Kolesnikov K.S. Sbornik zadach po teoreticheskoj mehanike (523125), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В начальный момент рамка и колесо покоилнсь, затем рамку повернули вокруг неподвижной оси з' на 360'. Какова будет ориентация колеса к концу етого поворотаг Ответ: по отношению к первоначальному положению колесо 6 ока1кется повернутым вокруг оси з на угол 1р = 4нз1п —,, где а 8 — угол между осями з и г'. К задача 6.5. К задача 6.6.
6.6. Волчок 1, помещенный в обойму 2, опертую в неподвижной точке О, прецесснрует так, что обойма вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью ф, а волчок вращается 70 гч 6 СФегическок днижьние и овщии случАи двияжния относительно иее с постоянной угловой скоростью ~р; при этом ось волчка образует с вертикалью постоянный угол 6. Определить абсолютную угловую скорость и угловое ускорение волчка в проекциях па оси Охуз, скропленпые с обоймой (ось волчка лежит в плоскости хх). Ответ: ы„= <р з(п 6, ы„= О, а, = ~р соз 6+ 9, е, = е, = О, е„= ~99 з)п 6. 6.7. В условият йредыдуп(ей задачи вычислить скорость точки Л волчка с координатами х з = 10 см, у = О, если ~р = = 30 рад/с, ф 3 рад/с, 6 = 30'.
Ответ: и,,=0, а,=140 см/с, о, = О. 6.8. В условкях задачи 6.6 вычислить ускоропне точки Л волчка в момент, когда координаты точки равны х = у = О, з = 20 см. Ответ: а„= 96 и/с', а„=0, а, = — 45 м/с'"'. 6.9. Оптичоскнй визир 1 установлен в кардановом подвесе, наружная ось 2 которого вертикальна, а внутренняя 3 горизон- тальна; оптическая ось визы- 9(зв ) ра горизонтальна и направлена на Север. При наведении визира на цель пришлось позеру путь его вокруг вертикальной Маг~""') — — осн на угол а = 45', а вокруг горизонтальной — на угол а((вава) Вычислить углы, обраауемые линией визирования с осями $, в), Ь, направленк соответственно ва Восток, Север и з К задаче 6.9.
Зенит (трехгранник Дарбу, ори- ентированный географически). Ответ: углы, образуемые с осими ь, т(, $, соответственно рав кы: 110'40', 69'20', 30'. 6.10. В условиях предыдущей задачи получить формулы, определяющие скорость цели по измеряемым текущим значениям углов и, 9 н раостоянию Л до цели. Ответ: проекции скорости цели на оси трехгранника Дарбу равны: а, Н(() з(п а з(п р — а соз а соз р) — /7 з(п а соз (), о„= — /1(9 соз а з)п р + а з1п и соз р) + Й соз а соз р, аг = Л)) соз ~ + Л з1п ().
6.11. Визир, установленный в пункте с широтой ~р, сладит за подвижной целью. $ !. сФКРическое дВижение и ОБщей случАЙ двигненпя 71 Получить формулы, позволяющие вычислить абсолютяую угловую скорость визира по измеряемым углам наведения а и 5. (Здесь под абсолютной угловой скоростью подразумевается скорость вращения в ннерцнальной системе отсчета.) Ответ: гвв = 5 соя а, гв„5 я) и а + О сов 1р, гвг = а + (/ я) и <р, где (/ — угловая скорость Земли.
6Л2. Самолет совершает' горизонтальный полет курсом 45' со скоростью в=800 км/ч, качка отсутствует. (При горизонтальном полете курс самолета — зто угол между вектором скорости самолета и направлением па Север.) Вычислить абсолютную угловун1 скорость ю самолета в момент пересечения нм параллели 80' (св — угловая скорость в ннерцнальной системе отсчета), (г Выразить гв в дуговых минутах в минуту времени ('/мнн). 1)А Ь 'О Ответ: проекция абсолютном угловой скорости на оси трех- / ) --2 ~ грапника Дарбу равны гвг = А — 5,1'/мнн, го„= -7,7'/мин, ы1= = 43,5'/мин. „ /г 6ЛЗ.
Конический роликовый подшипник состоит из внутренне- // го кольца 7, насаженного на ось я ротора 2, наружного кольца Ь' ч у нескольких конических ролпков 4. При указанных на рисунке размерах определить угловую скорость и угловое ускорение ролика, если он катится без проскальзывания, а угловая скорость ротора постоянна и равна П. сов (Р + 2а) сов (Р + 2а) сев Р Пв Ответ: гв = в о 2а ~' 2 сова сов 0)+а) 6Л4. Вычислить угловое ускорение ролика (см.
задачу 6Л3) прв переменной угловой скорости ротор» П; ось ротора прнпягь ленгащей в плоскости уев. Ответ: проекции вектора углово1о ускорения на оси коорде- сов (5+ 2а) сов 6 в сов (() + 2а) ев(1 нат рввны св Есовас в(5+а) ~ " мп2а сов' В1~ сов(Р+ 2а) ) ряб в1п 2а Вг ' 6Л5. В условиях задачи 6,13 определить скорость точки А ролика и ускорение точки В касании его с наружным кольцом. Ь Ответ: вв,— — гвЬЕ(па, ивв — — пв,— — О, ав„=О, авв — — е — Х Ь :ч в)в р, ав, е — совр, гв н е указаны в ответе к задаче 6.13.
6Л6. Для точной доводки поверхности детали, имегощей форму шара, ее обрабатывают (прнтирают) с помощью инструмента 1, представляющего собой чашу, внутренняя поверхность ко- 72 Гл. 6, сФИРичиског движвкие и овшин случАЙ движения торой концентрична обрабатываемой сфере и прилегает к вей. Шар и инструмент вращают — первый вокруг осн Я с угловой скоростью ез„второй вокруг оси 2, с угловой скоростью е»„ оси 2 и Е» пересекаются в центре шара. Вычислить наибочьшую и наименьшую скорости, с которыми точки инструмента двилеутся относительно поверхности шара, если радиус шара В=АО см, »р =60', 26 40', ез»=5,25 рад/с, ез» 1,04 рад/с. Ответ: Наибольшую скорость имеет точка В, наиболее удаленная от мгновенной оси относительного вращения; эта ось наклонна к оси Я под углом 5! 03': Скорость скольжения (относительная скорость) точки В направлена перпендикулярно Йлоскости осей Е и 2» от читателя н равна 28,5 см/с. Наименьшую скорость сколЬжения, равную нулю, имеет точка инструмента, лежащая на мгновенной оси относительного вращения.
1» задаче 6.!6 1» задаче 6Л7 6Л7. Велосипедист движется по круговой доролеке трека с постоянной скоростью Р. Каковы прн атом угловая скорость и угловое ускорение колеса велосипеда) Радиус трека г(, радиус колеса г; принять, что во время движения плоскость колеса остается вертикальной и оно катится без проскальзывания. )/~е+ „з „е Ответ: оз = Р ~, е = —. йг Яг 6Л8. Определить в предыдущей задаче угловое ускорение колеса во время разгона велосипедиста, когда скорость его изменяется по закону и=а( (а=соне().
Ответ: проекции углового ускорения на оси х, у, х равны: е„-а/г, з„из/07г), е, -а/г (ось з вертикальна н проходит через центр траектории, ось х проходит через центр колеса). 6Л9. Колесо 1 насажено на горизонтальную ось АВ, укрепленную в вилке 2, вращающейся вокруг вертикальной оси 3. При этом колесо катится по горизонтальной плоскости бев проскальзывания, касаясь ее одной точкой С, 3 (. сФегичвское ДВижение и ОБщий случАЙ дйижения 73 Показать, что в каждый момент времени па колесе имеются точки, скорости которых противоположны скорости центра колеса; указать расположение этих точек. Ответ: эти точки расположены ниже 1 ливии ОС.
6.20. В условиях предыдущей задачи ,з определить Модуль и иаправленне уско- К задаче 6дэ. реиия центра колеса и точки касания его с плоскостью, если 00 =4 м, радиус колеса 1 и, угловая скорость Вилки 2 постоянна и равна 0,3 радйс.
Ответ: ускорение центра колеса равно 0,36 мйс' н направлено к точке О; ускорение точки касания С равно 1,48 и/с' и направлено перпендикулярно линии ОС вверх. 6.21. Передача вращения от вала з' к валу 11 с переменным пере1(аточпым числом осуществляется с помощью фрикционной пары дисков 1 и 2, насаженных на эти валы. Привяв, что диски касаются в од' ной точке, проскальзывание отсутствует, угловая скорость ведущего диска равна ы = сопз1, его радиус равен г, определить угловую скорость и угловое ускорение ведущего диска относительно системы отсчета, связанной с ведомым диском. Ответ: зз„,=гоГгз+аЧа, е„, = ы*г/а.
6.22. В условиях предыдущей задачи указать те точки ведущего диска, скорость которых относительно ведомого диска равна нулю, если а=9 см, г= ЗУЗ см. Ответ; такими точками являются те, которые расположены па мгновенной оси относительного вращения; зта ось проходит через точку касания дисков С и наклонена к валу 7 под углом 30'. 6.23. Центр масс С космической станции движется по круговой орбите вокруг Земли с первой космической скоростью и - удй, где Й— А ) радиус Земли. Ось симметрии станции остается все время направленной к центру Земли, Одновременно с этим станция вращается вокруг оси симметрии, делая два оборота в минуту. Вычислить угловую скорость и угловое ускорение станции з проекциях па осн орбитальной системы координат.
(Орбитальная система координат — сопровождающий станцию ортогональный Н зала ~е 6 2( 74 Гл е сФегичкское движвние и ОБщий слъ'\ей двннгення трехгранник, ось х которсго направлена к центру Земчн, а ось у — по касательной к траектории.) Ответ: ы, 1,24 ° 10 ' рад/с, ез„=0, ы, = 0,21 рад/с, е,= с, О, Б„0,26 10-' рад/с'. 6.24. Вычислить абсолютные ускореппя точек А н В станции, описанной в предыдущей задаче, если координаты этих точек в орбитальной системе равны: хз 100 м, уе =О, хз= 20 м; хе =О, уе 100 м, х„20 м.
Ответ: для точки А: а„— 4,4 мыс', а„0, а, = — у; для точки В: а,=0, а„--4,4 и/с', а, = -у. 6.26. Получить формулы, определяющие ускорение любой точки сганцнн, совершающей описанное в задаче 6.23 движение, обозначив угловую скорость вращения станции вокруг осн з через хз. Ответ: а, = — П'х, а„= — (т'+ П')у, а, 2Пгх — и'х — у, где х, у, х — координаты точки в орбитальной системе, т = ууИ. 6.26. На рпсупке изображен гироскоп ут в кардановом подвесе. Положение ротора относительно основания прибора может быть определено с помощью трех следующих углов: сз — угол поворота наружной К задаче 626. рамки х относительно основания, угол поворота внутренней рамки 2 относительно наружной, 7 — угол поворота ротора 3 относительно внутренней рамки.
Получить выражение абсолзотной угловой скорости ротора через этн углы, полагая основание ноподвп кпым. Ответ: в = г ссз+))з+ у'+ 2ссув(пр (если Р отсчитывать от положения, при котором ось ротора перпендикулярна осн наружной рамки). 5 2. Пространственная ориентация 6.27. Для задания пространственной ориентации самолета с ним обычно связывают прямоугольную систему координат г газовал) Схух, начало которой — точ- К задаче 6.27. ка С вЂ” совпадает с центром масс самолета, ось х — с продольной осью самолета, а ось у располагается в плоскости его симметрии. Ориентацию этих осей, а следовательно, н самолета, с которым они связаны, относи- а(Сглаз~ е 2 пгостгяпственнья огиептлция 75 тельно трехгранника Дарбу (см. задачу 6.9) падают тремя следующими углами: й — курс самолета, б — угол тангажа, ср — угол крена (папрапленне отсчета этих углов показано на рисут<е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
