Г.С. Ландсберг - Элементарный учебник физики (том 3). Колебания и волны. Оптика. Атомная и ядерная физика, страница 5

Формула периода математического маятника. Период колебаний физического маятника зависит от многих обстоятельств: от размеров и формы тела, от расстояния между центром тяжести и точкой подвеса и от распределения массы тела относительно этой точки; поэтому вычисление периода подвешенного тела — довольно сложная задача, Проще обстоит дело для м а т е и а т и ч е с к о г о маятника.

Из наблюдений над подобными маятниками можно установить следующие простые законы. Е Если, сохраняя одну и ту же длину маятника (расстояние от точки подвеса до центра тяжести груза), подвешивать разные грузы, то период колебаний получится ") Ниже, в й 11, мы примем во внимание силы трения, один и тот же, хотя массы грузов сильно различаются. Период мапмматического маятника не зависит от массы груза.

2. Если при пуске маятника отклонять его на разные (но не слишком большие) углы, то он будет колебаться с одним и тем же периодом, хотя и с разными амплитудами. Пока не слишком велики амплитуды, колебания достаточно близки по своей форме к гармоническому (э 5) и период математического маял>ника не зависит от амплитуды колебаний. Это свойство называется изохронизмом (от греческих слов <изос» — равный, (хронос» — время). Впервые этот факт был установлен в !555 г. Галилеем якобы при следующих обстоятельствах. Галилей наблюдал в Пизанском соборе качания паникадила на длинной цепи, которое толкнули при зажигании. В течение богослужения размахи качаний постепенно затухали Я 11), т. е.

амплитуда колебаний уменьшалась, но период оставался одним и тем же. В качестве указателя времени Галилей поль>ювался собственным пульсом. Выведем теперь формулу для периода колебаний матеиатического маятника. е С а) 6) Рис. 16. Колебания маятника в плоскости (а) и движение по конусу (б) При качаниях маятника груз движется ускоренно по туге ВА (рис. 16, а) под действием возвращающей силы Р„ соторая меняется при движении. Расчет движения тела под тействием непостоянной силы довольно сложен.

Поэтому иы для упрощения поступим следующим образом. 25 Заставим маятник совершать не колебание в одной плоскости, а описывать конус так, чтобы груз двигался: по окружности (рис. 16, б). Это движение может быть получена в результате сложения двух независимых колебаний: одного — по-прежнему в плоскости рисунка и другого — в перпендикулярной плоскости. Очевидно, периоды обоих этих плоских колебаний одинаковы, так как любая плоскость качаний ничем не отличается от всякой другой. Следовательно, п период сложного движения — обращения маятника по конусу — будет тот же, что и период качания водной плоскости. Этот вывод можно легко иллюстрировать непосредственным опытом, взяв два одинаковых маятника и сообщив одному из них качание в плоскости, а другому — вращение по конусу.

Но период обращения «коиического» маятника равен длине описываемой грузом окружности, деленной на скоростги Т= ~'. Если угол отклонения от вертикали н е в е л н к (малые амплитуды!), то можно считать, что возвращающая сила Р, направлена по радиусу окружности ВС, т. е, равна центростремительной силе: И0 Р,= —. Г С другой стороны, из подобия треугольников ОВС и ОВЕ следует, что ВЕ: ВЮ=СВ: ОВ. Так как ОВ=(, СВ=г, ВЕ=Р„ВР=Р=ищ, то отсюда Р г ия ! Приравняв оба выражения Р, друг другу, мы получаем для скорости обращения Гд о=г 1/ Наконец, подставив зто в выражение периода Т, находим Т=2п у —. / ~ а Итак, период математического маятника зависит только от ускорения свободного падения д и от длины маятника (, т.

е. расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза. Из полученной формулы следует, что период маятника не 2а зависит от его массы и от амплитуды (прн условии, что она достаточно мала), Другими словами, мы получили путем расчета те основные законы, которые были установлены ранее из наблюдений. Но наш теоретический вывод дает нам больше: он позволяет установить к о л и ч е с т в е н н у ю зависимость между периодом маятника, его длиной и ускорением свободного падения. Период математического маятника пропорционален корню квадратному из отношения длины лшятника к ускорению свобсдногс падения.

Коэффициент пропорциональности равен 2п. На зависимости периода маятника от ускорения свободного падения основан очень точный способ определения этого ускорения. Измерив длину маятника ( и определив из большого числа колебаний период Т, мы можем вычислить с помощью полученной формулы а. Этот способ широко используется на практике. Известно (см, том 1, 5 53), что ускорение свободного падения зависит от географической широты места (на полюсе у=9,83 м!сз, а на экваторе 8=9,78 и/сэ).

Наблюдения над пераодом качаний некоторого эталонного маятнака позволяют изучить распределение ускорения сво. бодного падения по широте, Метод этот настолько точен, что с его помощью можно обнаружить и более тонкие различия в значении у на земной поверхноств. Оказывается, что даже на одной параллели значение д в рззиых точках земной поверхности различно. Эти а н о и ил и и в распределении ускорения свободного падения связаны с неравномерной плотностью земной коры. Они используются для изучения распределения плотности, а частности для обнаружения залегания в толще земной коры каких.либо полезных ископаемых. Обширные г р а в им е т р и ч е с к и е измерения, позволввшие судить о залегании плот.

ных масс, были выполнены в СССР а области так называемой Курской магнитной аномалии (см. том Н, 5 130) под руководством советского физика Ветра Петровича Лазарева. В соединении с данными об анома. лип земного магнитного поля эти гравиметрические данные позволили установить распределение залегания железных масс, обусловливающих Курскую магнитную н гравитационную аномалии. 5 9. Упругие колебания.

У маятника возвращающая сила обязана своим возникновением силе тяжести. Но для колебаний существенно только само наличие возвращающей силы, т. е. такой силы, которая всегда направлена к положению равновесия и, вообще говоря, увеличивается с удалением от этого положения. Такого рода силы возникают также при деформации твердых тел и представляют собой упругие силы (см. том (, 3 58).

Следовательно, эти упругие силы тоже могут вызывать колебания. По происхождению возвращающей силы такие колебания называются упругими. Выше мы уже приводили ряд примеров. йу Колебания тела, подвешенного на пружине (такое устройство часто называют пружинным маятником), вагона иа рессорах, пластинки, зажатой в тиски, колебания камертона, натянутой струны, моста, фундамента, фабричной трубы или высокого здания — все это упругие колебания. В соответствии с иным происхождением возвращающей силы потенциальная эиергия упругих колебаний есть энергия деформации у и р у г о г о тел а, а не потенциальная энергия силы тя- 2 жести, как у маятника. В остальном динамика упругих колебаний та же, что н у маятника. И здесь мы имеем дважды за период переход кинетической энергии в потенциальную (энергию деформации) я обратно, Особенно просто прослеРие.

17. Колебаиии тела иа ирудить все стадии этого процесса, наблюдая тело, например шарик, колеблющееся на пружинах. В этом случае можно считать, что энергия деформации имеется только у пружин, а ие у шарика, деформацией которого можно пренебречь. Если же масса тела велика по сравнению с массой пружин, то можно считать, что кинетическая энергия имеется только у тела, а не у пружин, массой которых мы пренебрегаем. Таким образом, переход энергия из кинетической в потенциальную н обратно является вместе с тем переходом энергия от тела к пружинам и обратно. На рис. 17 показаны четыре положения такой колебательной системы, взятые через каждую четверть периода.

В положении у тело иаиоолее сильно отклонено вправо, одна пружина сжата, другая растянута, скорость и кипетическая энергия равны нулю, вся энергия потенциальная. В положении 2 пружины ие деформированы, тело с наибольшей скоростью проходит через положение равновесия, вся энергия кинетическая. В положении 3 происходит то же, что и в положении 1. В положении 4 отличие от положения 2 только в направлении скорости. Взяв при тех же пружинах тело с большей массой, легко убедиться, что частота колебаний уменьшится.

С помощью секундомера можно убедиться в том, что четырехкратное увеличение массы тела удлиняет период колебаний (т. е. 2в уменьшает их частоту) в два раза, При массе, увеличенной в девять раз, период увеличится в три раза. Период упругих колебаний пропорционален квадратному корню из массы «гела. Этот результат будет получаться на опыте тем точнее, чем лучше выполнены описанные условия, когда можно считать массу сосредоточенной в одной точке (центре тяжести тела) и не принимать во внимание массу пружин.

Однако во всех случаях у в е л и ч е н и е м а с с ы упругой колебательной системы в л е ч е т з а с о б о й з амедление колебаний, увеличение их периода. Проделаем теперь опыт, оставив тело прежней массы, но заменив пружину более жесткой. Мы тотчас же увидим, что период колебаний уменьшился. Таким образом, период упругих колебаний тем меньше, чем больше жесткость пружины, т. е. чем меньше упругость системы. Исследование упругих колебаний груза на пружине показывает, что при не слишком больших амплитудах зги колебания являются гармоническими, причем период нт выражается фор- мулой, анзлоги шой формуле математического ма ятиика: т Т=2и ')тг й Здесь т — масса колеблющегося груза, й — жесткость пружины, т, е, сила, необходимая для растяжения пружины на единицу длины.