апс! с(о й|в ш а гайег яшр1е я|иабоп, вЫсЬ, Ьоччечег, а!геас)у гечеа1ь гЬе|г |урка! ргорегбев. Рог а с)ега!)ес) |геа|шеп|, |че Ьаче |о ге(ег |Ье геас)ег |о йе врес!а1 И|ега|иге, Гог шьгапсе ВгапсИ (1977), Нас1сЬивсЬ апс) Тго||епЬег8 (1982), апс) ш раг6си!аг |о |Ье гпопо8гарЬ оГ Нас1сЬивсЬ (1985).

Оиг сгеа|- п|еп| Го)!осчв |Ье е1е|пеп|агу ехроя|юп оГ Вп88в (1987). 1пьгеас1 оГ Ьоипс)агу ча1ие ргоЫешв Гог раг6а! сИ!Гегеп6а! еср|а|юпь, счЬеге ши(118п6 п|ейосЬ Ьаче йе|г 8геа|ев| ппрас|, «е оп1у сопяс)ег йе|г аррИса6оп |о |Ье Ьоипс)агу ча!ие ргоЫеш Гс(. (7.4.1Ц вЂ” у (х) = Г(х) Гог х е Й:= (О, и), (8.9.1) у(О) = у(х) = 0 Гог ап огсИпагу с)ИГегеп6а! ес!иаг)оп, вЫсЬ сап Ье ч!еччес) ав |Ье опесИп|епвюпа! апа!о8 оГ йе гсчо-сИ|пепяопа! шос)е1 ргоЫеш (8.4.1). ТЬе в|апс)ап1 сИвсге6ха|юп (вес Яессюп 7.4) сч(ГЫЬе 8пс) в!хе Ь = и/и 1еасЫо а опесИгпепяопа! 8пс) Й„= (х, = 76!7' = 1, ..., и — 1) ~ Й апс1 |Ье Го!1о|ч(п8 ве| 623 89 Моюапа Мохоров оГ Гшеаг ег)паг!опа 1ог а чесгог и„=(иа„..., и„.„,) оГ арргохппаГюп8 иа! - у(х,) Гог 1Ье ехасГ 8о101юп у оп ГЬе 8пг( Йв: ТЬе !пг)ех Ь а(хо шгПсаГек ГЬаГ ив апП /в сап Ъе ч!ечгег! аа Гипс!!опа оп йе 8гЫ ввв.

ТЬегеГоге, вче гЫП 8ошеГппеа вчг!ге йе/1Ь сошропепг и„,; оГи, ах йе ча!пе оГ а дгЫ /илсг!ои и„(х) Гог х = хг а вв», иа„= и„(х;). ТЬе гпагпх Ав !8 а шагпх оГ оп!ег (л — 1), Гог вчЫсЬ гЬе ев8епча1пех Лвв' апг) е!8епчесгогх гвв' аге )гповчп ехрПаПу (сГ Бес!!оп 8.4): гвп:= (яп И, яп 2(гЬ, ..., 8т(п — 1))й)~, (8.9.3) 1в .—— — 4яп — = (1 — сох(гЬ), (г=1,2,...,и — 1. <ц.

Ь' ТУПк !8 еая1у чепБЫ Ъу сЬесЫп8 Авг)п = Л),"ф"', /г = 1,..., и — 1. ТЬе чесгог8 гвп Ьаче йе Епс1Ыеап попп !Щ'!~ =,/и/2 апг( аге оггЬо8опа! го еасЬ огЬег ГТЬеогеш (6.4.2)3. !Г чге соп8Ыег Гог Ггхег) lс йе согпропепга яп/Гй = 8!п(РТш/и) оГ йе е!8епчесгог г'„и аг йе 8гЫ Ро!пга х! о! ()в Гог/ = 1,..., л — 1, чче 8ее йаг гЬе 8гЫ Ьвпсбоп га' = гвв' г)ехсг!Ъех а вчаче оп ввв вч!1Ь "1гег(пепсУ" Гг апв) "вчаче- !еп8гЬ" 2и//с: ТЬе пшпЪег /г !ця 8!чех 1Ье пшпЬег оГ Ьа)Г-вчачеа оп Г)в (хее г!8пге 32 Гог и = 6, Гг = 2). 0.5 — 0.5 г!8пге 32 ТЬе дпЫ Гппсбоп го'. 1п огг)ег го ягпрПГу йе погабоп, чче огпП 1Ье !пв(ех Ь оссаяопаПу, !Г П га с1еаг Ггогп ГЬе сопГехГ Го вчЫсЬ 8пд 8!ге Ь апг( 88Ы Г)в ГЬе чесгога и = и„, Г = /в апв) ГЬе шаГпх А = А„Ье1оп8.

2 — 1 О 1 — 1 2 (8.9.2) А„ив = /в Ал:= Р О .. — 1 — 1 2 Г(х, ) /(х~) /(х„,) 624 В Ггегаиае МегГгогГа Гог ГГге Во!пггоп оГ Еагае Булгепгл оГ Ыпеаг ЕггпагГопл Опе пгоВчаВоп Гог ти!Г!8ГЫ теГЬог)в гв соппесгег) пг!ГЬ ГЬе сопггег8епсе ЬеЬаг!ог оГйе агапе)агг! !Гегаг!пе теГЬог)в (8.1.7) апг) (8.1.8) Гог во!лг!п8 Аи = /: %е вгиг)у ГЬ!в !п гпоге г(ега!1 Гог йе ХасоЬ! теГЬог) (8.1.7). ТЬе авиа! г)осетров!Г!оп (8.1.5), (8.1.6) 2 Рл = А = )7„(1 — У„), оГ А = Ал 1еаг)в Го йе гпагпх оГ огг)ег ( — 1) 12 Г=Ул =1 — — Ал =— 2 2 )2 о'"' = .!ого + — /; 2 ТЬе еггогв е":= пго — и оГ йе Ьегагев ого йеп вас!в(у ГЬе гесигяоп егеег) уеггг = уг+! его> С1еаг1у, ГЬе ГГегагюп тагпх о = .гл = à — (Ьг/2)Ал Ьав йе е!8епча)иев Ьг Гг =Ггл =1 — — ггл =сов(гь, )г=1,...,п — 1, 2 Ьш вгВ! йе вате е!Вепггесгогв г16 ав А„.

1п огг)ег го апа1уге йе ЬеЬагАог оГ ГЬе еггог е ипг)ег ап !Гегаг!оп вгер е — е = уе, гпе гепТе е ав а Ипеаг сотЬГпа- Воп оГйе е!8епчесгогв г"' = ггллг о!У =.lл (сГ 8есбоп 6.6.3), е = р,ггп+ . + р„,гг" ". ТЬе гее!8ЬГ р, теавигев ГЬе !пПиепсе оГ Ггег)иепсу Гг т е. Весаиве оГ е = РГГггг'гггг+. +Р„ГГгг" пго г' апг) 1 > Гггп > Гггп » ." р'" "= — Ггиг > — 1, лге вес йаг аБ Ггециепс!ев )г = 1,..., а — 1 аге г(атрее( гп е, Ьиг Го а г(!ГГегепг ехгепг.

ТЬе сепгга! Ггег!иепсгев Гг ж и/2 аге г(атрее( товЬ ГЬе ехггете Ггег(иепс!ев Гг = 1 апг) и — 1 оп1у в!!8ЬГ!у. ТЬе г)атр!п8 оГ йе 1аг8е Ггег)иепс!ев Гг лг!ГЬ и/2 < Гг < и — 1 сап Ье пшсЬ !тргоггег) Ъу !пггог(ис!п8 а вшгаЫе ге!ахаВоп Гасгог пг !пго ГЬе Ьегабоп гпагпх. То ГЬ!в епг), еге сопв!Г)ег а в1!8ЬГ!у тоге 8епега! Г)есотров!г!оп оГ А Гс(. (8.1.3), (8.1.4),(8.1.7)1 г)еГгпег) Ъу А = А, =  — ( — А) гг!ГЬ В:= (1/ог)В, апд йе ЬегаВоп оГ ГЬе уасоЬ! теГЬог! О 1 О 1 О 1 О 1 О 625 8.9 Ми!|сапа Ме!)»оай а)ЫсЬ 1еадв |о йе да)пред ЗасоЬ!' |лейод чч!й |Ье ||егадоп гп!е „о+и /(со)осо + о' Г,г/.

2 (8.9.4) ш |еппв оГ |Ье ша|пх 3»(со) = 3(со):= (1 — со)Г + о»Г. ТЬе оп8!па) УасоЬ! п)ейод соггевропдв |о со = 1, .Г(1) = У. С1еаг1у, йе е!8епча!пев р!"(со) = ))1й)(со) оГ 3(о)) аге 8!чеп Ьу 2 (8.9.5) /)!")(о)):= 1 — со + о)))сй) = 1 — 2о) япг —, /с = 1,..., л — 1, 2' апд йеу Ье1оп8 |о |Ье ваше е)8епчессогв га' = г)й) ав Ье(оге. Хо)ч, ап ПегаПоп в|ер |гапвГоппв |Ье еггог ав ГоПоччв: е = ~) рйгс )- е = Л(о))е = 2 рй/)! '(о))г'й'. й=! й=! (8.9.б) 8)псе !)ссй)(со)! < 1 Гог аП О < со < 1, )с = 1,..., л — 1, аП Ггес!пепс|ев Гс чдП Ье дашрес( К О < со ~ 1.

Но)чечег, Ъу а вш|аЫе сЬо|се оГ со П !в ровяЫе |о дашр |Ье ЫПЬ Ггеср|епаев л/2 ~ Гс ~ л — 1 шов| ЬеачПу. 1п рагдсп!аг, п|ах !)с!"(о))! »)гвйвп — ! Ьесоп)ев |п|пппа1 Гог йе сЬо|се со = 2/3, апс! йеп !)ссй)(о))! < 1/3 Гог л/2 < /с ~ л — 1: |Ье ше|Ьод ас|в ав а "япоо|Ьег," ав |Ье Ь|8Ь-Ггес(пепсу овс|ПаПопв аге япоойед оп|. Хосе |Ьа| |Ье дашрш8 Гас|ог 1/3 Гог |Ье Ь)8Ь Ггецпепс!ев с)оев по| дерепд оп Ь, Ьш |Ье очегаП дап) р|п8 Гас|ог п)ах, ~ р)й)(со) ~ = р'"(со) = 1 — 2со япг (Ь/2) = 1 — 0())г) сопчег8ев |о 1 ав ))10, во |Ьа| йе сопчег8епсе гаге оГ |Ье дап)ред уасоЪ! п|е|Ьос1 с(е|епога|ев ав 6 |епдв |о гого (сГ. йе д!вспвв!оп ш ЗесПоп 8.4).

!п апу саве, айег ге1адче1у Ге)ч в|ерв оГ |Ье дашред ЛасоЪ! п|е|Ьод опе Йлдв ап Пегасе осп = о!»)) )ч!!Ь ап еггог еш = осп — и = р",гсп+" + р||) г'" " солса!шп8 а1п|оя по Ь~ПЬ Ггес!пепе!ев апуп|оге: |пах !р'„'! «шах (рй!))). н)гвйен )ейен)2 » — | )'» = — г рй! й» г» о) % |и сй) сй) й=! Хо)ч йеге !в а печч сопв|дегадоп |Ьа| соп|ев |п|о р(ау: ТЬе чешог е'„л !в йе ехас| во!одоп оГ |Ье вув|еш А,е'„л = — 4', )чЬеге г»о = /» — А»о)л !в йе гев!дпа! оГ и'„'; Ьепсе |Ье десошроядоп оГ 626 8 Пьгааче МеЬаоаь Гог Ьль Во!иаол оГ Пагве Вуь!епьь оГ Гппеьк Ециадоль еввепГ)а11у сопяа)пв оп1у сопгпЬиГюпв оГ ГЬе 1оьчег Ггеь(пепе)ев. Впя а "1опд ьчаче" дгЫ Гппсдоп д„оп й„сап Ье арргохппаяег) ь(шГе ьчеИ Ъу а дПг( ГппсОоп дьь оп ГЬе соагвег англ) йьь = (/'.