Golub, Ortega - Scientific Computing and Differential Equations, страница 9

ТЬе тпСетро1автоп рто11етп !в Со йпй а 6шсгюп д СЬаС ваС!вйев д(х ) = ув, т' = 0,1,...,п; (2.3.1) Тнкопкм 2.3.1 (Ех!вгепсе апй 1)п!сСпепевв 1ог Ро1упош!а1 1пгег- ро1агюп) 1~хо,хт,...,х„аге йтв1тпс1 пойев, СйепВот апудо,дт,...,у„ СЬеге ехтввв а иитдие ро!употита1 р(х) о) йедгее и ог 1евв, висЬ Сйав р(х,) = д„ (2.3.2) т = 0,1,...,и. Ртоой ТЬе ех!вСепсе сап Ье ргочей Ьу сопвггпсС!пх СЬе йадтапде ро1упоитта(в йейпей Ъу (х — хо)(х — хг) (х — хв г)(х — хвос) (х — х„) в(х) (х — хо)(хв — хг) (хв — х„-г)(хв — хв+г) (х, — х„) (2.3.3) у =0,1,...,и. 1С Св еаву Со чег!Гу СЬаС СЬеве ро1упош!в)в, итЬ!сЬ аге а11 о1 йейгее и, ваС!в!у ! 1 Ыт= в 1,(х,) = г (2.3.4) ТЬегероге 1 (х)ув Ьав СЬе ча1пе 0 аС а11 пойевх„ 1 = О, 1,...,и, ехсерС 1ог х , тчЬеге 1,(х .)у = д,.

Т1пж, Ьу йейшпа р(х) = ~ 11(х)ув в=о (2.3.5) !! (2.3.1) Ьо1йв ите вау СЬаС д шСегро1агев СЬе йаСа. ТЬеге аге шапу Сурев о1 роев!Ые ГппсС!опв д СЬаС ш!8ЬС Ъе овей, Ъпг СЬе 1ппсС!опв о1 !пСегевС ш СЬ!в весС!оп чй11 Ье ро1упопйа)в. 1С !в с1еаг СЬаС а ро1упоппа1 о1 а 8!чеп йеагее сап поС а1тчаув Ье Гоппй во СЬаС (2,3.1) гв ваС!вйей. Рог ехаптр1е, !Г СЬе йаСа д, аге а!чеп аС СЬгее й!вС!псС пойев, по ро1упопйа! оГ йейгее 1 (а 11пеаг 1ипсСюп) сап ваС!в!у (2.3,1) пп1евв СЬе йага 1те оп а вСга!8ЬС 1ше.

Оп СЬе оСЬег Ьапй, СЬеге тв а ро1упоппа1 о1 йе8гее 2 апй шйпйе!у гпапу ро1упоппа1в оГйейгее 3 итЬ!сЬ ваС!в(у (2.3.1). ТЬе Ьвв!с гевп1С 1ог ро!упоппа1 шСегро1аСюп !в а!чеп ш СЬе Гойотч!па СЬеогеш. 2.3 РОЕ,УХОМЕАЕ 13(ТЕЕЕРОЕ АТЕОЖ арче Ьаче а ро1упопиа1 оЕ йецгее п ог 1евв СЬаС шСегро1аСев СЬе йаСа. То ргоче ип!гСиепевв, виррове, оп СЬе сопСгагу, СЬаС СЬеге Св апоСЬег шСегро1аСш3 ро!упопиа1 оЕ йедгее и ог 1евв, вау д(х).

Ву йейп!п3 г(х) = р(х) — д(х) ъче оЬСа!п а ро1упопйа1, г, оЕ йе3гее и ог 1евв СЬаС !в ег1иа1 Со кего аС СЬе и+ 1 й!вС!псС рошгв хо, хг,..., х„, Ву СЬе ЕипйашепСа1 СЬеогеш оЕ а1деЬга, висЬ а ро1упопиа1 шивС Ье 1йепС!са11у ес!иа1 Со вега, апй !С Ео11огчв СЬаС р(х) = д(х). ТЬив, ип!ииепевв 1в ргочей. Ав ап ехашр1е оЕ ро1упопйа1 шгегро1аСюп, 1еС ив йеСегпнпе СЬе ро!упопна1 р(х) оЕ йедгее 2 ог 1евв СЬаС ваС!вйев р(-1) = 4, р(0) = 1, апс1 р(1) = О.

ТЬе !пгегро1аС!пд ро1упопйа1 (2.3.5) !в р(х) (х — 0)(х — 1) (х — (-1))(х — 1) (х — ( 1))(х — 0) (-1 — 0)(-1 — 1) (Π— (-1))(0 — 1) (1 — (-1))(1 — 0) 4+ 1+ 0 2х~ — 2х + 1 — х + 0 = х~ — 2х + 1. Опе сап евв!1у чего СЬаС СЫв р(х) йоев 1пСегро1аСе СЬе 3!чеп йаСа. Еггог ЕвСппаСев Тнкопкм 2,3.2 (Ро1упоппа1 1пСегро1аСюп Еггог) Ее! Дх) бе а ЕипсССоп ипй и+1 сопССпиоиз ЙегСчаССиез оп ап гпгегва! сап!а(п1пд йе ЙзССпсС пойев хо < хг « .. х„, Еу р(х) гз йе ип1дие ро1упот1а1 оЕ Йедгее и ог 1евв за!а~у!од р(хг) = Е(хв), 1 = 0,1,..., и, йеп Еаг апу х й [хо, х„], (х — хе)(х — хг) (х — х„) (и+ 1)! (2.3.6) Еог вате в, йерепйпд оп х, Еп Яе ьпСегва1 (хо, х„). чче пехС сопвуйег СЬе с!иевС1оп оЕ ассигасу 1п ро1упогша1 !пгегро1агюп.

1п тпапу арр1!саСюпв оЕ !пСегро1аС!оп СЬеге !в ваше ЕипсСюп Е йейпей очег СЬе епгпе шСегча1 оЕ шСегевС, ечеп СЬои3Ь ча1иев аге изей оп1у аС й!всгеСе ро!пСв со йеСегш!пе вп 1пСегро1аС!пц ро!упопиа1 р. ТЬив !С !в оЕ шСегевС Со й!всивв сЬе й!всгерапсу ЬеСитееп р(х) апс1 Е(х) Епг ча1иев оЕ х СЬаС 1!е ЬеСгчееп СЬе пойев. ТЬе Ео11ожшд СЬеогеш 3!чев ап ехргеввюп Еог СЬе еггог !и Сеппв оЕ Ь!3Ьег йепчаС1чев оЕ Е: 40 СНАРТЕЯ 2 1ЕТТ11ч'О 1Т Е7Х: 11ч1Т1А1 ЧАНГЕ РЯОВ1'ЕМБ 'чме шсПсасе а ргоо1о1 СЫв СЬеогепт ш СЬе Бирр1етепсагу ЬПвсивя!оп о1 СЬгв весс!оп; Ьеге сче оп1у сПвсивв вопсе о1 Пв гапийсасюпв. Г!гвс о1 аП, !1и 1в ас аП )агце (ечеп 4 ог 5), П счП1 ргоЬаЫу Ье йППстйс, И' поС ипровв1Ые, Со сотрисе СЬе (и + 1)СЬ йетсчаС!че о1 1.

Ечеп 11 и 1в оп1у 1 (Ппеаг Спсегро1аСюп) апс1 оп1у СЬе весопй йет(час!че о(,т !з пеейей, СЫз асяс тау Ъе ппроввЬЫе 11,1 !з ап ип)спосчп 6шсгюп 1ог счЫсЬ ча1иев аге Ьпоччп оп1у ас яотпе й)ясгесе рошсв; ас Ъевс, чче пйПЬС Ъе аЫе Со евсппасе вате Ьоипй 1ог СЬе весопс1 йет)час!че оп СЬе Ьав1в оГ ош аввшпей 1спочч1ейде о1,1. 1п апу саве, 1С чйП а1пюяс печет Ье СЬе саяе СЬас (2.3.6) сап Ье изей Со асме а чету ргес1ве Ьоипй оп СЬе еггог. 1С сап, 1юсчечег, Ъе иве1и! 1п ргочЫсп6 !пз!6ЬС шСо СЬе етгогв СЬаС аге ргойисей.

Аз ап ехатпр1е о1 СЫв, виррове СЬас СЬе рошсв х; зхе есСиаПу врасей чйСЬ врас!п6 6. ТЬеп П !в еаяу Со вее (Ехегс!ве 2,3.2.) СЬаС [(х — хе)(х — хс) (х — х„)[ < и! Й"+ 1ог апу х ш сЬе шсегча1 [хо, х„]. Т1пв (2.3.6) сап Ъе Ьоипйей Ьу М~ «-~-1 [1(х) — р(х)[ < и + 1 (2.3.7) счЬеге М = тах ]11"+ 1(х)]. во<ч<х ТЬеп, СЬе 6шсСюп д йейпес1 Ьу — 54~я+ 21 +1, — 6х+ 4, — 54хг + 93х — 38 — * — з — <х<— С г з — — з дв <х<1 д( ) (2.3.8) Р1есечч1ве Ро1упопиа1в ТЬе Ьоипй (2.3.7) !з, о1 соитзе, всП! йППси1С Со сотриге Ъесаиве о1 СЬе циапс!Су М.

Вис !С 1в ивебй 1п СЬе 1оПосч1пд в ау. циррозе СЬаС сче сч)зЬ Со арргохппасе СЬе 1ипсС!оп 1 очес а 6!чеп !пСегча1 [а, Ь) Ьу псеапя о1 рсесеипве ро1диотса(в, СЬас 1в, 6спсс!опв СЬас аге ро1упот!а)я оп 6!чеп виЫпсегча!я о1 [а, Ь). Рот ехатр1е, 11 а = 7е < ут « ~р < Трет —— Ь 1в а рагс!!!оп!пд о1 СЬе шсегча1 [а, Ь], апй д 1в а 1ипсс!оп СЬас !я сопС1пиоия оп [а, Ь] апй тя а ро1упопйа! оп еасЬ о1 СЬе шсегча1в (у,,-д~с), с = О, 1,, р, СЬеп д гв саПес1 а р)есесч)яе ро1упопйа1 1ипсс!оп оп [а, Ь]. Ая ап ехаспр1е о1 а р!есевйзе ссиайгаС!с 1ипсс!оп, виррове СЬас СЬе ча1иев о1 СЬе 6тпссюп 1' оп СЬе шсегча1 [О, 1] аге 6!чеп Ьу 2.3 РО1 Ъ ХОМ1А1 161ТЕКР01 АТ1011 41 0 1/6 123 1/2 2/3 516 1 Р!циге 2.9: А Р(есею1зе Яиаатайс Риис!!ои !в СЬе р!еское г1иадгаС!с 6шсСюп оп [0,1] СЬаС а3геев иСЬ 1 аС СЬе 3!чеп пойея, !я сопСшиоив оп СЬе йЬо1е !пСегча1, апй 1в а сСиасСгаС!с оп еасЬ о1 СЬе виЬшгегчаЬ [О, я], [я, Я], [я, 1].

ТЬ!в 1ипсС!оп !в вЬотчп 1п Г!3иге 2.9. Сопя!г(ег подач СЬе еггог 1п арргох!шаС!п3 СЬе 6гпсС!оп 1' Ьу СЬе 6шсС1оп д о1 (2.3.8). Яиррове СЬаС М !в а Ьоипд 1ог СЬе СЬш1 бег(чаС!че о1 1 оп СЬе епйге шСегча1 [0,1]. ТЬеп оп еасЬ о! СЬе шСегча1в [О, я], [я, я], апд [я,1], СЬе еггог Ьоипг1 (2.3.7) сап Ье арр1!ей; Ьеге Ь = яг, апг! и = 2. ТЬеге1оге 1,зМ ]Дх) — д(х)[ < — = —, 0 < х < 1 (2.3.9) 3 3 6Я' СЧ!СЬоиС 6иСЬег ш1оппаС!оп оп М, СЫв евС!шаСе доев поС 1игшвЬ а г1иап- С!СаС!че Ьоипг1.

1С доев, Ьожечег, вЬогч Ьоъч СЬе врас!па Ь епСегв СЬе еггог евгипаСе. 1п рагС!си1аг, арргохипаСюп Ьу р!есетч!яе г1иаг1гаС!св Ьав ап еггог евгипаСе СЬаС 1в 0(ЬЯ), во СЬаС !С 1в СЫСК-огс)ег. Н!3Ьег огйег арргох!шаС!оп ви!11 геви1С 1гош ив!пд р!есеиове сиЬгся ог Ь!3Ьег де3гее ро1упопиа1в. ТЬе Чаидеггпопде МаСг1х Ечеп СЬои3Ь СЬе !пгегро1аС!п3 ро1упопиа1 !в ип!г1ие, ав вЬойп Ьу ТЬеогега 2.3.1, СЬеге аге вечега1 а)СегпаС!че ~чаув Со оЬСа1п ог гергевепС СЬе ро1упопиа1, оСЬег СЬап Ъу СЬе Ьацгапце ро1упоииа1в. РегЬарв СЬе гповС Ьвя!с арргоасЬ гв СЬе 1о11отч!п3.

Яиррове СЬаС СЬе шСегро1аСюп ро1упоииа1 р !я р(х) = ао+ агх+ + а„х". ТЬеи ~че гчапС ао+агх;+ ° ° ° +а„х," =д;, 1=0,1,...,и. (2.3.10) 3!псе СЬе х,'я апг! СЬе д,'в аге 1спотчп, СЫв !в а яувгегп о1и + 1 1шеаг ег1иаС!опв ш СЬе и+1 ип)гпоггпв ао, ап..., а„. Ие ът!Се СЫв вувСегп ш СЬе шаСпх-чесСог 42 СНАРТЕЯ 2 1,ЕТТ1ХС 1Т РтХ: 1Х1Т1АТ, УА1, с1Е РВОВ ЕМБ 1опп 1 хо хо хо 1 хт хг хт ао ат Уо Ут (2.3,11) а„ г а ТЬе соейс!епС шаСг!х о1 (2.3.11), тчЫсЬ тче т!епоте Ьу Ъ', тв са!1ет! СЬе Уаи ТЬе ХеаСоп Еогтп ССте аввшпе потч СЬаС СЬе роштв хт аге ет!па1!у зрасет! тч!СЬ врос!пд Ь.

'чче с!еттпе т!!Кегепсев о1 СЬе С1аСа ут Ьу птеапв оГ Ьут = утят — у„апт1 Ь!3Ьег ЙСтегепсев Ьу гереатес1 арр1!сатюп о1 СЫв: "ягуо = т-"тут — т~уо = уг — 2ут + уо тт Уо = тт Ут тт Уо = уз 3уг+ 3ут — Уо (2.3.12) тг "Уо =У~ — 1 У -т+ 2 У -г — +(-1)"Уо, тчЬеге СЬе Ьтпоппа1 соейс!ептв аге 3!чеп Ъу и ') п(п — 1) ° ° ° (и — т+ 1) ! / 1! 1п Сегптв о1 СЬе т!!Кегепсев (2.3.12), тче т!ейпе а ро1упопиа1 о1 йецгее и Ьу (х — хо) (х — хоКх — хт) рв(х) = уо + Суо + г Ь уо (2.3.13) 2йг (х — хо)(х — хт) (х — х„т) и! Ь" т)егтпопт!с таггтх апй !я попе!пап!ах !!' СЬе х'в аге ЙвС!псС. (ТЫв вСаСешепС сап Ъе ргочет! ЙгесС!у гаСЬег еяя!1у, Ьпт поСе СЬаС яте а1геайу Ьаче ргочес! 1С 1пйгесС1у Ьу птеапв о1 ТЬеогепг 2.3.1, в ЫсЬ вЬовгет! СЬе ех!яСепсе апт1 ипк!пепевя оГ СЬе !пСегро1аС!п3 ро1упоппа1.

Рог 11 $' тчеге я!п3п1аг, СЫв тчои16 ппр1у СЬаС еЬЬег по !пСегро1аС!пд ро1употша1 ех!яСя Гог СЬе 3!чеп с!аСа ог ш6п!Се1у тпапу ех!яС.) ТЬе чапт!егшопт(е шагпх арргоасЬ !в яошегппев иве!а! Гог СЬеогеС!са) ригровев, Ьпт 1евв во 1ог сотпрптатюп о1 СЬе ро1упош!а!. Рог СЬе!аССет СЬе Ьа3гап3е ро1упоппа)я аге пвпа11у ЬеССег, ЬпС СЬеу аге поС сопчешепС !1 а пос1е тв ат!с!ет( ог Йоррет! Йод СЬе с1аСа. Рог ехашр1е, 11 (х„~т, у„ат) тчеге атЫей Со СЬе веС о1 т)аСа (хт, у;), т = О, 1,..., п, апт! тче тч!вЬет! Со сошрпте СЬе ро1упоппа1 о1 с!е3гее и+1 СЬаС !пСегро1аСет! СЫв С1аСа, СЬеп СЬе 1 а3гап3е ро1упош!а!я тчои1Й а!! Ьаче Со Ъе гесотпрптей ТЬеге 1в апоСЬег гергевепСаСюп о1 СЬе 1пСегро1аС!п3 ро1упоппа1 СЬат тв чету пве1п1 1п СЫя сопСехС; СЫв !в СЬе №втгои тост, тчЫсЬ яте потч т!евсг!Ье, 2.3 РОТ,УЕЕОМЕАЕ, 1ХТЕВРОЕАТЕОЖ С1еаг!у, р„(хо) = уо вшсе а11 геша)п(пй Сеппв ш (2.3.13) чашвЬ.

Я!ш!1аг1у, Рп(хг) = Уо + 1 (Уг Уо) = Уг (хг — хо) апй (хг — хо) (хг — хоНхг — хг) р„(хг) = Уо + Ь (Уг Уо) + 2йг (уг — 2уг + уо) Уо + 2(ус — Уо) + (Уг — 2уг + Уо) = Уг 1С Ев еаву Со чепЕу 1п ап апа1одоив чгау СЬаС р„(х,) = у;, г = 3,..., и, а1СЬоивЬ СЬе сошриСайопв Ъесоше 1псгевв1п31у Сегйоив.

1С гв оЕ шСегевС Со поСе СЬаС СЬе ро1упоппа1 р„оЕ (2.3.13) !в апа(одоив Со СЬе йгвС и + 1 Сеппв оЕ а Тау1ог ехрапвюп аЬоиС хо. Хозч виррове СЬаС хе агЫ (х„~ау„~г) Со СЬе ЙаСа веС. ТЬеп СЬе ро1упопиа1 р„~г СЬаС ваС)вйев Р з г(хг) = Уг, 1 = О, 1,..., л + 1, !в 3!чеп Ьу р .!.С(х) 1„(х)+, 2, (х — хо)(х — хг) (х — х„) апг1 1С !в СЕйв Ееагиге оЕ СЬе Ь(езчгоп Еопп оЕ СЬе 1пгегро1аС1пй ро1упопиа1 СЬаС 1в вошеС!шев ивеЕи1 ш ргасС!се, ТЫв !в япп1ог Со Са!г!пй опе пюге Сепп ш а Тау1ог ехрапв!оп. 1п СЬе пехС весСюп гче гч!11 иве 1пгегро1аС1пд ро1упош!а)в Со дог!че оСЬег шеСЬойв Еог СЬе во1ийоп оЕгйЕЕегепС!а! есгиаС!опв. ТЫв гч!!1 Ье йопе Ьу !пСейгаС- !пц ап 1пСегро1аС!пд ро1упош1а1, ЬиС опсе СЬе ро1упопаа1 Ьав Ьееп йеСепшпей осЬег шап1ри1аСюпв, висЬ ав и16егепС!аС1оп, сап а!во Ье регЕогшеи.