Chertov (А.Г. Чертов, А.А. Воробьев Задачник по физике.), страница 10

Так как а,=О и Л1=1, то М1= †,, от- куда М = — (а,!Г. (1) Момент инерции диска относительно его геометрической оси равен (='1,тг'. Подставив это выражение в формулу (1), найдем М =- — тг'а,? (2 1) . (2) Выразив угловую скорость а; через частоту вращения п; и произведя вычисления по формуле (2), найдем М= — 1 Нм. 2. В условии задачи дано число оборотов, сделанных махови- ком до остановки, т. е. его угловое перемещение.

Поэтому приме- ним формулу, выражающую связь работы с изменением кинетиче- ской энергии: А =-,(а!, 2 — Ха,'!2, или, учтя, что а2=0, А = — Уа',12. (3) Работа при вращательном движении определяется по формуле А=М~р. Подставив выражения работы и момента инерции диска в формулу (3), получим М гр = — тг'оф4. Отсюда момент силы трения М = — — тг2а'„'(4щ).

(4) Угол поворота ~р — 2лДГ=-2 3,!4 200 рад=1256 рад. Произведи вычисления по формуле (4), получим М= — 1 Нм. Знак минус показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее действие. Пример 6. Платформа в виде диска радиусом )с=-1,5 м и массой т,=160 кг вращается по инерции около вертикальной оси с часто- той п=10 мин '. В центре платформы стоит человек массой т,= =60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы? Р е ш е н и е.

По закону сохранения момента импульса, ('~1+ 2)а ( 1+ 2) (1) где у, — момент инерции платформы; з', — момент инерции че- ловека, стоящего в центре платформы; а — угловая скорость платформы с человеком, стоящим в ее центре; у; — момент инерции 48 человека, стоящего на краю платформы; а' — угловая скорость платформы с человеком, стоящим на ее краю. Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением о=ы'Я. (2) Определив а' из уравнения (1) и подставив полученное вырая е ше в формулу (2), будем иметь о=(~,+ )~)ы1~,'(У~-~- (я).

(3) Момент инерции платформы рассчитываем как для диска; следовательно, У,=-'1,тЯ'. Момент инерции человека рассчитываем как для материальной точки. Поэтому У,=-О, У;=-тЯ'. Угловая скорость платформы до перехода человека равна а=2лн. Заменив в формуле (3) величины У„У„У,' и сз их выражениями, получим ' ам~~~" + м~н'"' т,+2ж. Сделав подстановку значений т„нт„п, Я и л, найдем линейную скорость человека; ьзо — з во 2 3,14'во'1,5 м1с=0,942 м/с.

юо ~о Пример 7. Человек стоит в центре скамьи ~Куковского и вместе с вей вращается по инерции. Частота вращения п,=0,5 с '. Момент Рис. 3.5 инерции /, тела человека относительно оси вращения равен 1,6 кг м'. В вытянутых в стороны руках человек держит по гире массой т=2 кг каждая. Расстояние между гирями 1,=1,6 м. Определить частоту вращения п, скамьи с человеком, когда он опустит руки и расстояние 1.„, между гирями станет равным 0,4 м. Моментом инерции скамьи пренебречь. Р е ш е н и е. Человек, держащий гири (рис.

3.5), составляет вместе со скамьей замкнутую механическую систему е, поэтому момент импульса з'ш этой системы должен иметь постоянное значение. Следовательно, для данного случая 21ГО1 '~2О22 где 21 и ш, — момент инерции тела человека и угловая скорость скамьи и человека с вытянутыми руками; и', и ш, — момент инерции тела человека и угловая скорость скамьи и человека с опущенными руками. Отсюда О12- ( ~1~ ~2)Ш1 ° Выразив в этом уравнении угловые скорости ш; и ш, через частоты вращения и, и и,(ш=2лп) и сократив на 2л, получим п,=(31(йе)п,.

(1) Момент инерции системы, рассматриваемой в данной задаче, равен сумме момента инерции тела человека г', и момента инерции гирь в руках человека. Так как размер гирь много меньше расстояния их от оси вращения, то момент инерции гирь можно определить по формуле момента инерции материальной точки: г =-гпгз. Следовательно е*, (1=- (2+2т((112)', а'2=Х2+2т(1,„(2)2, где и — масса каждой из гирь; 1, и !2 — первоначальное и конечное расстояние между гирями. Подставив выражения (ги г'2 в уравнение (1), получим 'р .)й 2'о+ 2ш (11/2)' 1 (2)' гг Ф Выполнив вычисления по ~)юрмуле (2), гп найдем и ),! п,=1,18 с '. Пример 8. Стержень длиной 1=1,5 м и ! массой М=!О кг может вращаться вокруг Рис.

3.6 неподвижной оси, проходящей через верх- ний конец стержня (рис. 3.6). В середину стержня ударяет пуля массой и=!О г, летящая в горизонтальном направлении со скоростью п„=500 мгс, и застревает в стержне. На какой угол 2р отклонится стержень после удара? Р е ш е н и е. Удар пули следует рассматривать как неупругий: после удара и пуля, и соответствующая точка стержня будут двигаться с одинаковыми скоростями. Рассмотрим подробнее явления, происходящие при ударе.

Сначала пуля, ударившись о стержень, за ничтожно малый промежу- * Предполагается, что момевты всех внешних сил (сил тяжести и сил реакции), действующих на эту систему по отношению к оси вращения, являются уравновешенными. Трением пренебречь. ** В действительности с изменением положения рук человека (без гирь) изменяетси момент инерции его тела относительно оси вращения, однако ввиду сложности учета этого изменения будем считать момент инерции 22 тела человека постоянным. 60 ток времени приводит его в движение с угловой скоростью в и сообщает ему кинетическую энергию Т= Ув" 2, (1) где У вЂ” момент инерции стержня относительно оси вращения. Затеи стержень поворачивается на искомый угол Ч~, причем центр масс его поднимается на высоту гг — (112) (1 — соз ср).

В от- клоненном положении стержень будет обладать потенциальной энергией П=ЛЩ.'2)(1 — соз р). (2) Потенциальная энерги получена за счет кинетической энергии и равна ей по закону сохранения энергии. Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим Ма(52) (1 — соз <р)=/в-"'2. Отсюда соз ~р=1 — ЛоЧ(Мф). Подставив в эту формулу выражение для момента инерции стержня /=МИ.З, получим р=-1 — (в '(зя). (3) Чтобы из выражения (3) найти гр, необходимо предварительно определить значение в.

В момент удара на пулю и на стержень действуют силы тяжести, линии действия которых проходят через ось вращения и направлены вертикально вниз. Моменты этих сил относительно оси вращения равны нулю. Поэтому при ударе пули о стержень будет справедлив закон сохранения момента импульса. В начальный момент удара угловая скорость стержня в,=О, поэтому его момент импульса Е„=/в„=О. Пуля коснулась стержня и начала углубляться в стержень, сообщая ему угловое ускорение и участвуя во вращении стержня около оси. Начальный момент импульса пули Е„=-лщ,г, где г — расстояние точки попадания от оси вращения. В конечный момент удара стержень имел угловую скорость в, а пуля — линейную скорость о, равную линейной скорости точек стержня, находящихся на расстоянии г от оси вра- щения.

Так как о=вг, то конечный момент импульса пули Е,= г тиг=тг'в. Применив закон сохранения импульса, можем написать ЕмтЕю2=Е~ 1 Ем илн тпог=lв+тг"в, откуда т Ьг г ( з В (4)' где У=МР.'3 — момент инерции системы стержень — пуля. Если учесть, что в (4) тг"-«У=-М1' 3, а также что г=12, то после несложных преобразований получим и' (5) 51 Подставив числовые значения величин в (5), найдем 3. 1Π— ' 500 3 10 ~ 5 Рад=0,5 Рад.

По (3) получим соз ср=1 — 1,5(0,5)'1(3 9,81)=0,987. Следовательно, р=-9'20', Задачи Момен~я инерции 3.1. Определить момент инерции У материальной точки массой т — 0,3 кг относительно оси, отстоящей от точки на г — — 20 см. 3.2. Два маленьких шарика массой т= 10 г каждый скреплены топким невесомым стержнем длиной 1=20 см. Определить момент инерции / системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс. З.З. Два п~ара массами т и 2т (т=10 г) закреплены на тонком невесомом стержне длиной 1=40 см так, как это указано на рис. 3.7, а, б.

Определить моменты инерции 7 системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец в этих двух случаях. Размерами шаров пренебречь. Рис. 3.8 Рас. 3.7 3.4. Три маленьких шарика массой т=-10 г каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной а= =20 см н скреплены между собой. Определить момент инерции 7 системы относительно оси: 1) перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности; 2) лежащей в плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности и одну из вершин треугольника. Массой стержней, соединяющих шары, пренебречь. 3.5. Определить моменты инерции У„, У„, .7, трехатомных молекул типа АВ, относительно осей х, у, г (рис. 3.8), проходящих через центр инерции С молекулы (ось г перпендикулярна плоско- стиху).МежъядерноерасстояниеАВобозначенод, валентный угола.

Вычисления выполнить для следующих молекул: 1) Н,О (е(= =0,097 нм, се=104'30'); 2) ЬО, (е(=0,145 нм, а=124'), 3.6. Определить момент инерции У тонкого однородного стержня длиной 1=30 см и массой и=100 г относительно оси, перпенднку- лярной стержню и проходящей через: 1) его конец; 2) его середину; 3) точку, отстоящую от конца стержня на 1!3 его длины, 3.7.