Kolesnikov K.S. Sbornik zadach po teoreticheskoj mehanike (Колесников. Сборник задач по теоретической механике (1983)), страница 12

Выразить через ети углы направляющие косинусы самолетных осей относительно осей трехграпнвка Дарбу. Ответ: ! Р \ с(в1п й сов б ~ соя й вше — яш йв)п бсове ~ сов й сове+ ягой ап и вше — в1п й мп ~2 — мп бсоя й совч( в(п б Ип Е сов й — Ип й сове ч ~ сов й сове — ипб соя б ьш б совб соя б о ~ ипияпб — вш и сов)) сов и сов )) сов и в ~ — ьш р сова ~ Ипп 6.28. Гирогорнвонт представляет собой специальное гкроскопическое устройство 1 (на Рисунке оно условно изображено в виде параллелепипеда), установленное на внутренней рамке 2 карданова подвеса и деиствующее таким образом, что плоскость о этой рамки сохраняет у горивонтальное положение г прн любых качаниях ко- 4 рабля; наружная ось под- и с о' веса параллельна продоль- о -- а и ной оси корабля.

При этом в, угол сь поворота наружной рамки относительно корабля и угол р поворота внутренней рамки относительно наружной служат мерой бортовой и килевой К задаче 6.28. качки корабля. С внутронней ранкой (площадкой Я) связали трехгранник Охуг (ось д совпадает, с осью внутренней рамки, ось х перпендикулярна площадке Я), а с кораблем — трехгранник О,х,у,х, (ось х, параллельна продольной оси корабля, ось х, перпендикулярна палубе).

Найти выражения направляющих косинусов осей х„у„х, относительно осей х, у, х через углы качки корабля. Ответ; гл 7 сложнов движение точки 76 6.29. Лользуясь одним гпрогорязоптом (см. предыдущую задачу), создают искусственные горвзовтальпые площадки в различных точках корабля. Чтобы получить подобную площадку, достаточно подвесить ее в такой х,, же карданов подвес, как у гярогорнзовта, н, получая от него Ф Внфорчацию, поворачивать площадку Я, относительно корабля ва те же углы и н (), ва которые повернута площадка Я гирогорнзовта. Допустив, что вследствие неточности начальной выставки наружная ось подвеся площадки Я, отклонена от одноименной осн гнрогорнзонта на малый угол 6, оставаясь параллельной палубе.

Какова в этом случае ошибка стабилнзацнн (т. е. откловенве от горизонта) площадки 5,7 Уяааекяе Составив таблнцы яаправляющнх косянусов осей в н в| (нормалей площадок 8 и 8~) относятельно осев корабля, сравните ях мевьду собой. ! ю в в|п () — чп и совр сочи сов 6 в, ~ совб мп б+ чп 6 чпи сов 6 )вш 6 чп 6 — чписовб~ов66 сависаар ! 6' - вшб — бвшисовб г Р ! о — чписовб — бчп 6 ~ !--- 7 Гласа 7 СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 5 Е Движение точки при заданных переносном и относительном ее движениях 7Л. Колесо обозрения 1 радиуса В = 12 м вращается с постоянной угловой скоростью ы, 0,2 рад/с вокруг осн, проходящеи через точку О перпендикулярно плоскости рисунка. Кабины 2 и 3 шарнирно прикреплены к ободу и поворачиваются по отношению к колесу с постоянными угловыми скоростями ю, 0,2 рад/с.

Ответ: в таблице приведены направляющие косинусы осей г к г, относительно осен корабля. В третьей строке указаны раз= ности соответствующих косинусов, вычисленные с точностью до малых второго порядка относительно угла 6. ф ь двизкхник пги ЗАдАнных состдвнъ|х движеииян 77 Определить абсолютные скорости и ускорения точек С и В, находящихся на вертикалях, проходящих соответственно через точки А и В, если АС ВВ = 2 м. Ответ: ое = ие = 2,4 и/с, ае ав = 0,48 м/с'.

Не й К задаче 72. К дздзчз 7 К 7.2. Вал 1 вращаезся вокруг вертикальной оси О,Оз с постояннои угловой скоростью ы, =2 рад/с. К валу в точке О прикреплена горизонтально расположенная ось, вокруг которой равномерно вращается диск2 радиуса  — $5 см Опроделить абсолютные скорости и ус- а корения точек А и В диска, если ю, = ам. Ответ: и. = 42,43 см/с, а* $20 см/с', гв 30 см/с, аз= 134,2 см/с'. 7.3. Для охлаждения жидкостного ракетного двигателя один из компонентов жидкого топлива прокачивается через полость, заключенную мезкду внутренней 1 и нарулзнои 2 стенками двигателя Полагая, что поток жидкости, охлаждатощеи камеру сгорания двигателя, одномерный н его скорость т, относительно стенок камеры постоянна по модулю, определить К задаче 7 3.

абсолютное ускорение частицы М жидкости как функцию угла ~р. Двигатель вращается вокруг осв, проходящей через точку О, перпендикулярно плоско сти рисунка с постоянной угловой скоростью ю. Радиус цилиндрическои обечайки камеры сгорания т, величиной зазора между внутренней и наруяспой стенками двигателя по оравнению с т пренебречь.

Ответ: ам езу(озт+ 2Р,Р+ м'г' сайд <р. з'л. 7. слОжнОе движение точки 78 7А. Движение корпуса самолета в вертикальной плоскости Оху, проходнщей через точку С (центр масс самолета), описывается уравнениями: хс = 507 и, уо = 10Р м, ~р = — 7 рад (~ — угол поворота корпуса самолета в плоскости Охр вокруг точки С), Винт самолета вращается с постоянной угловой скоростью ы, = 120я рад/с.

Для момента времени 7=1 с определцть скорость н ускорение точки В винта по отношению к корпусу самолета, перепос- К задаче 7А. ную скорость и переносное ускорение этой точки, а также ускорение Кориолнса а„. Считать, что прн 7= 1 с точка В находится в плоскости Оху, АВ 0,4 м, АС= 2 и. Ответ: пв = 150,8 мыс, аве =- 56 850 и/сз, гв = 94,26 з7)с, ав =— = 79,63 и/сз, а„= О. 7.5. По однородному шарнирно опертому стержню АВ длины 1=100 см, нзгибные колебания которого описываютсн уравнени- ях ем у (х, 7) = Ае соз ы,1з1п — см, скользит кольцо М по закону АМ =вИ) О,Ф см.

Определить скорость и ускорение кольца относительно стержня, скорость и ускорение кольца в переносном движении н ускорение Кориолиса в тот момент времени, когда АМ 1/5, если А, = - 4 см, ы, и/6 рад/с, и, = 10 см/с, Векторы скоростей и ускорений показать на рисунке.

~В К задаче 7.6. К задаче 7.5. з $, дВижкние пги ВАдАнных состАВных дВижениях 79 Ответ: ам = 0,08 см/сз, ам = 10 см/с, ам = 0,32 см/с", гзз = 1,07 см/с, а„= 0,92 смlсз. 7.6. По трубке ВС, изогнутой по дуге окружности радиуса В = 6 см в вращающейся вокруг неподвижной оси 00, по закону ц~(П вЂ” ((5 — О рад, движется точка М. Уравнение движения точки М относительно трубки ВМ п/з см. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени 1 — 2 с, если АВ = СО =4 см. Ответ: ин 15,57 см/с, ан = 47,46 см/с'.

7.7. По поверхности диска радиуса В 6 см, враща)бщегося с постоянной угловой скоростью ез 1 рад/с вокруг оси, проходящей через точку 0 перпендикулярно плоскости рисунка, движется точка М. Траектория точки М на поверхности диска образована двумя полуокружностями радиусов т, = 2 см н т, = 4 см с центрами в точках О, и О,. Дуговая координата точки М при движении ее относительно диска изменяется во времени по закону АМ = зП) = 2п(' см. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени ( 1 с, если ~-ОСЮ= 60'. Ответ: он = 9,17 смlс, ан 21,44 см/с'. К задаче 7.7. К задаче 7.8. 7.8.

Диск радиуса 0=8„16 см вращается с постоянной угловой скоростью ю = 2 рад/с вокруг оси 0,0,. По поверхности диска движется точка М. Уравнения ее двнязення относительно диска имеют внд: ОМ = т(0 = 3в см, ~р(1) — з рад, Определить абсолютную скорость н абсолютное ускоренно точки М в момент времени 1 1 с, если 1 4,08 см. Считать в 2,72. Ответ: пн 12,3 см/с, ав 31,69 см/с', 7.9. Катер пересекает реку так, что его центр масс — точка С вЂ” движется по кривой //=/зх"* — Ь (ось х направлена вдоль берега) с постоянной скоростью и = 9 км/ч, вектор которой образует постоянный угол а - 30 с продольной осью катера.

Пас- гл. 7 сложное лвижвпик точки сажир движется вдоль катера по прямой АВ от точкл А„ь В с постоянной относительно катера скоростью и 0,5 м/с. Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение пассажира в тот момент, когда ов находитсл в точке С катера, а точка С удалена от берега па расстояние у=400 и. Коэффицпенты йиЬравныг й 0,5 м ", Ь 100и. Ответ: е 2,94 м/с; а 0,74 ° 10 ' м/с'. И задаче 7 9. К задаче 7 КЬ 7ЛО.

В механизме копировального станка копкр 1, скользя в неподвижных направляющих со скоростью и, =2( см/с, приводит в движение полаун 2 и шарнирно соединенный с якм горизонтальный шток 8. Определить скорость н ускорение точки В штока 2 в мочепт времени 8 1 с, если ползун А в системе коордпват Оху, сзяванной с копирои, описывает траекторию у* (хз — 2)' см н в указанный момент времени его координата хз 3 см. Ответ: лв 1 см/с, а = О. 7Л1.

Полагая в задаче 7ЛО, что движение ползуна 2 в денартовой системе координат Оху, связанной с копнрои 1, описывается уравнениями х*(Π— 2 + з си, уз(О = В си, определить скорость и ускорение' точки В штока 8 в момент вречени ( 1 с. Ответ: и,— 1 си/с, а, =О. 7Л2. Вал 1 с жестко прикрепленным к нему стержнем СО вращается вокруг оси ОО, с постоянной угловой скоростью сз, 2 рад/с. По валу ОО, и стержню С)) движутся муфты А и В, шарнирно соединенные со стержнем 2 длины 1 м.

Муфта А движется по валу ОО, вверх с постоянной скоростью е =0,2 и/с. Определить угловую скорость и угловоо ускорение стержня 2 в относительном (по отношению к валу ОО,) двилзении, абсолютные скорость и ускорение муфты В, если ез = 60'. Ответ: азз 0,23 рад/с, ез 0,03 рад/с', ез 1,74 и/с, а, 3,56 и/с'. $1 дВижение пги задАнных 'составных дВижснияв я 7ЛЗ. По шатуну 2 кривошипно-ползуппого механизма скользит кольцо М по закону АМ = г11) — 101о см.

Определить абсолютную скорость и абсолютное ускоренно кольца в момент времени 1 = 2 с, //о если ю, 1 рад/с, е, 3 рад/с, ео = 30, ~-АОВ =90', ОА = 40 см. К задаче 7.13 К задаче 7.12. Ответ: оч 77,27 см/с, ам 95,94 см/с*. 7Л4.