Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003), страница 9

(91) Условие симметричности (75) тензора Р приводится теперь к виду РХ чг О. (92) Тензору О, в столбцах которого располагаются элементы градиентов проекций вектора а, приписывают обозначение [см. (80) ) Е>=та афтаб а (93) [см, формулу (89)), где оператор «градиент вектора», в отличие от градиента скалярной функции, отмечают заглавной буквой. Выражение полного дифференциала вектора а можно представить равенствами дат (аа)~ = — ахг = Эяйхг= 0ндх = (сз"ат) дх,. ГЛ. Е ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОИ ВЕЛИЧИНЫ или, в не зависящей от координат форме, равенством г[а= 0'г[ т. (94) Введем операцию «производная вектора а по вектору Ь» и обозначим ее символом з(а/з1Ь1тогда будем иметь да (96) аг Меру неоднородности векторного поля общего вида — тензор 0— можно разложить на две составляющие: деформацию и ротацию поля.

Для этого воспользуемся ранее установленным разложением тензора на симметричную и антисимметричиую части: О ем — (О+ 0') + — (Π— 0') = 5 + А, 2 2 (96) 0' ви — (О' + Р) + — (О' — 0) = 5 + А". 2 2 Симметричную часть 3, равную 3 = — ~бгаб а + — ! = бе1 а г да 1 (97) аз дН, 1 да, а, дНз аз, дна (бе1 а)ззь = — — '+ — — + — — з На й1а Нзнз даз Нзнз дез д 1 д а ЬН, а, дн, (бе1 а)з„ь= — ~ — — '+ 2 1 Нз джаз Нз дчз НаНз джаз НзН, доз ) ' даз 1 даз, аз, дНа аз, дИз (61.)нза- — — — + 2 1 На дча Нз Ьаз НаН» даз НаНз Ьез ) 1 даз, аз дНз ам дИа (бе1 а)з„,= — — "+ — ' — '+ — ' На даз Изнз даа НзИз даз д 1 д, а, дН, а ЬН 1 (бе1 а)„„— — ~ — — '+ — — * — — ' 2 ~ Нз дез Нз Ьаз НзНз й1» И»Из даз ! (99) 1 д а, дН, а дН, (бе[ а)„„= — — + — ' — + — —, На [Ьез НаИз деа НаНа й1з назовем мерой деформации, илн, короче, деформацией векторного поля.

Ее компоненты в прямолинейной ортогональной декартовой системе координат будут (бе(а)н= — ~ — + — ~ (з,!=1,2,3). 1 з ьа1 даз1 2 1, дхз дхг,! Компоненты теизора бе1а в ортогональных криволинейных координатах имеют вид (бе[ а)з~, —— арз дН, а) 2 1 Н да Н, й1з Н,Нз дез НаНз й1а,/ да аз дН, а, дН, а дН, а дн, *+ — " ' при г=з, Н де Нз й1, Н,Н, доз Н,Н, джаз НзН, й1» з е мерл неоднородности векторного поля (с)е1а),.„= (с)е1а)„„, (йе(а)„„= (йе1а)„„, (т)е1 а) „„= (ое1 а) „„. Так, в цилиндрической системе координат г, е, г (Н„=1, Н, г, Н,= 1) имеем А~, ! 3 да, (Ж а),„= — ', (йе1 а)„= — — ' + — ', (йе1 а)„=- —, дг г де г (с)е1 а)„= — ~ — — ' + — '), (йе1 а)„= — ( — '+ — *), (100) г да а ! да, т (ое1 а)„, = — ~ — ' — — '+ — — '! .

2 дг г г де ! В сферической системе Р, О, е (Н =1, Не=К Н, К з!п6) дан ! дае ая (с$е1 а)дд = —, (с)е1 а)ее = — — + — ° д)! Я дО )! дае ае ан (йе1 а)ее = —, — + — с166 + —, Уз)п О де Р Р ! г дае Йпе (йе1 а)е = (йе1 а),з = — ~ — ' — ае с16 6) + 2гс 'т дО ! 2Яз)пО де ! Гдаз аз ! даи т (ое1 а)ае = (пе1 «)ед = 2 ~ дк )! )ч дО!' ! г ! дан да а Ж а)за= (йе1а)ае 2 ~ )1з!пО де д)! Р ! * (1О1) Антнсимметричная часть А = — ~Огай а — — ) ! г йа 'т 2 ~ й.) (102) с компонентами в пряятоугольной декартовой системе (103) имеющая в качестве «сопутствующего» вектора Г да! да! тт се=Ау = — ~ — — — ! = — го(за 2 ~ дхс дх)) 2 (104) (и=1, 2, 3; 1-ч-!-»тч-з-...)> т. е.

вектор с= — — го1 а, ! 2 (105) называется ротацией векторного поля '). Согласно (56) будет Ь0 = Э'Ь =- Ь йе1 а + — ' го1 а х Ь. 2 (106) ') Происхождение терминов деформация н ротация связано с применением нх к полям яереиесцеяий нлн скоростей точек сплошной среды (см. далее ОО )2, )3).

ГЛ. Е ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ 36 $10. Основные интегральные формулы поля. Теоремы Гаусса — Остроградского и Стокса Используя определение (79) пространственной производной, можно вывести имеющие фундаментальное значение в механике жидкости н газа интегральные формулы поля. Перепишем предельные определения пространственных производных (80) в приближенной форме, верной с точностью до малых четвертого порядка относительно характерного линейного размера й элементарной области. Рассмотрим далее вывод на примере первой из формул (80). Введем для малого объема бт ) п~рбо=йтаб<рбт+ 0(Ь'). (107) (108) так как при суммировании по объему малых величин четвертого порядка накопится ошибка первого порядка, в пределе прн й- 0 обращающаяся в нуль. Аналогично, в соответствии с (80) получим систему интегральных формул ~п або=~6(чабт, ~ п х а бо = ) го1 а бт, ь ~ пТ бо = Г~ГЗ(ч Т бт, (109) совокупность которых можно представить в удобной для запоминания символической форме )п...бо=)ч ...бт, (110) Формула (110) дает возможность перехода от поверхностного интеграла к объемному с заменой нормали и в первом интеграле иа ч во втором.

Многоточием в обеих частях обозначается интегрируемая величина с соответствующим для нее знаком умножения. Просуммируем обе части этого равенства по всем элементарным объемам бт, составляющим конечный объем т. Заметим, что на общей границе бо двух любых смежных элементарных объемов единичные векторы и будут иметь противоположные для каждого из объемов направления, что при непрерывности скалярной функции ~р приведет к взаимному попарному уничтожению элементов поверхностного интеграла, стоящего в левой части равенства (107).

Такое взаимное уничтожение не затронет, очевидно, только поверхности элементарных объемов, находящихся на внешней границе поверхности о, ограничивающей объем т. Сумма таких нескомпенсированных элементов приводит к интегралу) ларбо для поверхности конечного объема. Суммирование первых членов в правой части дает интеграл йтаду бт.

Таким образом, придем к точной формуле ') ну бо = ) йтаб ф бт, е ч $ >О ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ПОЛЯ зт Первая нз формул системы (109), которую перепншем в развернутом виде еще так (суммнрованне по !): двг и або=~а„бо=~(аг>,)оо= ~ б(чабт= ! — бт, (111) дх> а а ь и выражает теорему Гаусс а — Остроградского. Введем понятие потока вектора а через поверхность о: г,'(а)=) а бо=) а або, (112) где а„а и — проекция вектора а на нормаль и к поверхности о в данной ее точке. Само по себе определение (112) имеет смысл как для замкнутых, так н для разомкнутых поверхностей, причем знак р,(а), Рис. 4 Рис. 6 Рис.

6 очевидно, зависит от выбора направления нормали и в одну нлн в другую сторону. В формуле (11!) фигурируют замкнутая поверхность н внешняя нормаль. Таким образом, теорему Г а у с с а — О с т р о г р а дского можно сформулировать так: поток вектора через замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем, равен интегралу по этому объему от дивергенции вектора. Для доказательства другой, также очень важной теоремы Сто к с а понадобится понятие циркуляции вектора а по произвольному контуру С (рнс.

4), которая определяется криволинейным интегралом вдоль контура С: Гс(а) = ~ а бг = ~ а>бх>. (113) л (с> л >с> Направление нормали должно соответствовать направлению обхода контура С, т. е. со стороны нормали обход должен представляться в В случае замкнутого (В->-А), самого себя не пересекающего контура С пнркуляцня обозначается символом Гс(а) =$ а бг =$ а>бх>. (114) >с> >с> Направление обхода контура С выбирается таким, чтобы ограниченная контуром поверхность о оставалась прн обходе слева. Теорема Сто кс а утверждает, что циркуляция вектора по замкнутому контуру С, на который опирается разомкнутая поверхность о (рнс.

5), равна потоку вектора го! а через поверхность о: Г, (а) = Р, (го1 а), (1! 5) а соответствующая этой теореме формула Стоке а имеет внд ~>а бе= $ го1„або. (! 16) с и 38 ГЛ. Ь ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ положительном (против часовой стрелки) направлении. Докажем сначала теорему Стокса для элементарного прямоугольника АВСР (рис. 8), расположенного в плоскости х,=сонэ( (ось Ох, направлена перпендикулярно к плоскости рисунка на читателя), со сторонами, параллельными осям Ох, и Ох,, в центре которого помещена точка М с координатами х„х„х, и с заданным в ней вектором а (х„х,, х,).

Значения вектора а на серединах сторон выразим с точностью до О(бх') равенствами на АВ: а+ — бх„ дх1 на ВС: а+ д бх,, дх на СР: а — — бх„ дх, на РА: а — — бх,. да дхе Циркуляцию по обводу прямоугольника получим как сумму цир- куляций по отдельным отрезкам АВ, ВС, СР и РА, равных по отдель- ности, с учетом направления обхода, Глв = (ах + — 'бх,1 ) АВ ~ = )а, + — бх1) 2бх„ дхт 1 ( дхд Гвс = — (а, + — бхз)~ ВС ~ = — (а1 + — бхх) 26х„ дв1 1 / да, дх, ) 1 дх, Гсо = — (ах — — бхх) ) СР ) = — (а, — — бх ) 26х, дхг ) ~ дх, Гол = (а, — ' бх,1 '1 РА ~ = 1а1 — — ' бх,) 26х,. дх1 ') ( ' дх, Суммируя, получим Глвсо = ( — — — ) 4бххбхэ= го1 а бо, т дар да, т (117) ~дх1 дх,) где бо обозначает площадь прямоугольника АВСР бо=26х, 26х,= 4бх,бх,.

Равенство (117) показывает, что циркуляция вектора а по обводу прямоугольника равна потоку вектора го1а сквозь площадь прямоугольника. Эту формулу можно применить к любому элементу бо поверхности о в форме 6Г=го1„а бо. (118) Суммируя обе части формулы (118) по всем элементам поверхности о, заметим, что циркуляции по общим сторонам смежных ячеек взаимно уничтожатся, а останутся лишь циркуляции по тем сторонам ячеек, которые как раз составляют контур С. В пределе получим ~бГ=1)16Г=~а бт. 'с с Сумма правых частей в уравнении (118) приведется к полному потоку вектора го1а сквозь поверхность о, что и доказывает справедливость теоремы Стокса.