Kolesnikov K.S. Sbornik zadach po teoreticheskoj mehanike (Колесников. Сборник задач по теоретической механике (1983)), страница 16

Деталь (материальная точка) массы ль лежит иа горизонтальной плите. Коэффициент трения скольжения для пары деталь — плита равен /. В некоторый момент времени (е О) неподвижную деталь начинают обдувать однородным потоком воадуха, вектор скорости которого направлен под постоянным углом а к гориаонту, а модуль этого вектора изменяется во времени по закону л, =2,5У2 С и/с. Воздушный поток воздействует иа деталь с силой Н )гт„, где )в=сопл()0, т,— скорость потока относительно детали. Определить время начала, движения детали и аависимость скоростн детали от времени, если т = 0,1 кг, / = 0,2, св 45', р 0,1 Н с/и, л = 10 и/с'. Ответ: г, 1 с, лО) =2[(+е" "— 2] и/с. 102 гл.

з динамика точки 8.4. Тело массы т падает без начальной скорости па Землю, преодолевая сопротивлепие воздуха. Сила сопротивления пропорциональна скорости тела. Коэффициент пропорциональности равен )г ()г = сопв$ ~ 0). Полагая поле снл тягкести однородным, определить предельную (максимальпую) скорость падения тела. Ответ: о, = тд/)г. 8.5. Лодка массы т, получив начальную скорость т„движется поступательно н прямолинейно, преодолевая сопротивление воды. Сила сопротивления К = — рт, где и — скорость лодки, р = сопз$ ) О. Полагая т= 48 кг в.о,= 10 и/с, определить: 1) коэффициент )г силы сопротивления, если после прохождения расстояния в 50 м скорость лодки равна 5 мlс, а также найти время, аа которое лодка пройдет это расстояние; 2) наибольшее расстояние, которое пройдет лодка и время прохождения этого расстояния. Ответ: 1) )г 4,8 Н ° с/и, )=101п2 с; 2) в„,„=100 и, 1= 8.8.

Тело массы т, прикрепленное к концу педебюрмироваппой пружины, покоится на гладкой горизонтальной плоскости. Ось пружины горизонтальна. В некоторый момент времени П = О) тело приводится в прямолинейное поступательное движение с начальной скоростью то направленной по оси" пружины. Зависимость силы упругости пружины от ее деформации Л имеет впд г = сЛ", где с = сопз$) О. Определить, при какой деформации пружины скорость тела уменьшится в .и раз по сравненшо с его начальной скоростью. Г 2мг" (и — $) Ответ: Л =- '1// СН' 8.7.

Тело массы т, прикрепленное к концу недеформвроваппой пружины, приводится в прямолинейное поступательное движение по гладкой горизонтальной плоскости с начальной скоростью т„ направленной по оси врун~ивы. Величина силы упругости пропорциональна деформации пружины Л, т. е.

г = сЛ, где с = сопи! ) О. Кроме пружины, к телу прикреплен шток с поршнем, помещенным в цилиндр, ааполнепный жидкостью. При движении поршня возникает сила сопротивления, величина которой Н=)го', где и — скорость поршня, )г сопзФ)0. Найти значение вачальвой скорости тела, при котором опо остановится, пройдя путь, равный Л еш в см / 2)г) '1 а Ответ: и = вт/ — )Ь1+) — — 1)е Р 8.8.

Ползуи 1 и тело 2 массы т, присоединенное к нему при помощи пружины, коэффициент жесткости которои равен с, находятся в покое на гладкой наклонной плоскости, образующей е ь движкннв точки в инкгциальнон систнмн отсчвгь 1ОВ угол а с гориаонтом. В некоторый момент времени П О) ползуп начинает двигаться вверх с постоянной скоростью и, сжимая пружину н приводя в движение тело. При движении тело преодолевает силу сопротивления среды В= — рт, где т — скорость тела, )а = сонат) О. К аадаче 8.8.

К задача 8.7. Считая, что начало отсчета координаты х совпадает с поло>кеннем покоящегося тела, получить уравнение его двинаения но наклонной плоскости. При решении задачи обозначить с/т = й' и принять )а/т = 2)с. Ответ: х()) = ит — — + — 11+И)в 2и 2и -ы 8.9. Материальная точка массы т, двигавшаяся прямолинейно по гладкой горизонтальной плоскости 1совнадающей с плоскостью рисунка) с постоянной скоростью т„в некоторый момент времени В =О) касается упругой нити в ее середние и при дальнейшем движении растягивает зту нить.

В момент касания скорость ч„точки перпендикулярна нити. Предварительное натяженке нити пренебрежимо мало и при ее растяжении возникает сила упругости Т = сХ, где ). — деформация вити, с = сопев) О. Найти максимальную величину силы натяжения нити. Ответ: Тм,а = ф 'т' 2сна. К задаче 8.8. К задаче ВЛО. ай. Прямой круговой цилиндр массы т погружается, оставз.

ясь в вертикальном положении, в неподвижную жидкость, плотность которой р. В начальный момент времени цилиндр находился з покое н его нижнее основание касалось поверхности жидкости. Высота цилиндра Ь, площадь поперечного сечения 8. Фл з дниемике точки Пренебрегая силами сопротивления н полагая т= рай, найти скорость цилиндра в тот момент, когда его верхнее основание совпадет с поверхностью жидкости. Ответ: и Удй. 8Л1. Прямой круговой цилиндр масси т движется поступательно, вертикально вниз в новдкостн.

В начальный момент времени (е О) его верхнее основание находилось на поверхности жидкости и цилиндр имел скорость т,. На цилиндр действует направленная по его оси вниз сила Г, величина которон Р— Ь( (Ь = сонет) О) и сила сопротивления жидкости К = — )Ат, где )А = сопе$ ) О, т — скорость цилиндра. Считая, что величина выталкивающей силы, приложенной к погруженному цилиндру, равна силе тяягести, найти аависнмость скорости цилиндра от времени. Ответ: и (Е) (ие + — ~-) е + — ~à — —, Р н~ и/' К задаче 8Л2.

К задаче 81К 8Л2. Материальная точка массы т начинает двигаться без начальной скорости иа точки А по гладкой направляющей, ураз- 2пе кение которой р = асоз —. Определить силу давления точки на направляющую в тот момент, когда она проходит через точку В. Ответ; )ч' = тл 1+ 16лт— 1е 8.13. Материальная точка массы гп движется по гладкой горнаонтальной плоскости Оху нод действием сялы г'(е), направленной параллельно оси з, Модуль силы изменяется по закону Е ЬР, где Ь сопз1) О.

Начальная скорость т, направлена под угле)в а( л/2 к линии действия силы г Й), Получить уравнение траектории точки. Ответ; л 12 ~е за/ +е с(йа' $ ) дви)кение тОчки В инегпизльной системе Отсчета 1Об 8А4. Материальная точка М массы т движется в вертикальной плоскости па кольцу радиуса т). В начальный момент времени материальная точка находилась в точке А на горизонталь пом диаметре кольца и ей была сообщена скорость т,. Козффи циент трения скольжения между точкой и кольцом равен (.

К задаче 8Л4. К задаче 8 Ж Пайти наименьшее значение начальной скорости, при каторои точна М достигнет противоположного конца горизонтального диаиетра кольца. у (( + 4/з) 8.15. Материальная точка М массы т движется в вертикальной плоскости пад деиствием постоянной горизонтальной силы тяги Г, силы сопротивления В = †(зт ((з сопз$ ~ О, ч — скорость точки) и вертикальной подъемной силы (С, величина йота рой )',)=йо„, где й сапа( 'О. 11олучить уравнение движения точки в направлении оси у, если в начальный момент времени (в= 0) ее положение совпадало с началом системы координат, а ее начальная скорость гориаонтальна и равна та Ответ: у =- т(а)+а,е )'~)( — т'(а)+аз)(1 — в И~), где т ал У (з )" ) а) =- — — у, аз= р' рт рт в К задаче 8Л5.

К задаче 8Л6. 8,16. Тало массы т, падавшее на Землю в спокойном воадухе вертикально, с постоянной скоростью ч, тй/(4 ((з сапа( з ГЛ 8 ДИПАМИКА ТОЧКИ 108 ) О), на высоте й над поверхностью Земли попадает в воздушный поток, который движется горизонтально с постоянной скоростью н. Сила сопротивления, действующая на тело в воздушном потоке, Н вЂ” рч„где ч, — скорость тела относительно потока воздуха. Определить величину горизонтального отклонения тела ог первоначального направления его движения в момент падения ка Землю.

л й еей Ответ: л(й) = ит~ —,— ~1 — е )~, где т = — т,~)А. ~фа 8Л7. Материальная точка массы т, прикрепленная к нерастяжимой нити, движется по гладков горизонтальной плоскости, преодолевая сопротивление вязкой среды Сила сопротивления Н= — рч, где )й сопел) О, ч — скорость точки. Нить наматывается ка топкий вертикальный стержень с постоянной скоростью, равной и.

Начальная скорость ч, точки перпендикулярна нити, а начальная длина пити равна й Найти зависимости скорости точки н натяжения нити ат времени. При решении аадачи рекомендуется использовать полярные координаты. Р йа й О 1е '" „ййй ее о "о е Ответ: ил= — и, и =- 0 — ай) ' 0 „)й М = ))и+ ЗЛ8. Используя условия задачи 8Л7, найти уравнения движения точки в полярных координатах я предельное [при С- ) значение силы натяжения нити, если скорость наматываемой на стержень нити не постоянна, а изменяется во времени по закону и айв ", где а=сопзс)0, е — начальная длина нити, е -е( — — йа)1 Ответ; г= )е ", ер= ' )1 — е — — 2а) при — ) За, 2)л т 0 ~ее й при — = За, 2р при — < За.

28 8Л9. Две материальные точки М, и М,, массы которых равны т, и т, соответственно, связаны нерастяжимой нитью, проходящей через отверстие в гладкой горизонтальной плоскости. В начальный момент времени точка М, находилась на плоскости на расстоянии г, от отверстия и ей была сообщена скорость ч, (вектор скорости расположен в горизонтальной плоскости и перпендикулярен нити). Точка Мй, подвешенная на нити, покоилась.