Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003), страница 13

в отрицательном направлении. Деформационная составляющая движения не имеет в механике жидкости и газа того значения, как в теории твердого тела (упругого, пластического и др.). Компоненты тензора скоростей деформаций встретятся только в динамике вязких жидкостей и газов, где они окажутся связанными с компонентами тензора напряжений (обобщенный закон Ньютона). В ближайших главах основное значение будет иметь квазитвердая составляющая движения, но, конечно, при этом нельзя забывать о присутствии деформационной составляющей. $ И.

ВИХРЬ, ВИХРЕВАЯ ЛИНИЯ, ВИХРЕВАЯ ТРУБКА к поступательному и деформационному, то такое движение именуют безвихревым. В общем случае каждой точке М поля скоростей движущейся среды сопоставляются два вектора: скорость !т и угловая скорость в (рис. !3). Каждому из этих двух векторов соответствуют свои векторные линии: вектору т' — линии тока, векторам в='/1го1 !т или Я=го1 !т— вихревые линии, т. е.

линии, в каждой точке которых касательная совпадает по направлению с вектором й или в. Вихревые линии будут в дальнейшем часто отмечаться закругленной стрелкой, выражающей вращение элементарных объемов вокруг касательных к вихре. вым линиям. Подобно тому, как раньше строились поверхности тока, получим вихревую поверхность а, проведя через точки некоторого в= ~-"оь Р 1 Рис. !5 Рис. !4 Рис. 13 замкнутого контура С вихревые линии (рис. 14), а ограниченную ею часть жидкости, участвующую во вращении, назовем вихревой трубкой. Аналогично секундному объемному расходу жидкости, равному потоку вектора скорости сквозь любое поперечное сечение трубки тока н одинаковому для несжимаемой жидкости вдоль всей трубки тока, будет равен в данный момент времени вдоль вихревой трубки и поток вектора в или вихря й=го1 и'.

Докажем следующую вторую теорему Г е л ь м г о л ь ц а: поток вихря скорости г,(й) (так же, как и поток вектора угловой скорости г",(в)) сквозь любое поперечное сечение вихревой трубки одинаков в данный момент времени вдоль всей трубки. Выделим в вихревой трубке объем т, заключенный (рис. 15) между боковой поверхностью о„„трубки и двумя ее произвольными поперечными сечениями оси и о"'.

Применим к этому объему формулу Гаусса— Остроградского в форме (111) гл. 1 при а=в. Будем иметь ~ в,бо = ~ б!и в Ьт, (35) а т где поверхность о, ограничивающая объем вихревой трубки т, состоит из трех поверхностей: а'", а'" и о„„. По определению вихревой линии иа боковой поверхности будет в„О, а подынтегральное выражение в правой части (35) тождественно равно нулю (б(у го1 й'=О). Равенство (35) приведется к виду ) в«ба + ) в,бо = О. Изменяя направление орта Ы1! а! 1! л, на противоположное л,' так, чтобы косинус угла между в!и и п,' был положительным, получим ~ в,бст= ~ в«бо. аа! а(1! (36) ГЛ. Н. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОИ СРЕДЫ Поскольку поперечные сечения осо и опи выбирались произвольно, то равенство (Зб) и доказывает вторую теорему Гельмгольца.

Из второй теоремы Гельмгольца следует, что поток вектора й (или еа), одинаковый в данный момент для любых сечений вихревой трубки, может служить мерой интенсивности вихревой трубки 1 в целом. Из второй теоремы Гельмгольца также можно заключить, что вихревые трубки не могут заканчиваться внутри среды, так как при этом (о" *' О) ш или аа должны были бы становиться бесконечными. Опыт подтверждает этот факт. В природе наблюдаются либо замкнутые вихревые кольца (рис. 16), как, например, при выходе дыма из трубы, либо вихревые трубки, начинающиеся и оканчивающиеся на поверхностях раздела твердой с~Г э поверхности и жидкости или жидкости и газообразной среды.

Таковы часто наблюдаемые в реках водовороты, которые представляют собой вихревые трубки, опирающиеся одной своей стороной на - - ==Б=- дио реки, а другой — на свободную ее поверхность, отделяющую воду от атмосферы, или только на дно или только на свободную поверхность. В стакане молока или кофе можно наблюдать невооруженным глазом вихревые трубки, если быстро вынуть из стакана ложку. Водовороты гигантских размеров наблюдаются в океане за островами (например, за островом Ямайка), находящимися в быстрых течениях. Вероятно, самыми «грознымн» вихревыми трубками являются смерчи. Они опираются нижним концом на поверхность океана, а верхним уходят в слой нависших облаков.

Причины возникновения их пока точно не известны, но, по-видимому, связаны с тепловыми явлениями на границе океана и атмосферы. Слабее проявляют себя циклоны и антициклоны в атмосфере. Обращает на себя особое внимание вихревая трубка, образующаяся при истечении воды из резервуара с малым отверстием в дне. Резервуар с водой, вращаясь вместе с Землей, уже обладает малой угловой скоростью, которая резко увеличивается при прохождении воды сквозь узкое отверстие.

При этом в область разрежения, которая образуется при быстром вращении жидкости, индуцируемом резко возросшим вихрем (см. Ь' 27), врывается воздух, создающий воздушную полость (так называемый «полый вихрь»). Такое же явление имеет место и в смерчах, внизу которых собирается вода из океана, а вверху — водяной пар из облаков. Смерчи, образующиеся в пустынях, увлекают песок. Эти явления требуют для своего описания привлечения динамики жидкости или газа. Результаты современных исследований, относящихся к разнообразным вихревым течениям в природе и в технических устройствах, можно найти в исключительной по наглядности иллюстраций монографии В. Альбринга '). 5 15. Теорема Стокса о связи между интенсивностью вихревой трубки и циркуляцией скорости по опоясывающему ее контуру Непосредственное наблюдение вихревой трубки в прозрачной жидкости, не несущей примеси или специально не нагреваемой для визуализации потока, практически невозможно.

Не существует также н ') А!Ь г! и я %. Е!етеп!агчогдапде 1!иыег %!гЬе!Ьеиеяипиеп — Вег1!и; А«аз. Чег!ак, 1981, 8. 305 » гк ускОРение чАстицы сРеды приборов для измерения интенсивности вихревых трубок. Однако эту интенсивность можно вычислить, если найти на соответствующем контуре распределение скорости при помощи одного из предназначенных для этого приборов. Такими приборами являются, например, крыльчатые анемометры, скоростные трубки, термо- и лазерные анемометры. Для указанного вычисления достаточно воспользоваться следующей теоремой Стоке а: интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по контуру, расположенному на поверхности вихревой трубки и один раэ ее опоясывающему.

Для доказательства теоремы С то к с а применим формулу С то кса [(1!б) предыдущей главы], положив а=У и определив интенсивность вихревой трубки г, например, как поток вектора вихря скорости а 1У. Будем иметь (о — произвольное сечение трубки, опирающееся на контур С) г =~0.ба=гс)гУ' бт. « с (37) й 16.

Ускорение частицы среды. Локальная и конвективная составляющие ускорения. Полное ускорение Ускорение частицы жидкости, так же как н вообще ускорение материальной точки, определяется производной вектора скорости этой частицы по времени ггУ гп (38) По этой теореме определение интенсивности вихревой трубки сводится к интегрированию элементов циркуляции У бт вдоль контура, опоясывающего трубку. Вихревая трубка, заключающая внутри себя завихренные части жидкости, может быть окружена жидкостью, частицы которой не вращаются вокруг своих осей, а движутся ч 'г 'г поступательно по замкнутым, в том числе круговым траекториям. Такая безвихревая «оболочка» вызывается (нидуцируется) вихревой трубкой.

В этом случае для определения ннтен- б сивности вихревой трубки нет необхо- б б, димости вычислять циркуляцию по гы т-й,, ~,, г ! г ~ ! б контуру, один раз опоясывающему трубку, а достаточно брать циркуляцию скорости по любому контуру, один раз охватывающему трубку. При наличии нескольких разделенных безвих- М ' --. ревыми потоками вихревых трубок интенсивности г„г„... (рис. 17) общая ях интенсивность, равная алгебраической сумме интенсивностей отдельных трубок, будет определяться циркуляцией скорости по контуру С, один раз охватывающему всю совокупность таких вихревых трубок, По измеренной циркуляции по замкнутому контуру в поле скоростей можно судить не о наличии или отсутствии внутри его вихревых трубок, а лишь о суммарной их интенсивности. Равенство нулю циркуляции скорости по замкнутому контуру еще не позволяет сделать заключение об отсутствии вихревых трубок, так как внутри этого контура могут быть вихревые трубки с различными направлениями вращеяяя, которым соответствуют разные по знаку интенсивности.

Гл. н. КинемАтикА сплошнои сРеды (а, Ь, с — параметры, выделяющие данную частицу из множества других и равные координатам частицы в начальный момент). В эйлеровом представлении вектор скорости задается равенствами (2), а для вычисления ускорения, т. е. векторной производной по времени от У надо принять во внимание следующие два обстоятельства, обусловливающие изменение вектора скорости У с течением времени: 1) локальное (местное) изменение скорости во времени из-за кесгационарности поля, 2) конвекгивное изменение скорости за счет перемещения частицы жидкости в неоднородном поле скорости.

Первое, локальное, ускорение определится как дР Улок — = ° д! (41) Для вычисления второго, конвективного, ускорения надо найти приращение вектора скорости жидкой частицы, обусловленное лишь ее перемещением (конвекцией) в соседнюю точку пространства в «замороженном» поле скорости, и отнести его к соответствующему интервалу времени.

При использовании метода Эйлера это требует дифференцирования У(х„х„х,; !) по времени как сложной функции, когда четвертый аргумент ! фиксирован, а х,(!), х,(!), х,(1) являются переменными координатами жидкой частицы. В результате производная от У по направлению траектории умножается на производную от пути з по времени, т. е.