Golub, Ortega - Scientific Computing and Differential Equations, страница 8

ТЬегеГоге, СЬе шеСЬой 30 СНАРТКН2 ККТТПЧС7ТЕт: тттИЬ ткиКРНОВЬКМ3 БувСегпв оГ ЕССпаС1опв Же пехС 1пйсаСе Ьо~ч СЬе аЬоче теСЬодя сап Ье пвес1 Гог вузСегпв о1ес1паИопз. Сопя(дег СЬе вузгет (2.2.1), аЫсЬ чче чд11 счг(Се (п СЬе чесгог 1огт у (х) = С'(х, у(х)). (2.2.30) Неге у(х) депогев СЬе чесгог сч1СЬ сотропепгв Ус(х),...,у„(х), апс1 Г Св СЬе чесгог адСЬ сотропепгв,гп...,,с„. ТЬе чесСог у М11 депоСе СЬе ш(С(а1 ча!пев (2,2,2). ТЬеп Еп1ег'в теСЬод (2.2.5) сап Ье ччг1ССеи 1ог СЬе зувгет (2.2.30) ав уо = У уя+г =уз+И(хьуя), 11 = 0,1, (2.2.31) ччЬеге уи уя,... аге чесгог арргох1таС1опя Со СЬе во1пгюп у.

%е соп1д, о1 сопгяе, ччг1Се опС (2.2.31) 1п согпропепС Еогт; 1ог и = 2, СЫв ччоп1д Ье У2,0 У2 Уио = Уг ус я~С вЂ” — уг я + Цс(хя, упя, уя я) 1=0,1.... уя,я+с = уя,я+ Ь|г(хя,упя,уг,я) ! С1еяг1у, СЬе виссшсС чесгог иоСаС1оп (2.2,31) гв адчапгаКеопз, 31ип1аг1у, Неси'з теСЬод (2,2.19) сап Ье ччг(ССеп ш чесСог 1огт 1ог (2.2.30) Ьу Ь уя+г — — уз+ -~$(хя,уя) +Е(ха+пуз+Ы(хя,уя))) (2.2.32) 2 1С 1з 1ей Со Ехегс(зе 2.2.7 Со ччг1Се СЬе ГопгСЬ-огдег Влп3е-КпССа теСЬос1 (2.2.20) 1п чесгог Сопи. Коппдш~ Жггог %е посч Сиги Со а Ъгде1 йзспвз1оп о1 СЬе гоппйпц еггог ш СЬе теСЬодя о1 СЫв яесС1оп.

Сопя(дег Еп1ег'в теСЬод, ш чу(сЬ СЬеге аге Сччо зопгсея о1 гопийп3 еггог. ТЬе йгвС 1з СЬе еггог СЬаС осспгв ш СЬе еча1паС!оп о1,г" (хя, Уя); чче ад11 депоСе СЬ(в еггог Ьу яя. ТЬе весопд еггог, щ, 1з СЬе еггог теде 1п СЬе Еп1ег 1огпт1а. ТЬцв, СЬе сотрпгед арргох1таС1опв Уя ваСЫу Уя,.г = Уя + Ь[((хь~ Уя) + вя) + Уя, (г = О, 1,,... (2.2.33) И 1я розе(Ые Со Ъоппд СЬе е11есгв оГ СЬеяе еггогз 1п Сепия оГ Ьоппдя оп СЬе яя аид щ,. Ночгечег, сче чд11 сопСепС опгве1чез адСЬ СЬе Го11отчш3 1пгшС1че йвспзз1оп. Ав ее Ьаче вееп, СЬе 31оЪа1 йвсгеССяаССоп еггог ш Еп!ег'в теСЬод 3оев Со кего ая Ь 3оея Со гего. Непсе чче сап та(се СЬе йзсгедяадоп еггог ав вта11 аз ие 1йе Ьу та1с1пх 6 зыСБс1епС!у зта11.

Ноъечег, СЬе зта11ег Ь Св, СЬе тоге егеря о1 Еи1ег'в теСЬод СЬаС А!1 Ье гесСшгед апд, ш Зепега1, СЬе (аг3ег СЬе еКесС о1 СЬе гоппйп3 еггог оп СЬе сотрпСед зо1пС(оп. 1п ргасС(се, 2.2 ОХЕ-$ТЕР МЕТНОВБ Еог а Пхей тчогй 1епгСЬ ш СЬе сотриСег апСЬптеС1с СЬеге хйП Ье а в)ге оЕ Ь Ье1отч тчЫсЬ СЬе гоипй!пг еггог ччП1 Ьесотпе СЬе йопипапС сопСпЬиСюп Со СЬе очегаП еггог.

ТЬе в!Сиат!оп гв йер!сСей всЬетпаСгсаПу 1п Р!гиге 2.5, ш ччЬтсЬ СЬе вСер-втге )те тв СЬе ргасС1са! пшшпшп СЬаС сап Ье изей. ТЫв тпшипшп вСер-з!ге тв чету й!ЕПси!С Со авсегСаш тп айчапсе, Ьит Еог ргоЫетв Еог чЫсЬ оп!у а тойегате ассигасу !в гесршей, СЬе втер в!ге изей тчЕП Ье Еаг 1агхег СЬап СЬтв пишпштп, апт1 СЬе й)веге!!гаС!оп еггог ччЕП Ье СЬе йот1папС соптпЬиСог Со СЬе еггог. ТЬе ватпе гепега1 ЬеЬачюг оссигв 1п аП СЬе теСЬойв, а)СЬоигЬ СЬе пшшпшп втер в1ге, Ье, тчП1 йерепй оп СЬе птеСЬой апй СЬе ргоЫет. гт ч о Г!гиге 2оЬ Еггог ш Еи!ег'и апй ОСЬег МеСЕтойи СЬапхе !п ВСер ВЕге Яо Еаг ш СЫв весСюп чче Ьаче сопвЫегей а Ихей вСер-в!ге Ь.

Нотчечег, ш ргасНсе !С тв ивиаПу Ьепейс!а! Со аПотч СЬе вСер Со чагу. Ву СЬе Ьоипй (2.2.14) оп СЬе 1оса1 гПвсгейгаС1оп еггог, !С ЕоПотчв СЬаС СЬе еггог 1в втпаП !Е СЬе весопй йепчаС!че оЕ СЬе во1иС!оп !з зтаП. 1п тех!опз ччЬеге СЫз Св СЬе саве, вшСаЫе ассшасу тау Ье оЬСашей Ьу ив1пг а ге1аНче1у 1вгге втер-втге. Оп СЬе оСЬег Ьапй, Н СЬе весопй т1епчаНче 1в !агге а зтаПег вСер-з!ге хйП Ье песевзагу Со сопСго1 СЬе тПвсгеС1гаС1оп еггог. Рог СЬе Ь!гЬег огйег НипгеКпССа теСЬойв, СЬе вате Ейеа хйП Ьо1й ЬиС ЫгЬег-огйег йег!чаС1чев оЕ СЬе во1иСюп М11 Ье СЬе йеСепшп!пг Еастог.

СепегаПу, опе хйП поС Етпочч пшсЬ аЬоиС СЬеве ЫгЬег т1епчаСЕчев, ЬиС тпапу Сипев П хйП Ье )тпотчп ш айчапсе сЬат СЬе во1иСюп тв чачу!пг в1отч!у ш готе тех!оп апй гарЫ1у тп апоСЬег, апй СЬе вСер-з!ге сап Ье сЬапгей ассогй!пг1у. Рог ЕигСЬег еПвспввюп оп тчаув Со евт!таСе СЬе й!всгеС)гаСюп епог во ав Со авсегташ СЬе ргорег вСер-втге, вее СЬе Яирр1етпептагу О!зсивв!оп. Митпег1са1 Ехагпр!ев %е сотпр1еСе СЫв весС1оп гт)СЬ воте вппр!е са1си1аСюпв Еог СЬе ргес1аСогргеу етртайопз !пСгойисей 1п Пест!оп 2.1. В.есаП СЬат СЬеве етртаНопз аге йг йу — = ттг+ Ейху, — = ту+ бгу, йС йС 34 снлрткк г ькттжа ?т Рьу: 757?ть?ь длтк Ряокькми Р!8пгев 2.6 — 2.8 аге СЬе р1оССег1 арргохппаС1опз Со во1пСюпв оГ (2.2.34), (2.2.35) 8епегасео Ьу венега1 оГ СЬе пшпег!са1 шеСЬойв ш СЫв весйоп.

1и а11 свеев ие Ъаче р!оССес1 х (СЬе ргеу) чегет у (СЬе ргес?аСог), ЬоСЬ яв йшскопв о? Сппе, С. ТЬе пюИоп ?в ш а с1осЬч!ве о?гесС!оп вз С !псгеяяев, Р?8иге 2.6 с1епюпвСгаСев СЪгее орС1опз СЬаС вге пвпа11у ача?1аЫе Гог 8гарЫся. РагС (а) р1оСв)пзС СЬе сйвсгеСе ча1пев (х;, у;) 8епегагес? Ъу СЬе пшпеПса1 шеСЬос?, ешрйая!г!п8 СЬе г1двсгеСе паСпге о? СЬе шеСЬос1в.

1п рагС (Ъ) СЬе ро!пСв аге соппесСес1 Ьу вСга18ЬС 1шев, 81ч!п8 а ро1уйопа! зЬаре Со СЬе арргохппагюп. РагС (с) вЬоъв СЬе г?оСв соппесСей Ьу впюоСЬ спгнев. ТЬ!я орС1оп гес!шгез вогпе врес!а1 вой~ваге Ьазес1 оп арргох!шаС!оп шеСЬос1в й?ге СЬове с?!вспввес? ш йесМоп 6.2. Г!8пге 2.7 йешопвСгаСев СЬе с?ерепс?епсу оГ СЬе арргох!шаСе во1пС!оп оп СЬе ча1пе оГ СЬе вСер в!зе, 5. ТЬе пшпеПса1 ше0юс? овей ?Ъг СЫв 68пге !з Еп!ег'в шеСЬой йейпей Ьу (2.2.5). ТЬе ча1иев оГ Ь аге 1, 0.5, апй 0.25.

Опе яеев СЬаС яя СЬе егер з!ве 1в Ьа1чед СЬе еггог ?в гопйЫу Ьа?чей а!во, вп88езС1п8 0(Ь) сопчегйепсе. С1еяг1у, СЬе еггогв аге гаСЬег 1вгйе ечеп ?ог Ь = 0.25. ТЬе "ехасС" яо1пС!оп алвес? Сог сошраПяоп нгзз оЬСашей Ьу а Ь!8Ьег-оп1ег ?СппйеКпССа гпеСЬос1, апг? СЬе во1пйоп во оЪСа!пей шау Ье сопвЫегес1 Со Ье ехасС Гог СЬе ршрояе о? сошрях!п8 вг!СЬ СЬе !отчег-огоег шеСЬооз, Г!8пге 2.8 яЬовв СЬе ейесС оГ пз!п8 а зесопс?-огс?ег шеСЬод гаСЬег СЬап СЬе йгзС-огс?ег Еп1ег шеСЬой. Неге СЬе еггог Гог а вСер в!ге оГ Ь = ! !в 1евв СЬап СЬаС Сог Еп1ег'в шеСЬос1 ВАСЬ а зСер в1ге о? 5 = 0.25. 5?оСе СЬаС, аз сч!СЬ Еп1ег'в шеСЬой, СЬе арргохш|аСе зо1пйоп 1в зр!га?!п8 опС а~нау ггош СЬе ехасС во1пйоп.

5ирр!егпепсагу О!всизв!оп апд ?се1егепсев: 2.2 РегЬарв СЬе сопсерСпайу вппр1евС арргоасЬ Со Ы8Ьег-огйег опе-егер шеСЬ- ог!з ?в Тау!ог-вейев ехрапв!оп о! СЬе во1пС1оп. СопвЫег СЬе "шеСЬой" я Умс = Ув+ Ьд (хв) + зп У'(хв) + + — У (хв), (2,2.36) р! вЬеге у !в СЬе ехасС во1иСюп. 1С 1в еазу Со вее СЬаС СЬе огоег оГ СЫв шеСЬос? !з р. ТЬе Ы8Ьег йейчаСЫев оГ СЬе во1пйоп сап Ье оЪСа!пег? ш ргшс?р1е ггош СЬе ЙЯегепС1а1 ес?паС?оп !Све?й ТЬпв у'(х) = У(х, у(х)), апй у" (т) = — у(х,у(т)) = Ях, у(т)) + Дв(х, д(х))у(х). (2237) нне СЬеп арргохппаСе у'(хв) Ьу У(хюуз), зпй ргосеег? в!пй1аг1у гог Ь!8Ьег г?ег!чаС!чев. ТЬпз СЬе гпеСЬос1 Гог р = 1 !в з!шр1у Еп1ег'в гпеСЬой, жЬегезв Гог р = 2 й Ьесошев 52 Уз+ г = Ув + Ъ у(хв, Ув) + — (Ц (хв, Ув) + ~„(хю Ув) Г (хю Ув)] 2 36 СНАРТЕЯ 3 1ЕТТ1ЖС 1Т ГЕХ: 1Ж1ТЕАЕ УАЕБЕ РЯОВЕЕМЯ Се8гаС1оп вСер. ТЬе ияиа1 арргоасЬ тв Со евСппаСе СЬе 1оса1 сВясгейзаСюп еггог апд ад)ияС СЬе вСер в!зе ассогд!п81у.

ТЬеге аге яечега1 гчаув Со евСппаСе СЬе 1оса1 еггог; С»го випр1е арргоасЬев аге Со гереаг СЬе 1зяг вСер оЕ СЬе !пге8гаС!оп гч!СЬ а вСер з1|е Ьа11 ав 1зг8е апд СЬеп Со сошраге СЬе С»о геви1гв, ог Со иве Сгчо Нипхе-КиССа Еогшгдзв оЕ д!ЕЕегепС огс1ег. ВоСЬ оЕ СЬеяе»гауз аге совС1у !и еча1иаС!опв оЕ Е, апс1 ап а1СегпаВче арргоасЬ !я Ъу тпеапз оЕ СЬе Нип8е-КиССаГеЫЬегц Еоппи1аз (вее ВиСсЬег [1987[ Еог ЕшСЬег д!зсияя!оп).

Неге опе сап иве, Еог ехвтпр1е, а Кипре-КиССа птеСЬод оЕ отдег йче Со евС!шаСе СЬе еггог !п а ЕоигСЬ-огдег Нип8е-КиССа тпеСЬос1 ш висЬ а «ау СЬаС оп!у ях еча1иаСюпв оЕ Е аге пеес1ед, вв орровед Со Сеп Н СЬе ивиа1 Нипце-КиССа Еогпш1ав «еге ивед. Опе оЕ СЬе ЬевС апд пювС ивед Нип8е-Кисза содев !я НКГ45; вее ЯЬаптрше, Суаггя, апд Вачепрогт [1976[. Ав гче Ьаче вЬогкп, 1п СЬе аЬвепсе оЕ гоипд!п8 епог Еи1ег'я птеСЬод тч!11 у!е1д СЬе Сгие во1«Сюп оЕ СЬе д!ЕЕегепС!а! есртаВоп вв Ь вЂ” О.

ВиС, ав ТаЫе 2.2 т11ияСгатев, СЬе гаге оЕ сопчег8епсе сап Ье гаСЬег в1о». Ап !пгрогСапС СесЬп(сСие Со ассе!егате СЬе сопчег8епсе гя ЕЕгсЬап1воп ехСтаро(а!гоп Со СЬе Итога Гог вопте Яхед рошС х*, с1епоге СЬе арргохппагюп Со СЬе яо1«С!оп Ьу у(х*; Ь). Нпс1ег сегСаш вавитпрг!опв, Н сап Ье вЬо«п СЬаС у(х'! Ь) = у(х') + стЬ+ сгЬг+ + срЬ" + 0(Ь"+'), (2.2.38) тчЬеге СЬе с; вге 6шсС!опв оЕ х". Жочт виррозе СЬаС»ге а1зо сошриСе СЬе арргохппаСе во1ийоп «ВСЬ азер 1епКСЬ Ь/2. ТЬеп тче сап сошЬтпе у(х*; Ь) апд у(х"; Ь/2) Со оЬСаш а ЬеССег арргохпиагюп, 1п рзгС!си1зг, , Ь у(х': Ь) яв 2у(х', -) — у(х"; Ь) = у(х*) + дгЬг + + 0(Ьв'"т), '2 во СЬаС у(х', Ь) тв а весопс1 огдег арргохппаСюп.

(5(оСе СЬаС СЬе пюге вссшате во!иС!оп и оЫашед оп1у аС СЬе рошСя »НСЬ врас!п8 Ь, апд поС аС СЬе шгеппед!аСе рошСв.) ТЬе ргосевв сап СЬеп Ье гереатед, 11 дев!гед, Со еБпипаСе СЬе соеЕЕгс!епг дг апс1 оЫып а СЫгс1 оп1ег арргохппаСюп, апс1 во оп. ТЬе ватпе Ыеа сап Ье арр1!ед Со оСЬег ргоЫептв висЬ аз пшпепса1 ште8гаСюп ог д!ЕегепНагюп, ог оСЬег Сурев оЕ д!ЕЕегепС!а) ес1иаС!опя, ргочЫед СЬаС ап "зяушрСоС!с ехрапя!оп" оЕ СЬе Еопп (2.2.38) Ьо1дв Еог СЬе арргохппаСе яо1«С1оп. Ап ппроггапС шод!6саС!оп оЕ а вувгетп оЕ дНегепС!а! ес!иаСюпв оссигв гчЬеп СЬеге аге вЫе сопд!С!опв. Гог ехатпр1е, а вувзеш оЕ СЬе Еопп у,' = Ег(х,у,(х),...,у„(х)), с=1,...,т, 0 = дг(х,у,(х),...,у„(х)), г = т+1,...,п, сопя1вСв оЕ т д!КегепС!а! есртаС!опв апд и — т поп-д(СЕегепС!а1 ес!иаС!опв. ЯисЬ а вувСетп тв са11ед дг()гесс~!та!-а1деЬгагс.

Гог ЕшСЬег д!всивя!оп, вее, Еог ехатпр1е, На!гег, ЬиЫсЬ, апд НосЬе [1989[, апд Вгепап, СашрЬе11, апд Ге!ко!д [1989]. 38 СНАРТЕЯ 2 1ЕТТП!С 1Т ИХ: 1Х1Т1А1 УАЕБЕ РЯОВЬЕМБ г1евспЬей. 1п огйег Со йече1ор васЬ гпеСЬойв, Ьочтечег, тче пшвг йгвС йевсПЬе ро1упопйа! !пСегро!аС!оп, СЬе впЬ)есС о1 СЬ!в весС!оп. Бпррове Сйаг опе !в а!чеп а веС о1 ротпСв ог пойев хо, хг,..., х„апй а веС о! соггевропй!па пшпЬегв уо, ут,..., ув.