Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003), страница 12

Обратимся к описанию деформационной составляющей скорости. ') Точки в обозначениях В, 5 и А*, обычно применяемые для сокращенного обозначения производных по времени, поставлены для тото, чтобы не смешивать этн танзоры поля скоростей с тензорами В, 8, А* для поля перемен!ение. з) См. Лойцянский Л. !., Лурье А. Н. Курс теоретической механики. Т. !.— Мл Наука, 1982, с. 283 — 285. з ~з. деьогмлционноа движении жидкости $13. Деформацнонное движение жидкости. Тензор скоростей деформаций и кинематическнй смысл его компонент. Главные оси тензора скоростей деформаций Введем (рис. 11) в некоторый момент в выбранной точке произвольно ориентированную систему прямоугольных декартовых координат Мх,хзхз.

Рассмотрим далее совокупность трех элементарных жидких отрезков бг„бг„бг, с проекциями на эти оси: йгг бз;(бх„О, 0), бгз(0, бх„О), Че» ~-ти бг,(0, О, бх,). (20) П з зг и, следовательно, диагональные компоненты тензора скоростей дефор- мации Б, равньз скоростям относительных удлинений а» координатных отрезков бг, зз 5и= — = еь ж За время д1 координатные векторы бг„бг„бг, переместятся в положения бг,', бг,', бг,', причем деформируются (растянутся или укоротятся), а первоначально прямые углы между ними перестанут быть таковыми («скосятся»).

Новые значения углов между бг,', бг,' и бг,' обозначим так: л з бгз, бгз= — — Узз, бгз, Ьгз= — Узз бгм бгз= — Тзз (23) пРичем «скошениЯ» пРЯмых Углов ти, т„, Тм УсловимсЯ считать положительными, если углы уменьшаются. Для определения этих скошений выпишем равенства (= — знак приближенного равенства) Ьг, Ьг, гк сов (Ьг', бг') = — ' — ' = соз ~ — — узз) = з(п у„= у„, 6гз 6гз соз(бг,', бгз) = — ' —,' =сов~ — — узз) =з(пузз=узз~ (24) бх,' Л Ьг,' Ьг' гк сов (Ьг, ЬГ ) = — — = соз ~ — — Тзз) = з!пфзз По прошествии бесконечно малого проме- 80 жутка времени д( жидкие координатные от- $(,;,, езки (20) переместятся в смежное положение Рис 11 'х,'х,'х,', совершив, кроме квазнтвердого, еще деформациоиное перемещение (второе равенство системы (19)].

Новые значения координатных отрезков (20) н их проекций будут равны (сохраиим краткое обозначение о для ае( У) бг; = Ьгз + 5 ЬгФИ; бхз = бхз+ (3 Ьгз)зйт = Ьхз+ Ян(бгз) й( =бхз+ ЗабхзсИ. (21) так как по (20) (бг,),=0, если /~1 (1=1, 2, 3; в формулах (21) — (23) по з не суммировать). Относительные удлинения величин этих отрезков, согласно (21), будут 6 з — бхз = Зззй1, (22) бхз ГЛ. Н КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЪ| Используя (21) и вспоминая, что в первоначальном положении 6т, Ьг,= =О, получим выражение скошения координатного угла Ьт„бг, Ьга Ьга Ьх! + (д Ьхд дс Ьха+ (5 Ька) и1 711— Ьхз Ьк, Ьхз + 8идхзд1 Ьк, + Бзздхзд1 (56~!) ° Ьз'зд1+(Яд~а) ° Ь~зд1+ ... 2с Ьхбх~д1 2д й( 11 11 Ьхздх, + ...

Ьх,дха Аналогично найдем скошения других координатных углов: Таз=2Яаз й1, Таз=2д„й(, а скорости скошения координатных углов будут равны Таз=2даз Таз=2Юза, '~аз=2даз (25) Отсюда следует, что недиагональные компонентьс тенэора скоро- стей деформаций равны половинам скоростей скошений координатных углов. Для дальнейшего имеет значение еще одна характеристика дефор- мационного движения — скорость относительного объемного расшире- ния среды в данной точке О, определенная равенством 0 = = — — (Ьт) Ьз' — Ьт ! д Ьзд| Ьт д1 (26) как отношение приращения элементарного жидкого объема Ьт к первоначальной величине этого объема и к времени деформации Ж. Полагая Ьт = Ьх,бхзбхм Ьт' = Ья,бхабхз = (1 + е,й!) 6х, (1+ езй!) Ьхз (1 + езй1) 6 хз, найдем, опуская в окончательном варианте бесконечно малые, что со- ответствует предельному переходу, 0=в, + е, + е, = — + — '+ — =й)УГ дУ, дУз дУ, дхз дх, дхз (27) а(ТГ= — + — + — = О.

дУ| дУа дУз дк, дхз дхз (28) Напомним ($ 7), что для любого симметричного тензора можно указать такую прямоугольную систему координат — ее оси носят наименование главных,— в которой все недиагональные компоненты равны нулю, а таблица тензора сводится к главным значениям тензора, расположенным на главной диагонали.

Таким образом, из определения 0 (20) и равенства (27) следует, что дивергенция вектора скорости У имеет смысл скорости относительного изменения элементарного объема жидкости в данной точке поля скоростей. В модели несжимаемой жидкости, с которой в дальнейшем придется неоднократно встречаться, скорость относительного объемного расширения при отсутствии распределенных источников по самому ее определению равна нулю. Прн этом, независимо от всех прочих свойств жидкости (плотности, вязкости и др.), проекции скорости ее движения оказываются связанными чисто кинематическим равенством — уравнением несжимаемости, называемым также менее Определенно уравнением неразрывности: % рз.

деФОРмлционное дВижение жидкости 49 В приложении к тензору скоростей деформаций Ю это означает, что в главных его осях скорости скошения координатных углов равны нулю, а скорости относительных удлинений бесконечно малых координатных отрезков равны главным значениям Л'", Л'", Лов тензора скоростей деформаций.

Отмечая штрихами главные координаты и компоненты тензора в главных осях, будем иметь Яаа = Ли р За» = Ор Еаз — — О, Ваа = О, З„= Л"', 3„= О, (29) 3„=0, Л<з) То обстоятельство, что главные оси координат в каждый данный момент в данной точке среды не скашиваются, позволяет придать вектору еа смысл мгновенной угловой р ~г «, рр рр рр мгновенный жесткий, если судить только по направлениял осей, йр =сгг «скелет» элементарного жидкого м объема. Не следует конечно забг другие частицы среды.

В качестве простейшего приРис. 12 мера рассмотрим движение чистого сдвига, в котором распределение скоростей имеет вид (рис. 12, б) У,=сх„У,=О, У,=О. (30) с! Среди компонент тензора скоростей деформации и координатах х„ !ак, с х, отличными от нуля будут только Я„=Ям= — — = †. Характери- 2 дхз 2 стическое уравнение (60) гл. 1 примет вид с — о 2 = — Л~Л вЂ” — ') =О (31) с — — о 2 о о — л Если выделить в начальный момент времени жидкий контур в виде бесконечно малого квадрата с центром М, то спустя время Ж он перейдет в другое положение и превратится в ромб (с точностью до малых второго порядка). Из физических соображений ясно, что скорость относительного удлинения оси Мх,' (рис. 12, а) положительна, а оси Мх,' отрицательна, т. е.

со временем отрезки оси Мх,' удлиняются, а оси Мх,' укорачиваются. Прямой угол между диагоналями квадрата Мх,' и Мх,' остается прямым после малой деформации, став углом между диагоналями ромба. Это указывает, что оси Мх,' и Мх,' главные. Придем к тому же выводу аналитическим путем.

к будет иметь корни — главные значения тензора скоростей деформаций— (32) 2 2 50 ГЛ. П, КИНЕМАТИКА СПЛОШНОИ СРЕДЫ Уравнения (58) и (59) гл. 1 приводятся к двум независимым уравнениям относительно проекций е',, е,' орта его одной из главных осей: о) о) откуда, согласно (32), следует (о т'2 е,=е.=— 2 (33) Аналогично, для е,"> н е,") получим значения Р2 ) т2 (34) 2 14. Вихрь, вихревая линия, вихревая трубка. Вторая теорема Гельмгольца Как следует из предыдущего параграфа, квазитвердое движение элементарного объема складывается из поступательного движения со скоростью У, определяемой какой-либо точкой этого объема, принимаемой за полюс, и вращательного движения вокруг мгновенной оси с век! тором угловой скорости а>= — го! !т.

Движение жидкости, сопровож- 2 даемое вращением отдельных ее элементарных объемов, называют вихревы»(, а сам вращающийся объем (иногда его угловую скорость)— вихрем. Если движение элементарных объемов среды сводится только а для е,"> и е,") — нулевые значения, что отвечает двумерному характеру течения. В то же время проекции ортов главных осей е'", е'", есо на оси координатной системы Ох,х,х, равны соответствующим косинусам углов между главными и обычными осями. Из (33) и (34) следует, что углы между первой главной осью н осями Ох„Ох, равны 45', а между второй главной осью и теми же осями соответственно 135' и 45'.

Отсюда следует, что первые две главные оси тензора скоростей деформаций в точке М расположены по диагоналям квадрата (рис. 12), т. е. как раз являются осями Мх,' и Мх,'. Третья главная ось образует с плоскостью рисунка угол 90', что было заранее очевидно, так как рассматриваемое движение происходит параллельно плоскости Ох,х,. Перемещение ММ' (рис. 12) характеризует поступательное перемещение Уд! элементарного объема среды за промежуток времени Ж. Можно заметить, что за то же время система главных осей, служащая, как ранее было указано, «скелетом» жидкого объема, повернулась по ) та>, вк,~ с часовой стрелке на угол (э, д(= — ~ — — — ) с(1= — — ((!. Знак минус 2 !дх( дх,) 2 связан с тем, что ось Ох, направлена перпендикулярно к плоскости рисунка так, что со стороны этой оси поворот виден совершающимся от оси Ох,' к оси Ох,', т. е.