И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление, страница 33

ДОПОЛНЕНИЕ 1 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ И КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯв) Рассмотрим распространение возбуждения в некоторой среде, которую мы будем считать неоднородной и анизотропной; таким образом, скорость распространения возбуждения зависит, вообще говоря, от точки и от направления. Относительно рассматриваемого процесса мы будем предполагать следующее: а) каждая точка может находиться лишь в одном нз двух состояний: возбуждения или покоя. Таким образом, понятие интенсивности возбуждения мы не вводим; б) каждая точка, до которой возбуждение дошло в момент времени С сама становится, начиная с этого момента, источником дальнейшего распространения возбуждения.

Наша цель — показать, что рассмотрение такого процесса позволит получить из геометрических соображений такие основные понятия вариационного исчисления, как канонические уравнения, функцию Гамильтона, уравнение Гамильтона-Якоби и т. д. Проводимые ниже рассуждения не опираются на тот вывод этих понятий, который содержится в основном тексте книги (Я !4, 19), и, по существу, могут его заменить.

1. Постановка задачи. Пусть среда, в которой распространяется возбуждение, представляет собой п-мерное многообразие Х, в котором введена некоторая система координат. Таким образом, каждая точка х из Х определяется системой п чисел х',х', ..., х". Выбрав в Х некоторую фиксированную точку, рассмотрим совокупность всевозможных гладких кривых х = х(а), (1) проходящих через эту точку. Совокупность векторов, касательных к этим кривым в данной точке, т.

е. векторов х' = —, (2) ") Вопросы, излагаемые в настоящем дополнении, авторы обсуждали с М. Л. 1(етлиным. глспгостелнение возятждения и клноническне гелвнения 211 представляет собой и-мерное линейное пространство, называемое касательным пространством. Мы обозначим его Т (х). Отметим, что прн переходе в Х к новым координатам по формулам х"=х (х) (3) векторы х' касательного пространства т(х) преобразуются по закону Л дз дхт дз / 1 Пусть х(з) и х(з+Нз) — две близкие точки, лежащие на некоторой кривой х = х(з). Согласно сказанному выше, скорость распространения возбуждения в Х зависит от точки и от направления, т.

е. от х и х'. Обозначим через г (х, х') величину, обратную этой скорости; тогда время Ж, за которое возбужление пройдет из точки х (з) в точку х(а+Из), можно представить в виде Ж = у (х, — ) г(з, а время, за которое возбуждение распространится вдоль некоторой конечной дуги, соединяющей точки х,=х(з,) и хе= х(зя), равно Лг ~ г'(х, „— )Из. (6) Если точка х, возбуждена, то время, через которое возбужденной окажется некоторая точка х,, равно Ю ппп / Г (х, — )и'з, гле минимум берется по всем кривым х = х(з), соединяющим точки х, и х.

Действительно, если возбуждение, распространяясь из точки х, по всевозможным направлениям, уже дошло по какому- либо пути до точки х,, то все другие соединяющие эти точки пути, по которым возбужление распространяется за большее время, уже не играют роли. Таким образом, процесс распространения возбуждения в некоторой среде всегда подчиняется известному принципу ферма: возбуждение распространяется из одной точки в другую всегла вдоль того соединяющего эти точки пути, который оно прохолит за наименьшее время. Эти пути мы будем называть траекториями возбуждения. 212 дополнение 1 Вернемся к введенной нами функции г"(х, х'). Так кзк время распространения возбуждения вдоль любой кривой положительно, то г (х, х') ) О, если х' + О.

(8) Далее, время распространения возбуждения вдоль некоторой кривой, т. е. величина (6), должно зависеть только от втой кривой (а не от выбора ее параметризации). Как известно (см. гл.!12 8), это имеет место в том случае, если функция Г'(х, х') положительно однородна первой степени относительно х'. т.

е. если ,г (х, )гх') = Ц(х, х') при й ) О. (9) Поскольку при изменении направления на, противоположное скорость распространения возбуждения не меняется, то г(х, — х') =г(х, х'). (10) Функция г (х, х') удовлетворяет условию выпуклости г'(х, х'-!-х') ( у(х, х')+1(х, х'). (11) Действительно, пусть рассматриваемая среда однородна, т. е. г зависит только от х' (но не от точки х).

Пусть х' и х' — два вектора из Т(х); возбуждение за время г (х') распространяется вдоль х' и за время У(х') — вдоль х'. Тогда оно распространится вдоль х'+х' за время, не превышающее 1'(х')+ г (х'), т. е. 1 (х'+ х') ( г' (х') +- г (х'). Если же г зависит от х, но эта зависимость достаточно гладкая / дУт скажем, существуют производные — ), то те же рассуждения покадх') зывают, что условие выпуклости будет выполняться для достаточно малых х' и х', а отсюда, в силу однородности функции / по х', оно будет выполнено и для всех х', х'.

Мы будем предполагать функцию г удовлетворяющей несколько более сильному, чем (11), условию строгой выпуклости, а именно знак=в (11) имеет место только в том случае, когда х'=Лх', где Л ) О. Пусть имеется возбуждение, которое в момент ! = 0 занимает некоторую область и затем распространяется далыпе. Границу зоны возбуждения мы будем называть фронтом волны. Уравнение фронта волны в момент г можно записать в виде 5(х, () =О. Задачу нашу можно теперь сформулировать следующим образом: найти уравнение, которому удовлетворяет функция 5(х, !), описывающая фронт волны, и уравнения траекторий возбуждения.

2. Сформулируем поставленную задачу в терминах теории нормированных пространств. нлспностнлнения возвяждвния и клноничвскиз тялвнвния 213 В и-мерном линейном пространстве Т(х) введем норму, положив 11х')! =У(х, х'). из условий (8) — (11) следует, что г"(х, х') действительно обладает всеми свойствами нормы (определение нормы см. в й 2). Совокупность векторов из Т(х), удовлетворяющих условию ((х, х') (а, т.

е. ((х'~( (а, у(х, хг) <си. 3. Рассмотрим, наряду с нормированным пространством Т(х), пространство Т(х) линейных функционалов на нем (определение линейного функционала см. в й 3). Т(х) представляет собой п-мерное пространство, элементами которого являются векторы р = (рн..., р„), называемые контраградиентными векторам из Т(х). Г1ространство линейных функционалов на некотором линейном нормированном пространстве называется пространством, сопряженным к ланномуе). В сопряженном пространстве норма вектора р определяется следующим образом: где зцр берется по всем х' Ф 0 из Т(х), а (р, х') и ~~' р,х', т.

е. значение линейного функционала р ~ Т(х) г=! х' ~ Т(х). Обозначим норму элемента р ~ Т(х) через Н(х, р). образом, по определению Н(х, р) = зцр (р, х') г(х, х')' означает в точке Таким (12) *) О понятии сопряженного пространства см., например, И. М. Гельфанл, «Лекции по линейной алгебре», Гг 22. булем называть сферой радиуса а в Т(х) (с центром в точке х).

Таким образом, сфера радиуса и — это та область пространства Т(х), на которую распространится за время а возбуждение, в начальный момент сосредоточенное в точке х. Мы можем теперь рассматриваемую задачу сформулировать так: дано и-мерное многообразие Х, в каждой точке х которого определено касательное пространство Т(х). В Т(х) задана норма У(х, х'), удовлетворяющая, кроме обычных аксиом нормы, условию строгой выпуклости. Найти уравнения, описывающие процесс возбуждения, который из каждой точки х за время лгг распространяется по сфере 214 дополнвниа ! Можно показать, что переход от функции !'(х, х') к функции Н(х, р), определяемый формулой (12), представляет собой не что иное, как преобразование Лежандра (рассмотренное нами в гл.

1Ч, й 15), но только в параметрической форме. 4. У р а в н е н и е Г а м и л ь т о н а — Я к о б и. Пусть 8(х, У) = =Π— уравнение фронта волны в момент С Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция о(х, !). Для этого посмотрим, как происходит распространение возбужления за некоторый малый промежуток времени М. Каждая точка поверхности 8(х, !) = О сама служит источником возбуждения, которое за время Л распространится по сфере 1(х, дх) (Ш.

Фронт волны в момент 1+-И представляет собой огибающую этих сфер; действительно, эта огибающая отделяет точки, в которые возбуждение за время, не превышающее Ж, может дойти от какой- либо точки фронта о (х, ~) = О, от точек, до которых возбуждение за время Ж дойти не успеет. Но такая «поверхность раздела» и есть фронт волны. Следовательно, эта огибающая определяется уравнением о (х, с+ Ж) = О. Сказанное означает, что гиперплоскость, касательная к поверхности 8(х, Г-+сР), является касательной и к некоторой сфере У(х, !х) (Л с пентром в точке х, принадлежащей поверхности 8(х, ~) = О.

Уравнение каждой гиперплоскости в пространстве Т(х) может быть записано в виде и ~~'., р! г(х' = сопя(, ! ! где р = (рн . „р„) ~ Т(х). В частности, уравнение гиперплоскости, касательной к поверхности о'(х, 1 + с!Г) = О, имеет вид И (13) дх! Если гиперплоскость (13) является в то же время касательной к сфере радиуса с(Г с центром в точке х, то постоянная С равна радиусу !' д3 д3 '! сферы, умноженному на норму вектора ! —,...., — „!. т. е. на д5 ! Н(х, — ~. Таким образом, уравнение гиперплоскости, касательной дх! к фронту волны и к сфере радиуса с(г, проходящей через точку яаспяостванвнив возвтждвния и каноничвския тглвнвния 216 касания, имеет вид л д~ (х! уу( г!6 '! ! ! (14) Но из уравнения фронта волны 8(х, Г)=О имеем: л !-! (15) Из двух последних равенств окончательно получаем: — + Н(х, — ) =О.

(16) ~ у (х, х')!зз среди всех линий, соединяющих две данные точки. Поэтому дифференциальные уравнении траекторий возбуждения можно получить, например, как уравнения Эйлера для функционала (6). Мы, однако, выведем эти уравнения, опираясь лишь на следующие геометрические соображения. Так как функция /(х, х'), отвечающая рассматриваемому процессу, предполагается дифференцируемой и строго выпуклой, то через каждую точку сферической поверхности У(х, х') = сопа1 проходит единственнзя касательная гиперплоскость, и эта гиперплоскость имеет со сферой только одну общую точку.

Отсюда следует, что для двух поверхностей 8(х, г) =О, ~ (х + !(х, 1+ и) = О, (а) (б) представляющих собой фронт волны в близкие моменты 1 и С+!(г, можно говорить о том, в какую именно точку х+!(х поверхности (б) приходит за время г(! возбуждение из данной точки х поверхности (а). Действительно, это та точка х+!(х, через кото- Мы получили уравнение, описывающее изменение фронта волны со временем. Это уравнение (16) представляет собой не что иное, как уравнение Гамильтона — Якоби, рассмотренное нами в 9 19. б.

Траектории возбуждения. Выше было сказано, что возбуждение распространяется из одной точки в другую вдоль той линии, которая реализует минимум функционала 216 дополнзнив ! рую проходит гиперплоскость, касательная одновременно к поверхности (б) и к сфере радиуса Л, с центром в точке х. До остальных точек поверхности (б) возбуждение за время с(г не успеет дойти из точки х "). Таким образом, в каждой точке поверхности 8(х, 1), представляющей собой фронт волны в данный момент, определено некоторое направление распространения возбуждения. Итак, направление распространения возбуждения это то направление, по которому возбуждение, идущее из данной точки поверхности Ю(х, С)=0, достигает поверхности Ю(х+г(х, 1-1-Ж)=0 быстрее, чем по какому-либо другому направлению. Пусть Т вЂ” траектория, по которой возбуждение проходит из точки х„поверхности 8(х, 1з) = 0 до точки хц лежащей на поверхности 8(х, 1,)=О.