М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости, страница 42

При исследовании струйных течений невесомой капиллярной жидкости в качестве малого параметра можно аналогично использовать величины ЧЧе и 1/Ие. Впервые метод малого параметра 1/Юе был применен М. И. Гуревичем ~91а~ при изучении влияния сил поверхностного натяжения на коэффициент сжатия струи, вытекающей из отверстия в прямолинейной стенке. Метод малого параметра Юе использовал О. М. Киселев ~154, 1571, доказавший с его помощью разрешимость двух задач об обтекании газового пузыря; Дуган 14681 применил его к решению задачи об обтекании паруса. В качестве примера на применении метода малого параметра Ч(е приведем решение задачи о симметричном обтекании цилиндрического газового пузыря потоком невесомой капиллярной стРуйные течения тяжелОЙ жидкости 1.ГЛ.

ХИ 484 го 11ЯО~; И. Г. Филиппова 1363~, Картера 14461, Бейера 1432~, А. В. Кажихова 1135~. При этом Жербе, Ю. П. Красовский, И. Г. Филиппов и Картер учитывали только действие силы тяжести, Бейер — только действие сил поверхностного'натяжения, а А. В. Кажихов— а) 4 Рис. 12.6. совместное действие сил тяжести и поверхностного натяжения. Схемы течений, рассмотренных названными авторами, изобра.жены в соответствующем порядке на рис. 12.6, а — е. (Как уже было указано выше, мы не касаемся работ, специально посвященных периодическим волновым течениям.) Оригинальный метод исследовация разрешимости задач теории струй (и теории волн) предложил М. А.

Лаврентьев ~2031. Метод основан на вариационных принципах теории конформных отображений и удобен при изучении течений в областях типа узких полос. С его помощью М. А. Лаврентьев доказал, в частности, разрешимость задачи о течении тяжелой жидкости над криволинейным дном и впервые дал доказательство существования уединенной волны, т. е.,волны конечной амплитуды и бесконечной,длины.над прямолинейным горизонтальным дном. .При помощи методов, основанных на принципе сжатых отображений, и близких к ним получены следующие результаты. Еще в 1932 г. Понсен ~570~ доказал для достаточно больших ":чисел Фруда разрешимость задачи о течении тяжелой жидкости :;в канале, форма дна кото ого задана уравнением О=О(1) на ~,. А' М. Тер;Крикоров ~340 и И. Г. Филиппов ~362~ рассмотрели задачу о вихре интенсивности Г в потоке тяжелой жидкости конечной глубины.

Для Рг > 1 и достаточно малых значений Г ::Ая М., Тер.-Крикоров доказал существование решения, описывающего, однородный поток при à — 0 (аналогичный результат он получил в задаче о подводном крыле). Для Ргт1, Рг.>1 и 485 ВОПРОСЫ РАЗРЕШИМОСТИ. ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ $531 А~ ~п-1 %~ 'Ь~ А~ Рис.

12.7. Продемонстрируем применение принципа сжатых отображений на примере. Рассмотрим течение тяжелой жидкости, ограниченное полигоном с вершинами в точках А„А„..., А„(А— бесконечно удаленная точка) и свободной поверхностью А,А„ конечной протяженности (рис. 12.7, а). Ось х направим по горизонтали, ось у — вертикально вверх; достаточно малых значений Г И. Г. Филиппов доказал существование второго решения, описывающего уединенную волну.при à — О (возможность существования такого решения предположил Н. Н. Моисеев [2281). Лено 15331 дал доказательство разрешимости задачи о кави-' тационном обтекании клина в продольном поле силы тяжести при достаточно больших значениях Рг.

Л. М. Котляр'1172~ тем же методом исследовал задачу о вихре в ограниченной массе тяжелой жидкости. Г. Н. Пыхтеев 1274 — 277Т рассматривал установившиеся плоские струйные течения с весьма общих позиций. Он сформулировал краевую задачу для функции в(~) в предположении, что границы течения состоят из твердых стенок заданной формы и свободных поверхностей, на которые могут действовать или силы тяжести или капиллярные силы.

Исследуя течение тяжелой жидкости, ограниченное твердыми полигональными стенками и одной свободной поверхностью, Г. Н. Пыхтеев свел задачу к решению нелинейного интегрального уравнения относительно функции г(1) и при помощи принципа сжатых отображений доказал его однозначную разрешимость при достаточно больших значениях Рг. О. М.

Киселев ~159~ свел ту же задачу к решению интег рального уравнения для функции О (1) и получил несколько новых теорем' разрешимости. О. М. Киселев и Л. М. Котляр ~162~ аналогичным образом исследовали разрешимость задачи о течении тяжелой жидкости, ограниченном твердыми полигональными* стенками и двумя свободными поверхностями. 'е СТРУЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ., Х11 Следовательно, если функция ~(~) относится к классу К и является решением краевой задачи (53.4), (53,5), то выполняются соотношения (53.12). Справедливо и обратное утверждение. Если действительнозначная функция р~ (о) такова, что Рр* принадлежит пространству С и удовлетворяется условие (53.13) то функция (53.14) принадлежит классу К и дает решение краевой задачи (53.4), (53.5).

Действительно, оператор В таков, что при сделанных предположениях функция ~(~), определенная формулой (53.14), удовлетворяет условиям (53.4) и принадлежит классу К, причем Применяя к обеим частям последнего равенства оператор О.и учитывая формулы (53.7), (53.9), (53.10), (53.13), получаем Р=Р ° (53.16) Из (53.15), (53.16) и (53.8) следует справедливость соотношения (53.5). Таким образом, мы доказали, что решение краевой задачи (53.4), (53.5) эквивалентно решению операторного уравнения р =Ар. При любом а иа интервала (О, н~ имеет место неравенство $ ~ ~ а1п аа1п(Т+х)йт ~(2, о поэтому Рк принадлежит пространству С при у('/, и к из С.

Оператор 0 переводит непрерывную функцию в непрерывную (см. 1361, стр. 206); следовательно, Ак принадлежит пространству С при у < '/, и к из С. Нетрудно вычислить норму оператора .0 в пространстве С ~361: ()В!) — „тах~~!н ~,~ ~, ] по'~= о (53.18) $533 ВОПРОСЫ РАЗРЕШИМОСТИ. ЧИСЛЕННЫЕ РЕ ШЕНИЯ 491 В нулевом приближении удобно принять ~~" — — 0 (1=1, 2, ...). (53.27) Формулы (53.26) и (53.27) позволяют с помощью ЭВМ находить численное решение задачи с высокой точностью, причем итерационный процесс сходится даже при значениях у, значительно превышающих 0,09. Существует несколько разновидностей описанного выше метода решения, характеризующихся следующими общими моментами. За каноническую область принимается полукруг ~~~~~1, 1т~~~О, в котором свобэдной поверхности соответствует полу- окружность ~=е", О~о~л. Функция 5Куковского представляется в вида суммы двух функций, из которых первая содержит все необходимые особенности и записывается в явной форме, а вторая, ~ Я), регулярна в 0~, непрерывна в В~ и принимает действительные значения на действительном дчаметре окружности.

Коэффициенты ряда Тейлора функции ~ (~) определяются из граничного условия на дуге ~ =е''у последовательными приближениями. Биркгоф ~36~ первым предложил использовать такой метод для расчета струйных течений тяжелой жидкости с полигональными твердыми границами. Различные видоизменения метода были применены с этой целью в работах Биркгофа и Картера (1434~; схема соответствующего течения изображена на рис. 12.8, а), Лено $533~, рис. 12.8, б), Уоттерса и Стрита (~630Д, рис. 12.8, в), Конвея (~458~, рис. 12.8, г), Классена (~522~, рис. 12.8, д), Л.

М. Котляра и А. Г. Терентьева (118Ц, рис. 12.8, е), В. И. Степановой (~3241, рис. 12.8, ж), Л. М. Котляра и О. В. Троепольской (~182 — 184Д, рис. 12.8, 3 и 12.8, и). О. М. Киселев 1154~ и С. И. Петрова 1264~ аналогичным способом рассчитали обтекание газового пузыря потоком невесомой капиллярной жидкости. Л. М. Котляр и А. Г. Терентьев со своими сотрудниками ~47, 186~ обобщили метод на случай двух свободных поверхностеи, приняв за область О~ полукольцо и сведя задачу к нахождению коэффициентов ряда Лорана известной аналитической функции ~ (~). Л.

М. Котляр дал также другое обобщение метода, приспособив его к исследованию струйных течений тяжелой жидкости с криволинейными участками твердой границы ~176, 178, 179, 185~. Коротко остановимся на других методах решения. Ларок и Стрит 15321 исследовали несимметричное кавитационное обтекание пластинки потоком тяжелой жидкости, а Фангмайер и Стрелков ~4751 — истечение тяжелой жидкости из-под щита. В обоих случаях задача сводится авторами к численному решению нелинейного интегрального уравнения относительно функции у (1).

~гл. хп СТРУЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ Л. Г. Гузевский ~76, 771 для расчета кавитационных течений тяжелой жидкости около криволинейных препятствий использовал метод конечномерной аппроксимации, предложенный В. Н. Монаховым )2341. В этом методе граничные условия выполняются 1)/~ )~! г~ Рис. 12.8. точно в конечном числе точек границы и задача сводится к решению системы трансцендентных уравнений. Многие задачи теории струй могут быть решены на ЭВМ при помощи конечно-разностных методов. Течения тяжелой жидкости по неровному дну исследовались таким способом в работах Саусвелла и Вейси )'6021, Думитреску, Ионеску и Яику 1" 115, 469), Кассиди 14471,' Нгуен-Лама ~241, 242) и некоторых других авторов.

Саусвелл и Вейси, а также Думитреску, Ионеску и Яику сводят задачу к определению функции ф(х, у) в физической плоскости (область с частично неизвестной границей). Кассиди и Нгуен-Лам определяют функции с(~р, ф), 0(~р, ф) в из- 1 ) ) ) ) ! ! ! / Е бз3 ВопРОсы РАзРешимОсти. численные Решения вестной области изменения комплексного потенциала. В обоих случаях искомые функции удовлетворяют уравнению Лапласа, которое заменяется разностными соотношениями. Интересный конечно-разностный метод разработали и успешно применили в целом ряде работ новосибирские ученые С. Н.

Антонцев, О. Ф. Васильев, Ю. П. Зуйков, Б. Г. Кузнецов, В. Н. Шепеленко и Н. Н. Яненко (см. работы ~6, 128, 129, 19?~). В этом методе за независимые переменные принимаются х и ф, а искомой является функция у(х, ~). Из уравнений осозО= — = —, оз1пО= — = —— др дф . др а~ дх ду ' ду дх (53.28) и тождества у= — у(х, ~~(х, у)) следует, что осозО = 1/у,~, о з1а~О =у„~у,~ с (здесь индексы ф и х означают дифференцирование по соответствующим переменным). Из- (53.28) для функции у(х, ф) получается нвазилинейное эллиптическое уравнение у,'„у„„— 2у„у~у„,ф+ (1+ у')у~„~ = О. (53.29) На известных твердых границах д является заданной функцией х. Граничное условие для функции у(х, ф) на свободной поверхности получается из уравнений (51.3) и (51.4), в которых следует положить о'=(1+у')~у~ К = ~ (1+ у')"'~у..