Chertov (А.Г. Чертов, А.А. Воробьев Задачник по физике.), страница 13

Известно, что система отсчета, связанная с центром масс замкнутой системы тел, является инерци- альной. В рассматриваемом случае центр масс системы ракета— Земля будет практически совпадать с центром Земли, так как масса М Земли много больше массы т ракеты. Следовательно, систему отсчета, связанную с центром Земли, можно считать практически инерциальной. Согласно закону сохранения механической энергии, запишем т,+п,=т,+и,, (1) где Т, и П, — кинетическая и потенциальная энергия системы раке- та — Земля в начальном состоянии (на поверхности Земли); Т, и П, — те же величины в конечном состоянии (на расстоянии, равном радиусу Земли).

В выбранной системе отсчета кинетическая энергия Земли равна нулю. Поэтому Т, есть просто начальная кинетическая энергия ракеты; Тд=д(, то,'. Потенциальная энергия системы в начальном состоянии * П,==- — 6шМЯ. По мере удаления ракеты от поверхно- сти Земли ее потенциальная энергия будет возрастать, а кинетиче- ская — убывать. В конечном состоянии кинетическая энергия Т, станет равной нулю, а потенциальная энергия П, достигнет макси- мального значения; П,— — 6лг И!(2)тд). Подставив значения Т„П„Т, и П, в выражение (1), получим 1, тМ гМ вЂ” тпд — 6 — ' = — 6 —, 2 ' й 2 од откуда после сокращения на и найдем о,=)д 6МЯ.

Заметив, что 6МЯз=й (д — ускорение свободного падения у ко- верхности Земли), перепишем эту формулу в виде о, = Р'й)?, что совпадает с выражением для первой космической скорости ( . р .и р ц. и д °, „., р,. д, Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел, беско- нечно удаленных друг от друга, принимается равной вулю. 63 вычисления, получим О,= — 7,9 10' м!с. Пример 3. Найти выражение для потенциальной энергии П гравитационного взаимодействия Земли и тела массой т, находящегося на расстоянии г от центра Земли за пределами ее поверхности. Построить график П(г). Р е ш е н и е. Потенциальная энергия в поле консервативных спл (гравитационные силы консервативны) связана с силой следующим соотношением: Г= — йгабП= — (1 — +1 — +й — ', .дП . дП дП1 0 Рис.

4.3 где 1, 1, й — единичные векторы осей координат (орты); дП дП дИ вЂ” —, — — частные производные потенциальной энергии по соот- дх' ду' дг ветствующим координатам. В случае, когда поле сил обладает сферической симметрией, это выражение упрощается. Если ось х совместить с радиусом-вектором г, направленным по радиусусферы, дП дП дП то — и — обращаются в нуль и тогда Г= — 1 —.

Так как веду дг дх ' г кторы г и 1 совпадают (рис. 4.3) и П зави- СИТ ТОЛЬКО ОТ Г, ТО у Г= — — —. (1) Запишем в векторной форме закон всех мирного тяготения: Г =- — б —, тМ г (2) где 6 — гравитационная постоянная; М вЂ” масса Земли. Сравнивая выражения (!) и (2), найдем — =С вЂ” "', откуда Йг ВП =- С вЂ” ""г 4(г. Взяв от этого равенства неопределенный интеграл, получим П= — б — +С, г где С вЂ” постоянная интегрирования. Полученное выражение показывает, что потенциальная энергия может быть определена лишь с точностью до некоторой произвольной постоянной.

1. Если принять потенциальную энергию бесконечно удаленных друг от друга тел равной нулю, то постоянная С обращается в нуль. В этом случае запишем П (г) = — бт.И/г. Соответствующая зависимость П (г) изображается графиком, представленным на рис. 4.4. 2, Если же принять потенциальную энергию равной нулю на поверхности Земли, то П (г) =- — б — + С = О, С = б— тМ тМ й и тогда П(г) =б — — б — ' Но так как г=-гс+й, где (г — высота тела над поверхностью Земли, то тМ б пьЧ лгМ й 74+а -- (И, й) Л Если й«17, то П(й) = б —,, й, или, так как д=б —., ~~г П (й) =тдй.

Пример 4. В гравитационном поле Земли тело массой т перемещается из точки 1 в точку 2 (рис. 4.5). Определить скорость ог тела в точке 2, если в точке 1 его скорость и, = — )гд1~ =7,9 км1с. Лг) Ускорение свободного падения д считать известным. Р е щ е н и е. Система тело — Земля является замкчутой, в которой действует консерваРис. 4.4 Рис.

4.5 тинная сила — сила гравитационного взаимодействия. Поэтому можно воспользоваться законом сохранения механической энергии (инерциальиую систему отсчета свяжем с центром масс системы). Тогда можно записать Е,==Ег, или Т,+П,=-:Т,+П„ где Т„П, и Тг, Пг — соответственно кинетические и потенциальные энергии в начальном 1 и конечном 2 состояниях. Заметим, что центр масс системы тело — Земля практически совпадает с центрол~ масс Земли (лг«М), и поэтому кинетическая энергия Земли в начальном и конечном состояниях равна нулю.

Тогда г г 2 ' -' 2гс ' .65 3 лг гиии Подставив зти выражения в (!), получим Заменив ОМ=дй' и произведя сокращения, найдем и',=-о',+ +',йЯ, откуда о., = )/ о', + — п17. з Так как о,'-==дЯ (по условию задачи), то ' = Ф з й)'=' У з Произведя вычисления, получим о, = у — 7,9 кмис = 9,12 км7с. Г4 У Пример 5.

Вычислить работу А„сил гравитационного поля Земли прн перемещении тела массой и-=10 кг из точки 1 в точку 2 (рис. 4.5). Радиус Я земли и ускорение д свободного падения вблизи поверхности Земли считать известными. Р е ш е н и е. Для решения задачи воспользуемся соотношением между работой А и изменением ЛП потенциальной энергии. Так как силы системы — гравитационные — относятся к силам консервативным, то работа сил поля совершается за счет убыли потенциальной энергии, т.

е. А„=- — ЛП=-П,— П„ (1) где П, и П, — потенциальные энергии системы тело — Земля соответственно в начальном и конечном ее состояниях. Условимся, что потенциальная энергия взаимодействия тела и Земли равна нулю, когда тело находится на бесконечно большом расстоянии от Земли, тогда на расстоянии г потенциальная энергия тм выразится равенством П= — 6 —, где М вЂ” масса Земли.

Г Для расстояний г,=ЗЯ и г,= — 2)х, заданных в условиях задачи (рис. 4.5), получим два выражения потенциальной энергии: П,=- — бтМ1(8К); П,= — СтМ7(2К). Подставив эти выражения П, и П, в формулу (1), получим М Заметив, что 6 —,=д, преобразуем последнее выражение к виду '4ы = ~ ГпФ~. Подставив значения т, д, )г в зто выражение и произведя вычисления, найдем А~ '~.,10,9 81 6 37,10в Дж=1,04 1Ов Дж 104 МДж Пример 6. Верхний конец стального стержня длиной 1= — 5 м с площадью поперечного сечения 5.= 4 см' закреплен неподвижно, к нижнему подвешен груз массой >п = 2 1О' кг, Определить: 1) нормальное напряжение о материала стержня; 2) абсолютное х и отно- снтельное е удлинения стержня; 3) потенциальную энергию П растянутого стержня.

Р е ш е н и е. 1. Нормальное напряжение материала растяну- того стержня выражается формулой о =Г(5, где Š— сила, дейст- вующая вдоль оси стержня. В данном случае Е равна силе тяжести тд и поэтому можем записать о== ту(5. Сделав вычисления, найдем а=-49 МПа. 2. Абсолютное удлинение выражается формулой х — -= Е(((Е5), где Š— модуль Юнга.

Подставив значения величин Е, 1, 5 и Е в эту формулу (значе- ние Е взять из табл. 11) и произведя вычисления, получим х=-Г(((Е5) = тд(((Е5) =2 10" 9,81.6((200 10' 4 14 ') м= =- 1,23 10 '" м== 1,23 мм. Относительное удлинение стержня а=.х((=2,46.10 '. 3. Потенциальная энергия растянутого стержня П = — (еа(2)1', где )( — объем тела, равный 5(. Поэтому П=-(за(2)5(. Выполнив вычисления по этой формуле, получим П:=-12,1 Дж. Пример 7. Из пружинного пистолета был произведен выстрел вертикально вверх.

Определить высоту й, па которую поднимается пуля массой т =:- 20 г, если пружина жесткостью (г = 196 Н(м была сжата перед выстрелом на х = 1О см. Массой пружины пренебречь. Р е ш е н и е. Система пуля — Земля (вместе с пистолетом) яв- ляется замкнутой системой, в которой действуют консервативные силы — силы упругости н силы тяготения. Поэтому для решения задачи можно применить закон сохранения энергии в механике. Согласно этому закону, полная механическая энергия Е, системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энергии Е., в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту й), т, е.

Е, =-Е„или Т,+П,=-Т,+П„ (1) где Т, и Т, — кинетические энергии системы в начальном и конеч- ном состояниях; П, и П, — потенциальные энергии в тех же состоя- ниях, Так как кинетические энергии пули в начальном н конечном со- стояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид П,=П,. (2) Если потенциальную энергию в поле тяготения Земли на ее по- верхность принять равной нулю, то энергия системы в начальном состоянии равна потенциальной энергии сжатой пружины, т.