Golub, Ortega - Scientific Computing and Differential Equations, страница 12

2.5 БТАВГГ,1ТУ, 1ХБТАВ1й1ТУ, А)ч11 БТГРР ЕсрГАТГОХБ 55 2.4.9. Вереас СЬе са1сп1ас!опз оГ г !5ше 2.11 оз!п5 сЬе весопй-огйег Айапи-ВазЬГогСЬ шесЬой влй сЬе ргей!ссог-соггессог шесЬой оГ Ехетс!ве 2.4.5. 2.4.10. Еереас сЬе са1сп1асюпв оГ Р!5оге 2.12. г !пй сЬе ча1ие оГ чв впсЬ сЬас сЬе гао5е оГ сЬе гос!тес !з 150 ш.

2.4.11. Сопвсйег сЬе ргоЫепт оГ еча1пас!п5 сЬе "поппа! йепз!су" р(х) = — т е й+— Г чт2 /~ 2 Ьу зо!ч!п4 СЬе йНетепС!а! етгпат!оп р (х) = — е, р(0) = —, -*'гг 1 ът2х 2' !1ве сье весопй-огйег Вип5е-Касса шесьой апй сЬе весопй-отйет ргейссогсоттессог шесЬой оГЕхегс!зе 2.4.5 со зоЬе сЬи й!СГегепс!а! етспас!оп, Сошрате уолт гевп1св. 2.5 8$аЫ1ИУ, 1ПВСаЫИУ, аП41 МИГ ЕС~иайОПБ Опе оГ СЬе регчай!п5 сопсегпв оГ вс1епСНс сошрпС!пд и СЬаС оГ ззабйсзу, а пшсЬ очегпвей чтоп1 сЬас Сепйв со Ьаче зошесчЬас т1Негепс шеап!пр т1ерепт1- !п5 оп СЬе сопСехС.

1п СЫв зесСюп сче сч!11 йвспвв вечега1 авресСв оГ вСаЬ!1!Су зз Ы регСашв Со СЬе пшпесйса1 во1пС!оп оГ огй1пагу й!ГГегепС!а! етспаС!опв. Т)пвСаЬ1е Бо1пС1опв Сопвсйег СЬе весопй-огйег т1НегепС1а1 ется!!оп у" — 10у' — 11у = 0 (2.5.1) хЬЬ сЬе!шс1а! сопй!с!опв у(0) =1, у'(О) = -1. (2.5.2) ТЬе во1пС!оп оГ(2.5.1), (2.5.2) и у(х) = е *, ая и еав!1у чег!йей.

Ь!очт впррове ъе сЬзще сЬе Гсгвс !шС1а1 сопйСюп Ьу а вгпа11 т!цапС!Су з, во СЬаС СЬе !шС!а! -опйС1опв аге у(0) = 1+ з, у'(0) = — 1. (2 5.3) ТЬеп, ав и аБа!и еаз!1у чег!йей, СЬе зо1пС!оп оГ (2.5.1) сч!СЬ СЬе !и!С!а! сопй.юпв (2.5,3) 1в у(х) = (1 + †, я)е * + — е (2.5.4) ТЬегеГоге Гог апу я > О, по шаССег Ьосч вша!1, СЬе весопй Сепп сп (2.5.4) асеев СЬе во!пСюп Со Сепг! Со !пГсп!Су аз х — оо.

ТЬе !что во!пСюпв аге вЬоип 56 СНАРТЕЯ 2 йЕТТйчС ХТР1Х; 1Х1Т1АЕ ЪАЬБЕРЯОВЕЕМ$ (п Р!виге 2.13. чче яау !Ьа! гЬе во!и!!оп у(х) = е * оГ яЬе ргоЫет (2.5.1), (2.5.2) !в ипв!аЫе, в(псе агЫггаг!1у ята1! сЬапуев !и !Ье !и!1!а! сопг)!11опв сап ргог!исе агЬ!!гаг!1у 1вгхе сЬапхев ш !Ье во!ц!!оп ав х — + оо. 1п !Ье раг1впсе оГ пшпепса1 апа1ув!в, опе тчои1<! а1яо вау !ЬаФ ФЬ!я ргоЫет !в 111-сопйВопед; !! !в ех!гете!у гИИси1! !о оЫа!и !Ье во!и!!оп питег!са11у Ьесаиве гоипс!!пд ат1 йясге!!за!!оп еггог ич11 саиве !Ье вате еКес! ав сЬапрп6 гЬе 1п!!!а! сопг!!С!опв, апд !Ье арргох!та!е во!цз!оп й!1! гепс! !о с!!чегве го !п6п!гу (вее Ехегс(ве 2.5.1).

=-(!а — с!г '~ . г !! -, с Р!вцге 2.13: $о!ийопв о~ $!гуЬ!!у Рг((егеп! Ргоб!етв Ечеп пюге ргопоипсей !пвгаЫ1!!1ев сап оссиг ж!1Ь поп1шеаг ес1иа!1опв. Рог ехатр1е, !Ье ргоЫегп у' = ху(у — 2), д(0) = 2, (2,5.5) Ьаз !Ье во!ив!оп у(ж) = 2, чгЫсЬ !в ипя!аЫе. То вее гЫв, по1е !Ьа! Гог гЬе !и!Г!а! сопй!!!оп у(0) = уо ФЬе зо!иГ!оп !я 2уо у(х) = до + (2 — уо)е*' Т1шв !! до ( 2, !Ьеп д(х) -~ 0 ав х оо, апг1 !Г ув ) 2, !Ье яо1и!!оп шсгеавев г апг! Ьаз а в1ппи!аг!Гу гчЬеп уо -!- (2 — уо)е* = О.

Тур1са1 во!и!!сов аге вЬовп ш Г!хиге 2.14. 1)пвваЫе МеяЬос1з ТЬе ! чо ргечюцв ехагпр1ев 111ив!га!ег1 !пвФаЫ1!!!ев оГ во!ц!!опз оГ !Ье гШЕегепги! емца!!оп !!яе1Е. 'гче пои' !игп !о рова!Ые !пв!аЫ1!г!ев 1п !Ье пцтег!са! теФЬой. Ье! ив сопяЫег гЬе те!Ьод у„„=д„,+гЬУ„, (2.5.6) жЫсЬ 1в вип!!аг !о Еи1ег'в те!Ьод Ьи! !я а тц!г!егер тегЬог! апй !з весопг(- оп1ег ассига!е, ав 1я еаву !о чег!Гу (Ехегсгве 2.5.3). 2.5 ИТЛШЫТУ, жЗТЛН7ЫТУ, АХП 8ТПт И~НЛТХО518 57 г 18пге 2.14: $о1п11опв 2от ТБтее Б11д1111у 0фетепС 1пМа1 Сопй121оив ССге по12 арр1у (2.5.6) Со СЬе ргоЫеп1 у' = -2у+1, у(0) =1, (2.5.7) 12Ьове ехасС во1пйоп 1в у(х) = 1е ™ + 1. (2.5.8) ТЬ12 яо1пС1оп 1в вгаЪ|е, вшсе 11 СЬе 1шйа1 сопйССоп 12 сЬап8ег1 Со у(0) = 1+ е СЬе во1пСюп Ъесошев у(х) = (- + я)е '+ -, ап6 СЬе сЬап8е ш (2.5.8) 1я оп1у ее 2*.

ТЬе шеСЬод (2.5.6) аррБе11 Со (2.5.7) 1В уп.1-1 = уп-1+ 25( — 2уа+ 1) = — 4йуп+ уд 1+ 25, уе = 1, (2.5.9) МСЬ уе Са1геп вв СЬе ппНа1 соп6121оп. Новтегег, в1псе (2.5.6) 1я а С1то-егер шеСЬод, ~че а1во пеев Со впрр1у у1 ш огдег Со яСвгС СЬе ргосевв, апд же 12111 Са1се у1 Со Ъ|фЬе ехасС во1пС1оп (2.5.8) аС х = Ь: 1 -22+ 1 2 2' (2.5.10) ТСИГегепсе ЕССпаС1опя Н гв ге1аС1че1у еаву со апа1уве СЬе ЬеЬач1ог оГ СЬе вегСпепсе (у„) 8епегагей Ьу (2.5.9) Ьу ч1еъчп8 (2.5.9) ав а йгЦетепсе едиа11оть.

ТЬе СЬеогу оГ 11Негепсе егр1айопв рага11е)я СЬаС оГ Ж(гегепС)а1 егСпаС!опв, апг1 че 12111 в1сеСсЬ СЬе Ьая1с 11, Гог апу Яхт Ь > О, же пои 8епегаге СЬе вегСпепсе (у„) Ьу (2.5.9) апд (2.5.10), че 2т111 яее СЬаС )у„) — оо ав и - ж, гаСЬег СЬап пшгоПп8 СЬе ЬеЬагюг вв х — ао о1 СЬе во!пгюп (2.5.8) оГ СЬе ЙКегепС(а1 есСпаССоп. ТЬив СЬе шеСЬод (2.5.6), а1СЬощЬ весопд-огйег всспгаге, ехЫЬ1Св ппвСаЫе ЬеЬач)ог апй гте пехС 121вЬ Со а<Ыгевв 12Ьу СЫв 1в яо. 58 ОНАРТЕЯ 2 ЕЕТТ1ХО ЕТ РЕ,У: 1Х1ТЕАй С«АЕ Е7Е РЯОВЕ ЕМБ раггв оЕ СЬ!в СЬеогу ш СЬе саве оЕ Йиеаг сЕСбегспсе едиайопз оЕ оп(ег т и«!СЕ« соизСаи! соеЕ)!степ!в; висЬ ап есСиаС!оп Св оЕ СЬе Еогш у„+с =а у„+ +агу„- +с+аз, п=т — 1,тп,т+1,..., (2.5.11) «и!СЬ 8!неп сопвСапСв ае,ап...,а .

ТЬе Есотоуепеоиз ратС оЕ (2.5.11) !я (2.5.12) у„ас — — а„,у„ + ° + агу„ Ву апа!о8у сн!СЬ 6!СЕегепС!а! есСиас!опв, «не ассешрС Со йпс! ап ехропепС!а! Суре во!иС!оп оЕ (2.5.12), оп1у потч СЬе ехропепС!а! Са1сев СЬе Еогш уз = Л" Еог ваше ипЬпо«нп сопвСапС Л. %е вее СЬаС ув = Л" !пс)еес! !в а во!иС!оп оЕ (2.5.12) ргонвбей СЬаС Л ваС!вйев Л вЂ” а«зЛ~ ~ — — а« = О, (2.5.13) «нЬ!сЬ !в СЬе с)«агасСепзйс сс!иайгои оЕ (2.5.12).

1Е сне аввшпе СЬаС СЬе т гооСя Лп...,Л оЕ (2.5.13) аге сС!вС!псС, СЬеп СЬе Еипс(атеиСа! зо!и6опз оЕ (2.5.12) аге Л"„..., Л", аш1 СЬе 8епега! во1иСюп оЕ (2.5.12) гв у,=~,Л,", Е =0,1,..., (2.5.14) и«Ьеге СЬе с; аге агЪ!Сгвху сопвСапсв. А рагСЕси1аг зо!иС!оп оЕ (2.5.11) !в 8!неп Ьу Ув— (2.5.15) ргон!дес! СЬаС СЬе «Еепопипасог !в поС кего, ав !в еавйу нег!йес). ТЬегеуоге СЬе 8епега1 во1ияюп оЕ (2.5.11) !в СЬе вшп оЕ (2.5.14) апс! (2.5.15): уз = у,с«Л, +, Ес = 0,1....

(2.5.16) «=1 ТЬе агЬ!Сгвху сопвсапув 1п (2.5.16) сап Ье сСесегш!пес! — )ивС ав Еог «Е!ЕЕегепс!а! ес1««аС!опв — Ьу ипрог5п8 асЫ!С!опа! сопсС!С!опя оп СЬе во1иСюп. 1п рагС!си!аг, яиррояе сне вхе 8!неп СЬе !и!С!а! сопс)!С!опв (2.5.17) УО«УС Ут-П ТЬеп (2.5.16) гесСи!гев СЬаС с,Л,"+ = ув, й = 0«1,...т — 1, (2.5.18) 1 — ૠ— — а «=1 нсЬ)сЬ !я а вувсеха оЕ т 1!пеаг есСиаС!опв ш СЬе т ип1споъпв сп..., с, апс1 сап Ье иве! Со с!еСегш!пе СЬе со 2.5 БТАВП.1ТУ, 15ЕБТАВЕЫТУ, АХП БТЕГР ЕС)Е/АТЕОХБ ЛЬге по1ч арр1у СЬ1в СЬеогу Со СЬе ЖКегепсе щиаС!оп (2.5.9), вЫсЬ чче чгг!Се ш СЬе Еогш у„~1 = — 46у„+ у„1+ 26, уо = 1, у1 — — 1е ~~+ 1.

(2,5.19) ТЬе сЬагасСег!зС!с есСиаС!оп (2.5.13) 12 Л2+ 46Л вЂ” 1 = О чг!СЬ гоогв Л1 — — — 26 + ъ/1 + 4Ь2 Л2 — — — 26 — ч/Г+!- 462 ТЬе сопг(!С!опв (2.5.18) СЬеп Ьесоше (2.5.20) с\Л1+С2Л2+ 2 =у1 = 2е + 2, 1 1 -2В 1 С1+с2+ 2 уо 1 1 1чЬ!сЬ сап Ье во1че11 !ог с1 аиг( св Со 8!че 1 с у1 — - + 6 2 с 21/Г+ 462 (2.5.21) 2Л+ 4Ь2 ТЬиз СЬе яо1иСюп оЕ (2.5.19) !з у„= сг( — 26+;/1 + 462)" + с2( — 26 — Ъ/1 + 462)" + -'. (2.5.22) 61СЬоийЬ СЫв гергевепваС1оп оЕ СЬе яо1иС!оп 1в регЬарв а 1ЬС1е Еопп!г)аЫе, !С а11о1чв ив Со вее чегу еаз!1у СЬе ЬеЬачюг оЕ у„аз и — оо.

1п рзхС!си1аг, Еог апу йхег( вгер язве 6 > О, !С !з ечЫепС СЬаС О ( 26 + С/1 + 462 < 1 26 + ~/1 + 462 > 1 ТЬегеЕоге СЬе йгзС Сепп ш (2.5.22) Сеп112 Со яего, ж1н1е СЬе зесопд Сепг)я Со 1пйпйу, !п ап овсй1аСогу ччау, ав п Сепг(з Со 1пйпйу. Бшсе СЬе ехасС во!и!!оп 2.5.8) оЕ СЬе й!БегепС!а! ег!иаС!оп Сеида Со 1/2 ав х Сеида Со !пйп!Су, 1че вее 1Ьас СЬе еггог !п СЬе арргохппаСе во1иСюп (у„) с1!чегйез Со !пйшСу, апг! СЬе пеСЬог( (2.5.9) !я ипягаЫе арр1!ег( Со СЬе ргоЫеп1 (2.5.7). Хоге СЬаС СЬЕВ сйчегйепсе оЕ СЬе еггог Ьав поСЬ!п8 Со Йо чч!СЬ гоипг(!п8 еггог; (2.5.22) Ев СЬе ехасС шаСЬешагуса1 гергевепгаг!оп оЕ у„, апд 1Е СЬе яегСиепсе (2.5.19) жеге .ошригег) 1п ехасС агЬЬшеСгс !С ччои1о соггевропг! ргес!ве1у чАСЬ СЬаС 8!чеп Ъу 2.5.22).

у„+1 = ~~1 о1у„+1; + Ьф(х„.1.1,..., ха+1- уи+1 ., уя+1,д). (2.5.23) БСаЬ111Су оЕ МеСЬог)з Ггош СЬе ргесег1!п8 ехашр1е !С 1в с1еаг СЬаС ап 1пгрогСапС ргорегСу оЕ а 21есЬог1 12 СЬаС !С Ье вСаЫе !п вогпе вепве. ТЬе пювг Ьав1с г1ейп!С!оп оЕзгаЬ11йу =1ау Ье 8!чеп !п Сегшв оЕ СЬе Бепега! шеСЬог) (2.4.22): 60 СНАРТВЯ 2 ЕЕТТЕЕч'С ЕТ РЕУ: 1ЖЕТЕАЕ, ЪАЕХЕРЕСОВЕЕМБ ТЬе шеСЬод (2.5.23) Св вСа5!е ргочЫегЕ СЬаС ай гооСв Л; оЕ СЬе ро1упопиа1 р(Л) = Л вЂ” огЛ ~ — ° ° — гг (2.5.24) яайвЕу )Л,! < 1, апй апу гооС Еог кЬ!сЬ !Л;! = 1 !з я!шр1е.

ТЬе шеСЬос1 !я ззгоид!у вСаЫе !Е, !и агЫ!С!оп, т — 1 гооСв оЕ (2.5.24) ваС!вЕу !Лв( < 1. (Юе поСе СЬаС коше аиСЬогв ияе СЬе Сегшв свеаЕг(у згаЫе апй ягаЫе !и р1асе оЕ вгаЫе апг( вСгопк1у вСаЫе.) Апу гпеСЬог( СЬаС !в аС 1еавС йгяС-огйег ассигаге ппзяС ваС1вЕу Сйе сопгПСюи гг, = 1, во СЬаС 1 !в а гооС оЕ (2.5.24). 1п СЫз сазе, а вСгои51у вСаЫе гпеСЬод м611 СЬеп Ьаче опе гооС оЕ (2.5.24) ейиа1 Со 1 апгЕ ай СЬе геяС вСНсС1у !еяв СЬап 1 ш аЬво1иСе ча1ие. Рог Ниийе-КиССа шеСЬойз, р(Л) = Л вЂ” 1 я!псе СЬе шеСЬой гв опе-вСер; Ьепсе СЬеге аге по гоогя оЕ (2.5.24) Ьевгйев СЬе гооС Л = 1, апг! СЬеве шеСЬог(я аге айчаув вСгопк1у яСаЫе.

Рог аи т-вСер Аг(ашз гпеСЬод, р(Л) = Л вЂ” Л ', во СЬе оСЬег т — 1 гоогв оЕ (2.5.24) аге кего, апс1 СЬеве шеСЬос1в а1во аге вСгоп61у вСаЫе. Рог СЬе шеСЬод (2.5.6), СЬе ро1упоииа1 (2.5.24) !в р(Л) = Лк — 1 чиСЬ гоозв ~1; Ьепсе СЫв шеСЬог) !я вСаЫе ЬиС поС вСгопк1у яСаЫе, апо !С !я СЬ!з 1ас1с оЕ вСгопк вСаЬ!Иу СЬаС 6!чев г1ве Со СЬе ипвСаЫе ЬеЬанюг оЕ СЬе вес!иепсе (дя) с(ейпей Ьу (2.5.19). ТЬе геавоп Еог СЫв 1я яя Еойокв. ТЬе ййегепсе есСиаС!оп (2.5.19) 1в весопг( огдег (вшсе у„.~г, у„, апд у„г арреаг ш СЬе егСиаС!оп) апс! Ьав С~чо ЕпийыпепСа1 во1иС1оия, Лг аий Лк, згйеге Лг апг( Лк аге СЬе гооСя (2.5.20), ТЬе вегСиепсе (дя) кепегаСес1 Ьу (2.5,19) Ев шеапС Со арргох!шаСе СЬе во1иСюп оЕ СЬе гЕ!йегепС!а! есСиаСюп (2.5.7), жЫсЬ !в а йгзС-огиег есСиаС!оп гч!СЬ оп1у опе йшйашеиСа1 во1иС1оп. ТЫв ЕипдапгепСа1 во1иС!оп 1в арргохипагес1 Ьу Л„": Лк !я ярийоия апй вЬои16 гарп11у ко Со кего. Ногчечег, Еог апу 5 > О, (Лк) > 1, аид Ьепсе Лк сепг!в Со !ийп!Су зпй пог кего; !С !в СЫв СЬаС саияев СЬе !пвСаЬ!Иу.