И.М. Гельфанд, С.В. Фомин - Вариационное исчисление, страница 30

чп Компоненты векторов Е и Н удобно рассматривать как составляющие тензорного поля (7) ЧеРез электРомагнитный потенциал 1Аа] эти составлЯющие выРажаются следующим образом: дАс дАа Ны = — — —. (8) дха дхс С помощью тензора Н, уравнения Максвелла записываются в виде з ~д — ",""'=О (1=0, 1, 2, 3), (9) а-о 0,1,2 — + — ~+ =О, й1 и= дНа~ дН„,а дНьз дхж дх~ дха Переходя здесь к потенциалу 1Аа), получаем, что уравнения (10) являются следствием равенств (8), а уравнение (9) с учетом условия Лоренца (6) приводится к виду ()Аа — — О, (11) где дэ дэ да да (:) — — +— дхз1 дхй дхз д4 Покажем, как это УРавнение дла 1Аа) полУчаетсЯ с помощью пРинципа стационарного действия.

Для электромагнитного поля лагранжиан имеет следующий вид*): Е = — (Ез — Нз). (12) *) Это выражение для лагранжиана электромагнитного поля может быть получено из следующих общих соображений. Оно представляет собой елииственную с точностью до постоянного множителя комбинацию Е и Н, инвариантную относительно преобразований Лоренца и градиентного преобразования, не содержащую членов выше второй степени (последнее условие обеспечивает получение в качестве соответствующих уравнений Эйлера линейных уравнений). 0 Е, Нм —— Е, Ез — Š— Е Е г з Нз Нз — Н 0 Н вЂ” Н, 0 (10) 2, 3, О, 3, О, 1.

$ 35) звлвненив клайна — гогдонл и явавнзния млксвиллл !91 Поэтому з — ( '+''+ д дЕ дЕ 1 ( д Аа доАо доАа дхо д( дАа ! дхо 4в 1 дх дх~ дхо ( дхо / з т. е. для /а=О уравнение (14) принимает вид д Ао + доАа + доАо доАо дх~ дха дхз дхо Аналогично при л = 1, 2, 3 получаем доАо доА» доАо доАа ,"+ — + — * — —, О.

дхзг дхзз дхоз д.хз 4а) (13з) (13„) Заменив здесь Е и Н их выражениями (4) через вектор электро- магнитного потенциала (Ао), получим Е = 4 ((йтап Ао — — ) — (го! А)о(. (13) Уравнения Эйлера з дх Г отвечаюшие этому лаграижиану, могут быть приведены к виду (!1), Проверим это, например, лля компоненты Ао (для остальных выкладки аналогичны). Из (!3) получаем, что дЕ д( 1 (дАо дА~) ( дАо ~ д( дАа! 4з ( дх, дхо/ ~ дхо / !дх~ / дЕ ! ( дАо дАо! !( дАо ! 4з! дхо дхо/' '! дхо / дЕ 1 дАо дАо дЕ дхо Следовательно, з Х вЂ” „, д дЕ ' дЕ дхг 1( дАо ! дАа 'д( — ) 4" ~ дхх, дхо дал дха(, д~~ дхо дх, /~ ' Из условия Лоренца (6) получаем, что дА~ дАо дАо дАо — + — '+ — '= — ' дх~ дхо дх, дха ' 192 влвилционныя задачи с частными пгоизводными (гл.

чп Но это и есть не что иное, как записанное в компонентах уравнение (11). Приводя уравнение (14). к виду (15), мы воспользовались условиями Лоренца. Вместо этого мы могли бы заранее ввести в лагранжиан дополнительный член, а именно положить 1 дА чэ дАоээ 1 Ь = — ~(ятас$ А — — 1 — (го1 А)э — 116!ч А — — ') ~. (16) Ь'1 а дха) дхо Уравнения Эйлера для такого лагранжиана приводятся к виду (15) при произвольном 1Ао). Налагая условия Лоренца, мы сводим (16) к (13).

Лагранжиан (13), отвечающий уравнениям Максвелла, инвариантен относительно градиентных преобразований, образующих группу, зависящую от одной произвольной функции, а также относительно параллельных переносов и преобразований 31оренца. В силу теоремы Нетер инвариантность лагранжиана относительно указанных преобразований приводит к соответствующим законам сохранения. Именно инвариант- ность относительно параллельных переносов приводит к сохранению энергии и трех компонент импульса, а инвариантность относительно лоренцевых преобразований дает сохранение момента количества движения "). Инвариантность лагранжиана (13) относительно группы градиентных преобразований, зависящих от произвольной функции, означает в соответствии со второй теоремой Нетер наличие линейной зависи- ° мости между соответствующими уравнениями Эйлера, т. е., иначе говоря, неоднозначность их решения. Действительно, уравнениями Максвелла электромагнитный потенциал, 1Ао) не определяется однозначно.

Для получения однозначного решения к уравнениям Максвелла следует присоединить еше одно уравнение, в качестве которого обычно берется уже упоминавшееся выше условие Лоренца гйч А — — = О. дАо дхо *) Отметим, что уравнения Максвелла инвариантны не только относительно параллельных переносов и преобрззований Лоренца, но и относителвно некоторой более обширной группы преобразований, завиСящих от 15 параметров. Инваризнтность относительно этой группы приводит к тому, что, кроме упоминавшихся выше 10 законов сохранения, имеют место еще б, не имеющие, впрочем, непосредственного фнзияеского смысла.

Подробно вопрос о законах сохранения для уравнений Максвелла рассмотрен, например, в работе Бессель-Х а ге и, Ма1лещанзсЬе Аппа!ев, 84, 1921, 253. ГЛАВА НШ ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧЕ ШТУРМА — ЛИУьВИЛЛЯ ф 36. Понятие о прямых методах вариационного исчисления Основным методом доказательства существования и фактического нахождения решения той или иной вариационной задачи, которым мы пользовались в предыдущих главах, было сведение этого вопроса к вопросу о существовании решения некоторого дифференциального уравнения (или системы дифференциальных уравнений).

Этот метод. однако, не всегда приводит к желаемому результату. Его применение осложняется еще тем, что для решения задач вариационного исчисления требуется нахождение решения соответствующих дифференциальных уравнений не в малой окрестности некоторой точки (как это обычно делается в теории дифференциальных уравнений), а в некоторой фиксированной области, на границе которой искомое решение должно удовлетворять определенным граничным условиям. Возникающие на этом пути трудности заставили искать в вариационном исчислении другие, так называемые прямые методы (т. е, не сводящие вариационную задачу к дифференциальным уравнениям).

Развитие прямых методов вариационного исчисления оказалось полезным не только непосредственно для вариационных задач, но и для других областей математики, в частности, они нашли широкое применение в теории дифференциальных уравнений. Основная идея использования вариационных методов в дифференциальных уравнениях состоит в следующем. Если данное дифференциальное уравнение можно рассматривать как уравнение Эйлера для некоторого функционала и если установлено тем или иным путем, что этот функционал имеет экстремум в классе достаточно гладких функций, то тем самым >станавливается, что исходное уравнение имеет решение, удовлетворяющее краевым условиям, отвечающим рассматриваемой вариационной задаче.

Как будет показано ниже, прямые методы вариационного исчисления дают возможность не только доказывать существование соответствующего решения, но и фактически находить его с любой степенью точности. 194 пгяь<ыв мвтоды влвиьционного исчислвния [гл. чш Существует много различных приемов, объединяемых общим названием «прямые методы». Один из наиболее употребительных среди них — так называемый метод Ритка — мы рассмотрим ниже.

Однако большинство всех этих методов основано на одной и той же обшей идее, которая состоит в следующем. Рассмотрим, для определенности, задачу о нахождении минимума некоторого функционала з'[у[, определенного на каком-то классе % допустимых кривых. Для того чтобы задача имела смысл, следует предположить, что в классе И существуют кривые, для которых з[у! ( + оо, и что 1п12 [у! = р, ~ — оо. В этом случае, по определению точной нижней грани, существует такая последовательность кривых уо у, ..., у„, ... — мы назовем ее минимизирующей последовательностью, — что (2) ит У [у„! = р. л.+оь Если для последовательности [у„[ существует предельная кривая у<з> и если окажется законным предельный переход У[у<о<! = <нп У[у„[, (3) то тогда у[ <з<! „, т. е.

предельная кривая у<з> и будет решением рассматриваемой задачи. Таким образом, решение вариационной задачи прямым методом сла- гается из 1) построения минимизирующей последовательности [у„), 2) доказательства существования у этой последовательности пре- дельной кривой у<а<, 3) доказательства законности предельного перехода (3). Сами члены минимизирующей последовательности можно рассмат- ривать как приближенные решения соответствующей вариационной задачи. Подчеркнем следующее.

1. Построение минимизирующей последовательности, очевидно, возможно всегда, если только 1п1з'[у! ') — со. Каждый из употреб- ляемых в вариационном исчислении прямых методов характеризуется, собственно говоря, именно способом построения минимизирующих последозагельностей. Подробнее об этом будет сказано в следующем параграфе. 2. Хотя минимизирующую последовательность можно построить во всякой вариационной задаче, предельная кривая такой последова- $36! понятии о пгямых мвтодлх вагиационного исчнслвния 195 тельности может не существовать.

Рассмотрим, например, функционал 1 г!у[= ! х у г(х у( 1)= 1 у(1)=11 -1 он принимает положительные аначения и для него 1п1У[у! = О. В качестве минимизирующей последовательности здесь можно взять последовательность функций (4) Действительно, 1 лхв вх 1 У[У ! = [,, — -ьО при и-+со. д агс$д л (1+ л'х') йл агсгя л .т Но последовательность (4), очевидно, в классе непрерывных функций, удовлетворяющих граничным условиям у ( — 1) = — 1, у (1) = 1, никакого предела не имеет. 3.

Вопрос о законности предельного перехода (3) в предположении существования предела минимизирующей последовательности (если у„ -ь у понимается как сходимость самих только функций без производных) для функционалов тоже не тривиален, поскольку рассматриваемые в вариационном исчислении функционалы, вообще говоря, не непрерывны в метрике С, и следовательно, значение функционалаг' для функции у<в> = 1пп у„, вообще говоря, отлично от 1!щ У[у„!. П.+ и.+ В ряде случаев обосновать предельный переход (3) можно с помощью следующих соображений. Для справедливости равенства (3) непрерывность функционала У[у! не обязательна, а достаточно, чтобы он был полунепрерывен снизу*).

в) Напомним определение полунепрерывности снизу (для обычных функций действительного переменного). Неравенство [у(х+ 6) — у(к) ! < м с помощью которого определяется непрерывность в точке х, равносильно двум неравенствам у(л+ В) — у(л) > —,, (а) у(л+ д) — у(х) < (Ь) если для любого а > О существует такое в, что при всех ! а ! < в выполнено первое неравенство, то функция называется полунепрерывной снизу в точке к, Заменив неравенство (а) неравенством (Ь), мы получим определение полу- непрерывности сверху (которое было бы существенно прн рассмотрении вопроса о максимуме функционала). В [гл. шп 196 пгямые методы ваяилционного исчисления Действительно, тогда, с одной стороны, 7[у!О>]> 1ПП У[ул]=1П!У[у], л -+ со а с другой, в силу полунепрерывности снизу, при всех достаточно больших и, /[у„] — У[уз! ) —., [6) Таким образом,' из [5) и [6) получаем, что действительно У]уо] = 1!в У[ул], если только функционал з' полунепрерывен снизу.

Аналогичным образом при нахождении с помощью прямых методов максимума функционала достаточно для законности соответствующего предельного перехода, чтобы рассматриваемый функционал был полунепрерывен сверху. $ 37. Метод Ритца и метод ломаных Как было сказано выше, основой так называемых прямых методов вариационного исчисления является построение минимизирующих последовательностей функций. Одним из наиболее распространенных' прямых методов является метод.ритца, который состоит в следующем. Пусть ищется минимум функционала у]у[, заданного на каком-то многообразии, лежащем в некотором линейном нормированном пространстве Е. Рассмотрим некотор>ю последовательность функций [2) линейные комбинации ул СР~+ ° + Слтл [ч) откуда при п -лсх> получаем /[уз] (йщ 7[ул] т.

е., в силу произвольности а ) О, /[уе] ( 11ш /[у ] 1о 9а ° ° 1л из Е такую, что как сами функции, так и их являются допустимыми для функционала [1). заданном и выбрать коэффициенты с„, и=! значение у[с17, + ... + с„ел] [3) Поставим задачу: прй 2, ..., п так, чтобы з 37! мзтод гитцл и мзтод ломаных 197 было воаможно меньше. Это — задача о нахождении минимума функции от п переменных (которыми являются с,, с, ..., с,), т. е. несравненно более простая, чем нахождение минимума функционала (1). Таким образом, при каждом п мы получим соответствующий минимум р„. Ясно, что при увеличении и этот минимум не может возрастать, т.