А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 51
Текст из файла (страница 51)
В з-состояниях среднее значение ()уз равно нулю. В некоторых случаях удобно в операторе (64,16) выразить скалярный потенциал Ао непосредственно через'напряженность электрического поля Ж, тогда, нгас( У = е нгаб А, = — еЖ; КВАЗИРВЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТВОРИЯ [ГЛ. ЧЬИ а) в случае взаимодействия с внешним скалярным полем оператор энергии взаимодействия равен б) в случае взаимодействия с внешним векторным полем ~л ~ у»В ВВ (В (В«) (64,17) Частным случаем взаимодействия (64,17) является рассмотренное выше взаимодействие с электромагнитным полем, определяемым потенциалами А„=(А, (А«) тогда В„= ЫА»1 в) в случае взаимодействия с тензорным полем ОТ = Х УВУ«СВм. Частным случаем этого взаимодействия является взаимоделствие магнитного момента с полем (см. (63АО)), когда 1 С = аМг Рассмотрим случай, когда частица взаимодействует со скалярным и векторным полем одновременно.
Тогда, выделяя временную производную в (64,16), можно записать зто уравнение в виде 16 — = ~ са (Р— — В(х)) + Р (тсз — У (х)) + Ва (х) (Ч'. (64,18) В нерелятивистском приближении можно выделить из (64,18) часть оператора Гамильтона, соответствукицую спин-орбитальному взаимодействию, й':3 ~ ( 1, о [(ага й Вз) )( р) — (~ 1, ((агай У) Х р). (64, 19) В йи Уравнение Дирака должно описывать поведение любой «свободной» частицы, имеющей спин '/» Однако понятие «свободной» частицы является приближенным. Каждая-частица взаимодействует с «вакуумом», т. е.
с виртуальными полями других частиц. При учете взаимодействия частицы с внешним полем, в частности с электромагнитным полем, надо учитывать влияние и виртуальных полей. Такие неизбежные дополнительные взаимодействия приводят к поправочным' членам в уравнениях, описывающих поведение частицы во внешнем поле. Для электронов эти поправки малы. Как показывает квантовая электродинамика (42, 43), эти поправки частично можно учесть эффективным изменением магнитного момента и заряда электрона.
Так, вследствие взаимодействия с вакуумом электрон приобретает добавочный 4 Вя ВАРядОВОе ООПРяжение, чАстицы и Антинхстицы Р99 (по сравнению с 1А = еа/(2гпс)) магнитный момент бр=в а где а в постоянная тонкой структуры. По-видимому,'1А-мезоны также слабо взаимодействуют с вакуумом, поэтому уравнение Дирака сравнительно с большой точностью применимо для описания их взаимодействий с внешним электромагнитным полем. К частицам, имеюшим спин '/ь принадлежат также нуклоны (протоны и нейтроны).
Для нуклонов взаимодействие с виртуальным и-мезонным полем играет весьма существенНую роль. Поэтому при'исследовании их движения во внешнем поле необходимо учитывать их взаимодействие с этим полем и через вйртуальное мезоиное поле. Если бы-такое взаимодействие отсутствовало, то магнитный момент протона был бы равен ядерному магнетону Й~„= еа/(2Мс) (М вЂ” масса протона), а магнитный момент нейтрона должен равняться нулю. На самом же' деле, как„показывает опыт, магнитный момент протона равен 1АР ж ж 2,79 .Аг'„, а магнитный момент нейтрона 1А = — 1,91, Аг„.
Строгая теория учета влияния и-мезонного поля на взаимодействие нуклонов с электромагнитным полем в настоящее время еще отсутствует, поэтому приходится учитывать такое взаимодействие феноменологически путем формального введения экспериментальных значений магнитных моментов в нерелятивистское уравнение типа Паулй и в операторы, определяющие спин- Орбитальное взаимодействие нуклонов с электрическим полем. На малых расстояниях ядерные взаимодействия значительно больше электромагнитных, поэтому в операторе спин-орбитального взаимодействия (64,19) будет играть основную роль второе слагаемое, если У характеризует скалярное ядерное поле, действующее на нуклон. Такое поле определяется ядерным взаимодействием между нуклонами. Спин-орбитальное взаимодействие %',А= — 1 а, ((пгаб У) Х р), ' (64,20) аа обусловленное ядерным полем У, играет сушественную роль в объяснении поляризации нуклонов при их рассеянии на ядрах.
Энергетический спектр нуклонов в ядрах также сильно зависит От спин-орбитального взаимодействия (64,20). 5 66". Зарядовое сопряжение. Частицы и античастицы В $ 66 была исследована операция зарядового сопряжения для частиц нулевого спина, которая позволяла из решений Ч", соответствующих частице заряда е, получать решения Ч'„ изображающие движение частицы заряда — а в том же поле. Определим теперь операцию зарядового сопряжения для частиц спина КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ (гл. ч!и г(х, т.
е. найдем такое преобразование функции Ч", удовлетворяющей уравнению (63,8) для частицы с зарядом е, при котором новая функция Ч", удовлетворяла бы уравнению типа (63,8) с измененным знаком перед электрическим зарядом. Итак, по определениго, если функция Ч' удовлетворяет уравнению (63,8), то зарядово сопряженная функция должна удовлетворять уравнению ( Ьг„(р„ь — , 'х„) — м )т,=о. в Определим преобразование, обеспечивающее переход от функции Чг к функции Ч",. Для этого рассмотрим уравнение, комплексно сопряженное уравнению (63,8), в котором мы предварительно выделим член с )г = 4, ~ — Мч (Рч+ Ач) + у*(Р+ — А) — (птфУ = О.
(65р2) Если в уравнении (65,2) провести преобразование функции Чг=СЧ", или Ч',=С 'Ч" (65,3) с помощью унитарной, симметричной матрицы С, удовлетворяющей равенствам ' (65,1) т'= С у*С, у,=- С-'у,с, (65,4) то у авнение (65,2) перейдет в уравнение (65,1). Г- войство симметрии и унитарности матрицы С выражается соотношениями С =С'=С '. (65,4а) Определим свойства преобразования зарядово сопряженных состояний Чг, прн пространственном отражении. Как было показано в $61, при пространственном отражении функции Чг преобразуются по закону РЧг-Хц,Ч, где Х-шг, ж1.
Следовательно. Рт =арча(г'. Используя полученное равенство н (66,3), находим РЧг С РЧг л С гу Ч". Учитывая далее (66,4) н (65,3), получаем закон преобразования сливовых волновых функций разных классов прн пространственном отражении Ргйг — А'угС Чг' — й'угцгг. Итак, если й = ~1, то прн пространственном отражении аарядово сопряженное состояние Чг, преобразуется так же, как и Чг. Если л ~1, то четности функций чг и Чг, по отношению к пространственному отражению будут противоположными. й зя злнядовов сопяяжвнив, частицы и античастицы зо~ В настоящее время для частнп.
нмеющнх спнн '/м еще не удалось уста-. новнть, какая нз зтнх возможностей реализуется в прнроде. В процессах сильного н злектромагннтного взанмодействнй, ннварнантных относительно пространственнмх отражений, такие часгнцы всегда рождаются н исчезают парамн. Например, злектрон н позитрон, протон н антипротон н т. д. Позтому в зтнх процессах существенна только внутренняя четкость по отношенню к преобразованню пространственного отражения пронзведення функ.
цнй Ч' н Ч'ы Легко, однако, видеть, что внутренняя четность пронзведення функцнй Ч" н Ч",, относящнхся к одному классу спннорных полей, всегда отрицательна незавнснмо от значения л„ еслн (Л(з = К действительно, Р (Чгчг,.) (Хуччг) ( — Хеу,чгг) = †(Чгчгг).
В атом смыспе внутренняя чегйость фермнона всегда противоположна внутренней четности антнфермнона, т. е. частицы, описываемой функцией Ч.",. Для исследования преобразований билинейных комбинаций нз дираковских функций при зарядовом сопряжении необходимо еще знать закон преобразования дираковски сопряженных функций Ч' (см. $61). Функции Ч" при наличии электромагнитного поля удовлетворяют уравнению ЧгД~~~ гн (Ро — — Ан) + гпгс) = О, а зарядово сопряженная функция Чг, должна удовлетворять уравнению чР;~ ~)~~~ у„(бн+ е А„)+ (тс1=0.
(65,5) (65,6) Сравнивая (65,5) и уравнение, комплексно сопряженное к (65,6), находим, что Чг = Ч"'С. (65,7) Равенство, комплексно сопряженное к (65,3), имеет вид Чг=С Чг;. Учитывая теперь (65,4а), мы убедимся, что Чг=С 'Ч'",. Таким образом, операция зарядового сопряжения (65,3) обратима в том смысле, что если функция Чг, является зарядово сопряженной к функции Ч', то и функция Ч" является зарядово сопряженной к функции Ч',. В частном случае, когда матрицы у„заданы в представлении ,(61,1), т.
е. когда У вЂ” го О 74 — О 1 ° матрица зарядового сопряжения С, удовлетворяющая условиям ,(65,4), совпадает с уь т. е. С= ум (65,8) КВАЗИРВЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЗОРИЯ Н'Л. ЧИ> зов В этом случае операция зарядового сопряжения сводится к преобразованию 1с у2Ч ° (65,3а) Исследуем теперь соотношение между зарядово сопряжен- ными токами. По определению (61,7), 1„= >есЧ"уРЧ". Компоненты четырехмерного вектора плотности тока в зарядово сопряженном состоянии будут ()Р), = гесЧс,уРЧ',.
(65,9) Подставляя в (65,9) значения (65,3) и (65,7) и учитывая (65,4), находим /,= Тес (Ч«ТЧ')'= >есЧстЧ', (1«), = — >ее (Чсу«Ч)' = — йсЧсу«Ч". Таким образом, плотности электрического заряда зарядово со- пряженных состояний отличаются знаком, а плотности тока имеют одинаковый'знак: (1с) =-1«. Ь=Т'.
(65,10) Покажем теперь, что если временная зависимость состояний Ч"«> Я 60) соответствует отрицательным решениям временного уравнения Дирака «и — > = — Е«т«-> Е ) О. эч"«-) (65,11) то временная зависимость зарядово сопряженных состояний Рс= С 1!-) (65,12) соответствует положительным решениям. Действительно, из (65,12) и (65,1!) имеем 13 — =С ~1Л:~= — С ~>й ( =ЕС Чс«> —— ЕЖ. сЧ'с -> с. зч"«->1 -> >. эч'«->1 ш ~ сг>> ~ и/ -) с.
Если функция Ч' выражается через двухкомпонентные функ>'Ч') ции ~ А ~, то зарядово сопряженное состояние выражается через функцию где (65,13) «рс >«)2>( ° ~~с (п2«р ' э ап зАРядовое сопРяжение. чАстицы и Античястипы воз Особенно просто: можно провести исследование зарядово сопряженных состояний прн специальном выборе дираковских мас триц у„. В этом легко убедиться, если переписать уравнение (63,8) в виде ~й,)~~ уя д„+гпс1 Ч"=1 — ~~УРАРЧ". (65,14) Выберем матрицы Дирака.так, чтобы матрица у4 была мнимой: и 0 ' уз 0 — 1 ' уз о (1 ' уА и 0 (65,15) При выборе матриц в виде (65,15), называемом майораиовским представлением, величины у„— и у„А„действительны.
Сравд нивая (65,14) с комплексно сопряженным уравнением ~й ~ 7Р д, + шс~ Ч"'= — 1 — ~~ УРАзЧ' ~ (65~16) мы убедимся, что Ч~' описывает зарядово сопряженное состояние, т. е. Другими словами, при майорановском представлении матриц у„ матрица зарядового сопряжения С сводится к единичной матрице. Итак, если функция Ч' описывает состояние частицы с зарядом е, то зарядово сопряженная функция Чг, описывает состояние движения частицы той же массы и спина, но имеюшей другой знак заряда ( — е) и другой знак магнитного момента и импульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
