Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы

И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы, страница 27

DJVU-файл И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы, страница 27 Математический анализ (2693): Книга - 3 семестрИ.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы: Математический анализ - DJVU, страница 2019-05-06СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 27 - страница

3 1 2 ~ Окончательно имеем У = -х(с( ~а + — уг . р 2 — 3 ~ 2,~ рассмотрим нескоаько примерок на нримеиеине формулы Остроградского (3). Вычислить интегралы: ~(г, и) лЮ = Ц (с (х (е, е) + у (е, в)) сов и + (а — 6 ) в(е, ю) в(п е сов и))Но Не = з тв -.'-./~ 1Нх Н . где Я вЂ” внешняя — в+ х) Н»Нх+ (» — х+ у х у. 104. / )(( — „/*)Н/*/( — х+ х!+ (» — х+ у! = 1. авнением ((х — у+ 4 + ~у — х 3, по- сторона позер ве хиости, заданной ура н ое поверхностью Я. Применив формулу ( ° я Обозначим ч(ерез Т тело, р , ог аниченное лучин д НхНУН» = 3 АхНу х — Н», з( ду дв .)+ —,—.

Ч(а а дх т т — — л»з — »+х,мжх— х+у ен переменных, полагая и — х у+я, у Произведем в интеграле замену пе Принимая во П во вииыание равенство 1 3У(х, у, х) 31(и, з, 10) 3У(и, в, со) 3У(х, у, ») 1 -1 1 1 — 1 1 1 — 1 1 находим 1- 1-— б ~О НиНвАи=б/Ни~А« «~ Ни)= «+«+на» «ао, ано, нао 1 о , )" (1- )',и С, = б ~А~ / (1 — — )Нов о о о г 3 Я («(+( ~+(н(я» в соз;) НЯ, где — ча Я вЂ” сть конической поверхности, 195.

1 = Д(в~ сова+ у» говд+ в соз;), — " хностн, д, сов э — напразлзющ ие косинусы хэ + з = хз, 0 С я < 14, н сов и, сов, с заданной уравнением х +у = х, этой поверхности. ой Осгроградско- впешией норьгааи н к кн та, то воспояьзоватьсв формул /я Поскольку позер иове хиость Я незамкнута, то восп ю пол чим, п нсоединив ко Рассмотрим замкнутую паве —,х)бй )х +у го (3) нельзя. Я е во точек круга Яз = х, у, а н иа окружноюльк верпшж конуса б псевдомно, ольк е елен.

' ти — йз — ц т и н опр 1'и м / к как О. и асслаатривать интеграл иа ми к как онн имеют меру . и р мн можно пренебречь, так как 193 ~~~го, Грни а н Стокса $ б. Формулы Остр Р фе ы, заданной з »,1.НУ, где ' — в внешняя сторона с еры/ ' 193, ~~х Н,Н.+у ° » 3+⻠— а УРавнениеы х У к го (3), находим /я Используя форааулу Остроградского 1 = 3 ~~~(х' + у +» ) Нх Ну Н*, » . 1'са а. После перехода в интеграле к 1 +» С а ) — шар радиуса а. ос е )б«жлз(Х +„ сфернческ ф нческиы координатам получиы 13 л /Н = — яа.> /~/ /,/,= —, о о Гл. 2. Кратные н криволинейные нн е нтет алы 196 Яз = Оз '1("а О (О, О, О)).

Имеем равенство 2 2 =д х ' - -'Ы5 — 0(х созе+у соа,О+ г соэ;) 1= /(хзсоэа+у соа41+ - соат) 5213 формулу Остроградского ого 3, а иа мио- Л, ага = аах йу. Поэтому получдла К интегралу иа лаиожестве Бз ьаож р -ем п имеиить жестве 2 '4 3 инее Я '4 м созга = сов З9 = О, соз 3 = 1, г 1 = 2~~~(х+ у+ г) йх йуйг — Ь 2 а главу аз+42<аз т = г Я О ° + *а а. а, а. — *а'. т л л (х+у+г)йх у г= ар сог +г 41гга 1а1аа.а, .аа*а,а. =)аа,)а,а, (а,а,+.

~а-:-.аа*= о о р т 2. Ь Ь2 р2 3 — а(са р(Л р)(сох 43 + пп 42) + — — — рад= — Л . о о — — Л4 хЬ4 — ДЬ4. > Окоичательио имеем 1 =— 196. Вычислить интеграл Гаусса / соз(т, и) 1(х. у, г) = ,з я поверхность, ограничивающая компакт Г С й', и— где ~р~~~~ заьзкпутая гладкая лове ПОВЕ ХПОСти О В ЕЕ ТОЧКЕ (С, Ла Ьа а 4' — Р +(~ )2 , и г = (С вЂ” х) +(Π— уа ( ) б) : а) позе хпость Я ие окружает точку х, у, М Рассзаотрааза два случая: а) поверхпост Я окружает точку (х, у, г). ого (3). Приняв во внимание равен- В случае а) можем применить ф р у о м лу троградск Ство СОЭ(Т, и) ж ~ а )а ПОЛ1ЧИМ ) (4 — * (х К г)— — -) = аз ! тз Я (а (4-*) а ( —,) „а (4-.)) т ) "=И~" тз т т г а ского р , итег ал 1(ха у, г) стаг а ского применять нельзя, так как и р отвеине Д~~ этого рассмотрим П том ' вычислим его пепосредств е полот Т с к аем,зз, лелсащий лсим, что (х, у, г) Е 2аз, где е г — внутренность компакта 3 .

иожес аииым кРаем О" 43 Яа, где Оа — Р- компактом с ориеитироваииым кра ио мали и т очку (х, у, г) и являетсл акта Та. в каждоа точке которой единичный вектор р ептироваииая граница компа гз'2 2 2ахз2<г<Ь) ° где = хау,г У вЂ” (( а,г)бП:х +у <Ь,г~ +у и к илиндрическпм координатам и и залаеиим получеииыи В тройном интеграле перейдем к пилив интеграл повториыла.

Найдем 198 Гл. З. Кратные и криволинейные интегралы Применив формуву Стокса (9), получим уж ЗЦ буях+ у1яяй + 2 гхгу жЗЦ( з'и+ Гб+ Гт)йяж г 0 йВж ЗВ, 5 5 5 где  — плов[адь площадки Я. И Применяя формулу Стокса (9), вычислить интегралы: 189. 1 = ~убх+хеу+х Их, где 2 — окружность, полученная в результате пересечения сферы Я = ((х, у, х) е Я~: х + уз + зз = аз) с плоскостью Яы заданной уравнением х + у+ х = О, пробегаемая против кода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны осн Ох. П Применим формулу Стокса.

взяв в ней в качестве поверхности круг 52 радиуса а, лежащий в плоскости Я2. Получим Т=- Дгг».~»~ »ЬЬ=- Д»..»». Р~. ЕЮ, 52 52 где созе, созд, сову — направляющие косинусы нормали и к плоскости оы Так как вектор и и орт й оси Оз образуют острый угол, то в ка2кдой из формул для вычисления сова, со»,9, созз перед радикалом в знаменателе следует взять знак "+». Приняв во внн- 1 манне, что соз а = соя Д = соз т =, имеем чз ' 2' = — ~ГЗ ЧИЮ = — ъ~Зха, так как площадь круга Яз равна яа .

° 2 л()(). 2 = ((у — х) йх+ (х — х) йу+ (х — у) ях, где у — кривая. полученная в результате 7 пересечения поверхности Я цилиндра Т = ((х, У. 5) б Я~: х + у ~С аз, х б И) с плоскостью х з Яю заданной уравнением — + — = 1, а ) О, я ) О, пробегаемая протяв хода часовой стрелки, а а если смотреть с положительной стороны оси Ох. М По форыуле Стокса (9) имеем ю» -гЦю 9.99*» ьь=-юД[ + д+ )и», 52 52 где зз = Т й Яг — ь2иожество всех точек эллипса оз=)(х,у,я)ияс:х +у (~а, — + — =1), ' а я сова., сов Д. соху — направляющие косинусы нормали и к плоскости 52.

Множество точек Яз проектируется на круг Р = ((х, У) б м~: 52+у ( (а ). Поскольку нормаль к плоскости 52 образует острый угол с ортом й оси 05, то в кюкдой из формул х» Ф х 1 созе ж *ДГ»+7.' *»5Г»+».' »»5+».'+ У перед радикалом в знаменателе следует взять знак "+".. Перехода от поверхностного инте- грала к двоякому н принимая во внимание равенство ИЯ = 1+ я' + я„' ах ву, получим ~2 1 = 3 ~~ (я'(х, у)+ я„'(х, у) — 1) дх Иу. о у б. Формулы Остроградского, Грина и Сток такса 199 л = й — -х то х', = —, х = О. Следовал Так как на множестве 8~ выполняется равенство х = — —,, з —,, з = тельно, — г // (1+ ) сгх лгу = -2 1+ -~ рта = -2рга( + ). а и 201.

1= (у +х)Нх+(х + ) у з з з злй + (хз + уз) 4г, где у — кривая, полученная е ы о = ((ярур ) Е Вз: х +У + = гях х > О) н в результате пересечения полусф Р е ол 'с е ы о наименьшая область остается слева. ограниченная ею на внешней стороне полусферы наимень а Ч Применив формулу Стокса, получим поверхностный интеграл 1=2 (у — х)буйх+(х — х)Охах+(х — у)йхйу= зр = 2 // ((у — х) соз о + (х — х) соз рб + (х — у) соз -р) а'Яр Яр Я, вы езанный из нее поверхностью Яр, сохо, созлг, созт — нагде Яз — кусок полусферы, выр Я в полнеиы равенства п авляющие косинусы вектора нормали и к Яз, а множестве з ы — — хз — з, г» = —, х' = — К.

Так как вектор и н орт й оси Ог образуют острый ' ол, то в формулах для вычисления соз о, соз рар соз з перед рад угол, г' Ых й, получим взять знак "+ . ринам "»".и р рр-»' р*.р 1 ж 2 //((у — х(х, у))(-х' (х, у)) + (х(х, у) — х)( — гз(х, у)) + (х — у)) йх йу = ,а( ° 1 /' 1'(у - '(* ))(™) + ('(* "' х) у +. у '1 Ь бр рх гя Ц (1 - — "~ бх йу, о где Р = ((х.

у) Е м~: хз+ у ( 2гх). Поскольку /2з- 2 — р. -~р. п ,Гз з-лр то окончательно имеем 1 = 2Я Охи = гяйг . З» 2 В 202. — а р( + Ых, где т — заыкнугая кривая, заданная уравнениями 2. 1=~ у х ах+я * у х'у х = а сох з, у = асов 21, х = асов ЗГ» робегаемая в направлении возрастания параметра Г. Ч и нзм М = (х, х) пробегает часть кривой у ч П и изменении г от О до з подвижная точка М = (, у, 2 чкаМ ол жном направлении — от точки М~ до к ~~А ~~им~о а«ладываются, н зта кривая ю часть к ивой т в протпвоположн и т чкн Ме.

Таким образом, точки замкнутой крпвррй т взаимно накл пе ограничивает никакой поверхности. Слсдоаател ио, 200 Гл. 2. Кратныен криволинейные интегралы Упражнения для самостоятелъной работы Прнл~еняя формулу Грина, вычислить криволинейные интегралы: 139. !=уху бу — х убх,где у=((х,у)ЕИг:хг+уг=а ). 140. 1 = у(х + у) йх — (х — у) Ау, где ", = ((х, у) Е Иг: -,т + улт = 1) .

т 141. ? = у е ~» ег ~(соя 2ху ах+ зщ 2хуЫу), где т = ((х, у) Е Иг: ха + у = Аг). 7 142. Какому условию должна удовлетворять дифференцируеыая функция (х, у) Р(х, у), чтобы криволинейный интеграл Г(х, у)(убх+ хну) А»В не зависел от вида пути интегрирования? 143. Вычислить 1 = — у — ггт —, если Х = ах+ бу, У = ох+ бу и простой замкиутый аг-уах 2. г хгег контур ", окружает начало координат (аб — бс ф 0). 144. Вычислить интеграл 1 (см. предыдущую задачу), если Х = р(х, у).

?» = 9(х. у) и простой контур ", окружает начало координат, причем кривые, определяемые уравнениями с»(х, у) = О и 0(х, у) = О, имеют несколько простых точек пересечения внутри контура т. 145. Вычнсл1щь площадь фигуры, ограниченной кривой т, заданной уравнением (х+ у)"+ + = ах"у, а > О. п > О, ил > О. 146.

Доказатгч что объелг тела, образованного вращением вокруг осп Ох простого замкнутого контура;, расположенного в верхней полуплоскости у > О, равен К = —:г ~ уг бх. Применяя формулу Остроградского, преобразовать следующие поверхностные интегралы, если гладкая поверхность Я ограничивает конечный объем Н н соха, созб, соз;— направляющпе косинусы внешней норлгали и к поверхности Я: 14Т )')»хгЫуаг+ у 4»Ых+ гг бхбр 148 )) '" ~г'"»~'"' ао г г » +г +» 149.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее