Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003), страница 11

убедимся, что совпадут и линия тока с траекторией. Проводя в данный момент времени через точки замкнутого контура С (рис. 9) линии тока, получим поверхность тока, заключающую внутри себя часть жидкости, называемую трубкой тока. Если далее рассмотреть контур С как жидкий, т. е. состоящий в любой момент времени из одних и тех же частиц жидкости, то совокупность траекторий точек этого контура ограничит струю.

В случае стационарного поля скоростей струя совпадает с трубкой тока. В любой точке поверхности тока вектор скорости У направлен по касательной к линии тока, так что среда не проникает сквозь поверхность тока. Поэтому, если гл и. кннемктнкА сплОшнОЙ сгеды среда несжимаемая (плотность ее повсюду одинакова) и, кроме того, внутри трубки тока нет источников или стоков, то секундный объемный расход ее Я, т. е. поток вектора скорости через поперечное сечение трубки, одинаков в данный момент для любого сечения трубки: Я= ~ У ба=сопз1, а (9) где и — нормаль к сечению трубки о в данной точке.

Элементарные (построенные на бесконечно малом контуре) трубки тока, каково бы ни было поле скоростей, допускают проведение нормальных к ним сечений, причем с точностью до малых высших поряд. ков эти сечения могут рассматриваться как плоские. Иначе обстоит дело с трубками тока конечного размера. Для того, чтобы такие трубки имели сечения, нормальные к линиям тока внутри трубок и на их поверхности, необходимо выполнение условия существования поверхностей, нормальных к линиям тока. Рассмотрим семейство поверхностей гр(х„хм х,)=сопз1, пересекающих линии тока. Условием ортогональности линий тока этим поверхностям будет (). — скалярная функция) угад <р=А,У. Взяв от обеих частей этого векторного равенства операцию го1, слева получим нуль, а справа, согласно третьему равенству системы (88) гл. [, соотношение го1(АУ)=Л го1 У+йтаб ХХУ.

Умножая обе части таким образом полученного равенства О=Е го1 У+огай ) ХУ скалярно на У и учитывая, что второе слагаемое справа перпендикулярно к вектору У, убедимся, что условием существования ортогональных к линиям тока поверхностей будет У 1 У=О. (10) Таково ограничение, накладываемое на поле скоростей, без выполнения которого невозможно существование сечений трубок тока, нормальных к линиям тока. й 12. Распределение скоростей в элементарном объеме среды. Первая теорема Гельмгольца где У вЂ” вектор скорости любой точки М тела; У, — скорость точки М„ выбранной за полюс; ш — вектор угловой скорости вращения тела, оди- В кинематике абсолютно твердого тела, представляющего простейший пример сплошной среды, излагается теорема Эйлера о разложении вектора скорости У любой точки тела произвольных размеров на составляющую У, поступательного движения вместе с произвольно выбранным полюсом О и вращательную составляющую согласно вектору угловой скорости гв.

Аналогичная по содержанию теорема, расширенная учетом возможных деформаций среды, но по необходимости ограниченная применением к бесконечно малому объему, устанавливается для любой сплошной среды, в частности для жидкости или газа. Напомним, что в общем случае движения абсолютно твердого тела распределение скорости задавалось формулой У=У,+ьз Х (г — г,), Е!2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ Б ЭЛЕМЕНТАРНОМ ОБЪЕМЕ СРЕДЫ 45 Лаковый для любой точки тела; т н т, — вектор-радиусы точек М н М,. В проекцнях на осн координат равенство (11) примет вид Уг= Ум+ма(ха Хзе) ыз(Хз хае) г У,= У„+ ы, (х,— х„) — «з, (х,— х„), 1 з= Уго+ Ь|г (Хг Хго) Ыа (Хг Хге) . (12) Разности, стоящие в левых частях этих равенств, представляют проекции пространственной производной вектора У, именуемой ротором, или вихрем, вектора скорости и обозначаемой символом го! У [см.

фор- мулы (80), (8!) гл. 1). Из равенств (!3) следует ы= — го1У, ! 2 (14) что н служит решением поставленной обратной задачи кинематики абсолютно твердого тела. В рассмотренном случае общего движения абсолютно твердого тела уравнения (12) представляли проекции вектора скорости У линейными функциями координат, в силу чего величина н направление векторов вихря скорости го1У и угловой скорости ьа были одинаковыми во всем пространстве. В случае деформируемой среды, в частности жидкости нли газа, поле скоростей не будет лннейным относительно координат, но если удовольствоваться рассмотрением в данный момент времени бесконечно малого объема, то внутри него с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости поле скоростей можно считать линейным, а формулу (13) справедливой.

Представив мысленно элементарный объем среды мгновенно затвердевшим, заключим, что угловая скорость его вращения в данный момент будет равна половине вихря вектора скорости, который может быть вычислен в малой области этой мгновенно затвердевшей, недеформируемой жидкости. Формула (14) в случае абсолютно твердого тела справедлива глобально, т. е. для всего тела в целом, а в случае деформнруемой среды — лишь локально в бесконечной близости к данной точке среды. ИМЕЯ В ВЕДУ, ЧТО ВЕЛНЧНЕЫ Хго, Хао, Хге', Уге, Узо, Уао, 'Ыг, Ыа, ыз ОДННЕ- козы в данный момент времени С для всех точек тела, заключим, что равенство (11) н его развернутая форма (12) представляют линейную вектор-функцию вектор-радиуса т точки М или, что все равно, коорди- НЕТХг, Ха, Хз.

В кинематике абсолютно твердого тела уравнения (11) нли (12) выражают вектор скорости Улюбой точки тела как заданную функцию координат. Поставим обратную задачу, обычно не рассматриваемую в курсах теоретической механики, об отыскании выражения вектора угло- вой скорости вращения тела через заданное равенствами (11) или (12) поле вектора скорости У. С этой целью, пользуясь равенствами (!2), найдем следующие разности производных от проекций скорости !'„Уь У, по координатам х„х„х,: дУз диа — — — ' = ыа — ( — |ь,) = 2аз„ дх, дхз дУ, дУ, — — — = ыа — ( — ыз) = 2ы„ дхз дх, дУ, дУ, =ыз ( ыз)=2ыз дх, дх ГЛ. Н.

КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ Далее вектору угловой скорости элементарного объема жидкости будет дана более прямая трактовка, не опирающаяся на образ мысленного затвердевания объема. Рассмотрим движение элементарного объема жидкости, выделив в нем две произвольные точки М и М, (рис. 10) со скоростями У и У!'>. Относительное расположение точек М, и М опреш делается вектор-радиусом бг=г, — г„ где т, и г, — соответственно вектор-радиусы точек М, е"т и М. г, Пользуясь непрерывностью поля скоростей и м постулируя существование первых производных л ге от проекций скорости У по координатам, срав- ним скорости Усн и У. Применяя для этой цели Рис. 10 символические представления полного диффе- ренциала вектора У в пространстве и полной производной вектора У по вектор-радиусу г, получим, согласно формулам (94) — (96) гл.

1, бУ= У'х' — У= 1 — Ьг) = О'Ьг = Ябг+ А'Ьг, '! бг где выражение, помещенное в круглых скобках, обозначает произведение тензора ЬУ/Ьг=В* на вектор бг «справа» '). Используя теперь равенство (106) гл. 1 при а=У, Ь=бг, получим Уео = У + — го1 У х Ьг + (Ье1 У) Ьг. (16) 2 Сравним это выражение, приведенное, согласно (14), к виду У"'=У+ оэ Хбг+ (Ье( У) Ьг, (17) с равенством (11) при г — г,=бг. Первое слагаемое в правой части можно рассматривать как скорость полюса М, второе — как вращательную скорость точек элементарного объема с относительными вектор-радиусами Ьг при угловой скорости оэ, а сумму этих двух слагаемых — как скорость У„, в квазнтвердом движении элементарного объема. Последнее слагаемое назовем деформационной скоростью и обозначим через У„а.

Тогда равенство (17), переписанное в виде (!8) где У =У+ оэхбг=У+ — го1Ухбг, 2 (19) Уд,э —— (пе( У) Ьг = 5 Ьг, будет выражать первую теорему Гельмгольца, представляющую прямое обобщение теоремы Эйлера о распределении скоростей в движении абсолютно твердого тела. Первая теорема Гельмгольца гласит: скорости точек элементарного объема сплошной среды складываются из скоростей квазитвердого и деформационного ее движений. Квазитвердое движение, точнее, общий случай движения абсолютно твердого тела, рассматривается подробно в курсе теоретической механики').