М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости, страница 40

ф дх о (48.28) Найдя второе приближение для формы струи, можно повторить весь процесс снова. Д. Саламатов рассчитал случай Р,=я/4 и получил для коэффициента сжатия струи величину 0,75, мало отличающуюся от коэффициента сжатия в соответствующей плоской задаче (ср. гл. 11).

$ 49. Обзор различных работ по осесимметричным струйным течениям ~) Дополнительные библиографические указания, сопровождаемые кратким обзором полученных результатов, читатель может найти в книге [361, а также в обзорах [92, 941 и [35а1. Помимо метода Трефца были предложены и другие числовые методы. Отметим некоторые работы '). Бауэр [.4231 рассчитал коэффициент сопротивления сферы путем суммирования давлений на соответствующую носовую часть полутела, образованного наложением на источник равномерного потока. Коэффициент сопротивления С„= 2Х/(рлЯ'о') (где Х вЂ” сопротивление, р — плотность воды, Я вЂ” радиус сферы, о — скорость движения сферы) получился равным 0,27.

В своей предыдущей работе в 1926 г. Бауэр экспериментальным путем нашел, что этот коэффициент равен 0,3. Гарабедян [4821 нашел сопротивление диска при обтекании. по схеме Рябушинского с помощью разложения функции ф в ряд по некоторым частным решениям уравнения (48.3). Коэффициенты ряда подбирались так, чтобы средняя квадратичная ошибка при удовлетворении граничных условий была наименьшей. Вандрей 16191 решил задачу об осесимметричной насадке Борда методом сеток. Метод этот, как известно, состоит в том, что уравнение движения ((48.2) или (48.3)), а также граничные 456 1ГЛ.

Х1 ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ТАБЛИЦА Х111 и 0,15 соответственно. Первое из них почти совпадает с приведенным выше результатом расчетов Плессета и Шеффера, а второе значительно отличается от этого результата. До сих пор здесь описывались работы, посвященные решению двух классических ~задач теории струй: задачи о струйном обтекании тела и задачи об истечении из отверстия. Сейчас мы отметим несколько работ других направлений.

Прежде всего, напомним читателю, что в главе И11 уже упоминались работы М. И. Хмельника ~374, 375~ о струйных течениях тонкой пленки жидкости на конусе. В статье М. И. Хмельника ~376~ дана постановка общей задачи о струйных течениях на любых поверхностях, основанная на работе О. В. Голубевой ~69~.

Другая постановка задачи содержится в работах Вольтерра 1625~ и Пере ~565~. Вольтерра отыскивал те массовые силы, при которых заданная поверхность является свободной поверхностью. Течение продолжается внутрь жидкости с помощью рядов. В частности, Вольтерра рассматривает и тонкую свободную пелену, и тонкий слой жидкости, текущий по твердой стенке.

Интересную попытку получить точные решения струйных задач предпринял Гарабедян ~48Ц, который записал уравнение для функции тока ф симметричного течения в виде дв'ф 1 д~ 1 дф + — == о, (49.2) дгдг 2(г — г) д~ 2(г — г) дг где г=х+1д, г=х — ~д. С помощью функции Римана Гарабедян построил решение последнего уравнения, которое обладало тем свойством, что дуга произвольной кривой является свободной линией тока в меридиональной плоскости.

Однако в этой работе не удалось построить физически интересные примеры, в которых область течения имела бы правильный вид в целом. В выяснении вопросов существования и единственности решений задач об осесимметричных струйных течениях достигнут существенный прогресс. 458 [гл. х~ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ по-видимому, возможно только за счет рассмотрения нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. Дальнейший прогресс в точном расчете осесимметричных (а в перспективе и пространственных) струйных течений обусловлен развитием вычислительной техники и связан с применением усовершенствованных ч исленных методов, использующих специальные преобразования переменных, различные итерационные схемы, вариационные подходы и др.

~35а1. Рассмотрение этих методов выходит за рамки книги. Для иллюстрации их возможностей приведем только один пример, формулу для расчетного коэффициента сопротивления диска, обтекаемого по схеме Рябушинского: С„=(0,827+0,026О) (1+О), 0,1 < О < 0,6, которая с точностью до единицы в третьем десятичном знаке интерполирует зависимость С„/(1+ О) от О на графике, построенном Гарабедяном ~244, стр. 1981. Наконец, здесь уместно упомянуть еще одно практическое направление, особенно плодотворное для инженерных расчетов пространственных струйных и кавитационных влечений.

В работах этого направления 1139, 140; 214, 215; 300, 301; 402, 408, 4091 течения исследуются приближенными комбинированными методами с использованием правдоподобных физических представлений, некоторых точных результатов математической теории струй и обобщенных экспериментальных данных. ф 50. Асимптотический закон расширения струй Полное решение задачи об обтекании тела состоит в нахождении потенциала скоростей ~р течения и в расчете сил, действующих на тело. Расчет сил всегда может быть произведен путем интегрирования проекций давления по поверхности тела, однако эта последняя операция утомительна и таким способом иногда бывает трудно получить простую расчетную формулу.

В плоской задаче на помощь приходит теория функций комплексного переменного. В гл. ГЧ было показано, как посредством вычетов получается формула Леви-Чивиты (16.22) для результирующей силы, действующей на обтекаемый контур. Для вычисления сопротивления в плоской задаче можно идти и другим путем. Известно 1см. равенство (16.25)1, что при струйном обтекании контура свободная поверхность за ним расширяется в бесконечности по параболическому закону. Пользуясь теоремой об изменении количества движения, примененной к массе жидкости, заключенной между контуром, свободной поверхностью и окружностью бесконечно большого радиуса, можно выразить сопротивление тела через параметр параболы. Сопротивление контура зависит только от асимптотического закона расширения каверны в бесконечности и равно сопротивлению соответствую- АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ЗАКОН РАСШИРЕНИЯ СТРУЙ $50! Из выражений составляющих скоростей (50.7) можно найти функцию тока ф =- — о„г' з1п' Π— А (Р„соя Π— Р„+,) г "+'.

(50.8) 1 В правильности получения формулы (50.8) из равенств (50.7) легко убедиться путем проверки дифференцированием с использованием рекуррентных соотношений (50.2). Течение, определяемое потенциалом скоростей ~р (50.6) или функцией тока ф (58.8), представляет собой обтекание некоторого осесимметричного тела. Чтобы найти форму этого тела, положим в (50.8) ф=О. Тогда, пользуясь (50.2), получаем 1-и 2,А Р~~ — Рп+~ о 1 — г~ о„1+и Выразим А через расстояние г, от начала координат до носка тела. Очевидно, носку тела соответствует значение В=О или я=1. Выражая Р„через гипергеометрическую функцию, имеем дифференцируя последнее выражение по г и полагая г = 1, находим а(а+1) 2 (50.9) откуда отсюда и из (50.9) получаем [ 2з1о ая 1/(1-и) (50.12) яи (1 + л) (1 + 2) Для наших целей интерес представляют не все значения п.

Как видно непосредственно из (50.?), при п"- 1 возмущенные скорости при г — оо не будут стремиться к нулю. Можно показать (см. работу ~871), что при ໠— 2 контур будет пересекать А= (50.10) При конечном г, и а-рйО величина А конечна. К случаю и = 0 можно прийти, совершая "в (50.6) предельный переход (см. работы 187, 881). Оказывается, что случаю,а=О соответствует обтекание параболоида, найденное С. А. Чаплыгиным. Найдем асимптотический закон расширения тела в бесконечности, т. е.

при г — — 1. Из разложения Хилла (50.3) следует, что ~(1+~) ' (50.11) 462 ~гл. х~ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ось х не только в носке тела. Таким образом, классу бесконечных полутел соответствуют лишь значения п, удовлетворяющие неравенству — 2 < а < 1. Заметим, что когда мы удаляемся по контуру тела в бесконечность, то Π— я и г — — 1. При этом, вводя декартовы координаты, получаем г (х(, (50.13) Из (50.12) и (50.13) следует, что 4~о~-~81 п пя лп (1+ и) ~ ~ ~ (1+г!)/2 ~50.14) т. е.

тела рассматриваемого семейства расширяются в бесконечности по различным степенным законам. Перейдем к вычислению силы сопротивления. Назовем абсолютным движением такое движение, при котором жидкость в бесконечности покоится, а тело движется вдоль оси х с положительной скоростью о„. Проекции скорости абсолютного течения будем обозначать буквой К с соответствующими индексами. Например, ʄ— проекция абсолютной скорости на ось х; У,— радиальная проекция абсолютной скорости и т.