И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление, страница 31

е. Р! ~~ 92 ~~ поскольку среди линейных комбинаций первых и+1 функций содержатсч все линейные комбинации первых и функций. Рассмотрим теперь вопрос о том, при каких условиях можно утверждать, что получающаяся таким образом последовательность функЦнй У,, Уг, ..., Ув, ... — МИНИМИЗИРУЮЩаЯ, т. Е. Чта 1нп 1ь„=и «чш" есть минимум функционала (1). Теор е м а. Если функционал (1) кеирермзен *), а системи функций (2) — полная (т.

е. линейные комбинации (3) этих функций образуют множество, всюду плотное в пространстве, на котором задан (1)), то Иш р,„=р, «ч»» где р,— минимум функционала (1). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть у* — кривая, на которой реализуется минимум функционала (1), и пусть задано некоторое е ) О. Так как функционал (1) предполагается непрерывным, то найдется такое 3) О, что !У(у! — У(у*! ! < н, как только /!у — у*(!< 3, Среди линейных комбинаций вида (3) най- дется такая, обозначим ее у„, что !!у.— у!!<3. Тогда согласно (5) у(у.! <р+' Если теперь у„— та линейная комбинация, на которой функция (4) при данном и достигает минимума, то у(у.! <у(у.! <р+ Н в „„„«„,,в„«„„„в, вается.

14 зав. 2«аа. Гельфанд н Фон«я 198 пгямыв методы влеилционного исчисления [гл. щп откуда з силу произвольности е получаем, что 1нп У(у ) = р. в -+ Теорема доказана. Эта теорема применима, например, в твм случае, когда функционал вида ь ~ Р(х, у, у')г(х а рассматривается на некотором множестве, лежащем в О,, поскольку в этом пространстве функционал указанного вида непрерывен. Замечание 1. Во многих задачах математической физики приходится рассматривать такие функционалы ~ Г(х, у, у') г(х, а в которых подынтегральное выражение гт(х, у, у') квадратично относительно у и у'. В этом случае уравнения, которые получаются для определения коэффициентов с„, будут линейными, и следовательно, нахождение этих коэффициентов не представляет существенных трудностей. 3 а м е ч а н и е 2. Быстрота сходимости метода Ритца для данной вариационной задачи зависит, очевидно, как от самой рассматриваемой задачи, так и от выбора функций Р! 'т2 .

'тл Следует подчеркнуть, что во многих случаях достаточно взять линейную комбинацию совсем небольшого числа функций с„ (3 — 4, иногда даже меньше) для того, чтобы получить вполне удовлетворительное приближение к точному решению. Пользуясь геометрическим языком, основную идею метода Ритца можно пояснить след>ющим образом.

Нам нужно найти минимум функционала У(у), рассматриваемого на некотором многообразии Ф, имеющем бесконечное число измерений. Мы заменяем это многообразие совок>пностью линейных комбинаций а первых функций из некоторой фиксированной последовательности (~„), т. е. многообразием не более чем и измерений (полагая и = 1, 2,...), и ищем минимум нашего функционала на этом конечномерном многообразии, т, е., иначе говоря, ищем в этом конечномерном многообразии тот вектор, который является возможно лучшим приближением решения исходной вариационной задачи. Беря последовательно линейные комбинации одной, двух и т. д. функций, мы получаем последовательность вложенных друг в друга многообразий Ф„ возрастающей размерности.

Если линейные 9 38! созствзнныг. екнкции и значения злдьчи штгемл — иитвилля 199 комбинации функций (~у„) всюду плотны в многообразии Ф, то это означает, что векторами ив Ф„(при различных и) можно сколь угодно точно аппроксимировать любой элемент из Ф, в частности тот, который дает решение рассматриваемой вариационной задачи (если такой существует). Аппроксимация бесконечномерного многообразия конечномерными лежит в основе многих прямых методов вариационного исчисления. Укажем из них еше один, встречающийся, по существу, уже у Эйлера. Еще в гл. ! мы упоминали в связи с выводом уравнения Эйлера о том, что каждую задачу о нахождении экстремума функционала ь / Р (х, у, у')г!х л можно (приближенно) заменить задачей о нахождении экстрем> ма для функции конечного числа переменных, если искомую функцию заменить ломаной, вершины которой имеют фиксированные абсциссы х,, х,, ..., х„, а ее производную у'(х) — разностным отношением у (хгь,) — у (х;) дх~ При этом функционал (б) заменяется функцией конечного числа переменных у,=уг(хг) (1=1, 2, ..., и).

Найдя при каждом и ту ломаную, которая дает минимум соответствующей функции и переменных, мы построим последовательность ломаных, которые можно рассматривать как приближенные решения исходной вариационной задачи. Говоря о методе Ритка и о методе ломаных, мы ограничились здесь указанием способов фактического построения приближенных решений, оставив в стороне вопросы сходимости и вопросы с>шествования точного решения.

Подробное изложение прямых методов и их применений читатель найдет, например, в книгах; Л. В. Канторович и В. И. !(р ы лов, «Приближенные методы высшего анализа» и С. Г. М и х л и н, «Прямые методы математической физики». ф 38. Собственные функции и собственные значения краевой задачи Штурма — Лнувилля Рассмотрим применение прямых методов вариапионного исчисления к дифференциальным уравнениям на примере следующей задачи. Лано дифференциальное уравнение Штурма — Лиувилля — (Ру') + (гу = >у (1) 200 пвямыв мвтоды вьяиьционного исчислвния [гл. чпг г'[у[ = '[ (Ру' + Дуг) сгх а (3) при условиях [ у г(х=1 (4) у (а) = у (Ь) = О. (2) Поэтому, если некоторая функция у(х) будет решением этой вариационной задачи, то она будет решением и уравнения (1) (отличным, очевидно, от тождественного нуля в силу условия (4)). ,Оля применения к этой вариационной задаче прямых методов покажем прежде .всего, что интеграл (3) ограничен снизу.

Так кав Р(х) > О, то [ (Ру' +Дуг) с(х > ~ ауге(х; а а но где Р(х) > О имеет непрерывную производную и даны граничные условия у (а) = у (д) = О. (2) Требуется найти решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям (2), определив при этом те значения параметра Л, при которых эта задача имеет решения, отличные от тождественного нуля. Совокупность уравнения (1) и граничных условий (2) мы будем называть краевой задачей Штурма — Лиувилля. Те значения параметра, при которых уравнение (1) имеет ненулевые решения, удовлетворяющие условиям (2), называются собственными значениями, а сами эти решения — собственными фунгсяиями данной краевой задачи.

В этом параграфе мы с помощью прямых методов вариационного исчисления >становим следующую теорему. Для краевой задачи (1), (2) существует бесконечная последовательность собственных значений Л,, Лг...,, Л„,..., причем каждому из Л„отвечает единственная, с точностью до постоянного множителя, собственная функиия. Одновременно с доказательством сформулированного утверждения мы получим и способ приближенного нахождения этих собственных значений и отвечающих им собственных ф>нкций. Заметим прежде всего, что уравнение (1) есть уравнение Эйлера, отвечающее следующей задаче на условный экстремум: найти минимум функционала $ 38[ созствянныв етнкции и знлчения злдлчи гпттгмл — лигвилля 201 где »И = поп Я (х). а<а<а у (х) = ~ а„51п пх а=! (б) и будем искать минимум функционала (3) только на этих функциях.

Сам функционал (3) при этом запишется в виде квадратичной формы l с .)[аг, аг, ..., а [= =)> Р[д ы""") ! Ь(У» *) ~»" »6! а условие (4) — в виде гг а„згп пх)»(х = 1, О и=! Граничные условия выполняются автоматически в силу самого выбора функций»а„(х) = сйп пх. Выполнив в левой части равенства (7) интегрирование почленно, получим М вЂ” а' = — 1.

2 (8) а=! Это равенство означает, что квадратичная форма (6), к которой сводится функционал (3) на множестве функций вида (6), рассматривается на поверхности сферы в т-мерном пространстве. По теореме Вейерштрасса форма (6) достигает на сфере (8) минимума в некоторой точке. Пусть это будет точка (ан а, ..., а ) и пусть и у = ь а 5[пах. и=! Полагая т = !. 2, ..., получим последовательность минимумов Л!г»г.

),!г!', ... (9) Таким образом, интеграл (2) действительно ограничен снизу. Воспользуемся теперь изложенным в предыдущем параграфе методом Ритца. Для упрощения записи будем вместо интервала (а, Ь) рассматривать интервал (О, к). Возьмем на этом интервале какую- либо полную ортогональную систему функций [;ь„ (х)), удовлетворяющих граничным условиям (2), например [51п ах). Рассмотрим всевозможные линейные комбинации первых т функций этой системы пгямыа мвтоды влгилционного исчисления !гл, тыл й02 соответствующих квадратичных форм.